Властивості кола. Дотична до кола

§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

§ 19. Властивості кола. Дотична до кола

Практичні завдання

507. АК = КВ.

 Властивості кола. Дотична до кола

508. AB ⊥ CD – дотичні до кола.

 Властивості кола. Дотична до кола

509. АС i ВС – дотичні до кола.

 Властивості кола. Дотична до кола

510. Таких кіл може бути два.

 Властивості кола. Дотична до кола

Вправи

511. CD ⊥ AB. ?АОК = ?ВОК (за катетом і гіпотенузою: ОК – спільний катет, ОА = OB – як радіуси кола), тоді ∠AOD = ∠BOD.

 Властивості кола. Дотична до кола

512. Нехай AB

= CD, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. Доведемо, що ОМ = ON.

Оскільки ОМ ⊥ AB, то AM = MB; оскільки ON ⊥ CD, то CN = ND.

?ОМА = ?ONC (за гіпотенузою і катетом: АО = СО – як радіуси, AM = CN – як половини рівних відрізків), тоді ОМ = ON.

 Властивості кола. Дотична до кола

513. Якщо хорди рівновіддалені від центра кола, то вони рівні. Нехай ОМ ⊥ AB, ON ⊥ CD і ОМ = ON. Доведемо, що AB = CD.

Оскільки ОМ ⊥ AB, ON ⊥ CD, то AM = MD, CN = ND, тобто щоб довести, що AB = CD, достатньо довести, що AM = CN.

?АОМ = ?CON (за гіпотенузою і катетом: ОМ = ON за умовою, АО = ОС – як

радіуси кола), тоді AM = CN. Отже, AB = 2AM = 2CN = CD.

514. Hi. Наприклад АВ ⊥ OM, але АВ не дотична.

 Властивості кола. Дотична до кола

Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

 Властивості кола. Дотична до кола

515. ∠OAB = 90° – ∠BAD = 90° – 35° = 55°, АО = OB, тому ∠OBA = ∠OAB = 55°, ∠AOB = 180° – 2 • 55° = 180° – 110° = 70°.

Відповідь: 70°.

516. ∠OAB = ∠OBA, тому ∠OAB = 1/2. (180° – 80°) = 50°, ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 50° + 90° = 140°.

Відповідь: 140°.

517. Радіус кола дорівнює 1/2 • 6 = 3 (см). Тому пряма а є дотичною у випадку 2).

518. 1) АС є радіусом, АС ⊥ СВ, тому СВ – дотична;

2) AB не перпендикулярна до радіуса АС, тому вона не є дотичною.

 Властивості кола. Дотична до кола

519. СВ = СО + ОВ = АО + OB > АВ.

 Властивості кола. Дотична до кола

520. ОС ⊥ AB, OK = CK.

Із прямокутного? АОК маємо: ∠OAK = 30° (оскільки АО = 2ОК).

Із прямокутного? ВОК маємо: ∠OBK = 30° (оскільки ВО = 2ОК).

∠AOB = 180° – ∠OAB – ∠OBA = 180° – 30° – 30° = 120°.

 Властивості кола. Дотична до кола

521. 1) OK = 1/2AB.

?АОК = ?ВОК (за катетом і гіпотенузою: ОК – спільний катет, ОА = ОВ – як радіуси кола). AK = КВ, тому ОК = KB; ∠KOB = 45°; ∠AOB = 2 х 45° = 90°.

Відповідь: 90°.

2) OK = 1/2OB, тому ∠OBK = 30°; ∠OAK = ∠OBK =30°, ∠AOB = 180° – 30° – 30° = 120°.

 Властивості кола. Дотична до кола

Відповідь: 120°.

522. АС = 12 см, ∠CAB = 30°.

З? АСК:  Властивості кола. Дотична до кола

CK = KB – оскільки AB ⊥ CD. Отже, CD = 2СK = 2 х 6 = 12 см.

 Властивості кола. Дотична до кола

Відповідь: 12 см.

523. ∠OBA = ∠OAB = 20°.

∠BAM = ∠OAM – ∠OAB = 90° – 20° = 70°. ∠ABM = ∠OBM – ∠OBA = 90° – 20° = 70°.

Тоді ∠AMB = 180° – ∠BAM – ∠ABM = 180° – 70° – 70° = 40°.

 Властивості кола. Дотична до кола

Відповідь: 40°.

524. OA = OB = AB. Тому ∠OAB = ∠OBA = 60°. ∠CAB = ∠CBA = 90° – 60° = 30°. ∠ACB = 180° – 30° – 30° = 120°.

 Властивості кола. Дотична до кола

Відповідь: 120°.

525. ОА = ОС, отже, ?OAC – рівнобедрений.

∠OAC = ∠OCA, ∠OCA = ∠CAD, тому ∠OAC = ∠CAD, отже, CD – бісектриса ∠BAD.

 Властивості кола. Дотична до кола

526.

 Властивості кола. Дотична до кола

527. ∠ABC = 30°. ∠AOD – зовнішній кут? АОВ; ∠AOD = ∠OBA + ∠OAB = 30° + 30° = 60°; ∠ADB = 90° – ∠AOD = 90° – 60° – 30°. Отже, ∠ABD = ∠ADB, тому? ABD – рівнобедрений.

 Властивості кола. Дотична до кола

528. Якщо б хорда CD не була діаметром, то діаметр AB, який ділить її навпіл, був би перпендикуляром до неї, але це не так. Тому CD – діаметр.

529. Геометричним місцем центрів кіл, які дотикаються до даної прямої в даній точці є перпендикулярна пряма до даної прямої, яка проходить через дану точку.

 Властивості кола. Дотична до кола

530. Геометричним місцем центрів кіл, які дотикаються до обох сторін кута, є бісектриса цього кута.

 Властивості кола. Дотична до кола

531. Геометричним місцем центрів кіл, які дотикаються до даної прямої є усі точки площини, за винятком самої прямої.

 Властивості кола. Дотична до кола

532. ∠AKB = 120°. ?ОАК = ?ОВК (за гіпотенузою і катетом: ОК – спільна, ОA = OB – як радіуси), тому ∠AKO = ∠BKO = 120° : 2 = 60°, АК = ВК.

З? ОАК: ∠AOK = 90° – ∠AKO = 90° – 60° = 30°. Отже, OK = 2АК, або OK = АК + ВК.

 Властивості кола. Дотична до кола

533. AM = АР – як відрізки дотичних, проведених із однієї точки до кола, ВМ = BK, CP = СК – як відрізки дотичних, проведених із однієї точки до кола. Р? ABC = АС + CB + AB = АС + СВ + AM +MB = АС + CB + АР + ВК = (АС + АР) + (СВ + ВК) = СР + СК. Оскільки СР = СК, то маємо: Р? ABC = 2 x СК, звідки  Властивості кола. Дотична до кола або  Властивості кола. Дотична до кола

 Властивості кола. Дотична до кола

534. Р? DEC = CD + СЕ + DE = CD + СЕ + DM + EM. Оскільки DM = DA, BE = EM – як відрізки дотичних, проведених із однієї точки до кола, то маємо Р? DEC = CD + СЕ + DA + BE = (CD + DA) + (CE + BE) = CA + CB. Отже, периметр трикутника DEC не залежить від вибору точки М.

Вправи для повторення

535. М – середина відрізка AB, а || b.

 Властивості кола. Дотична до кола

?АМС = ?BMD – за стороною і двома прилеглими кутами: АМ = ВМ, ∠AMС = ∠CBMD – як вертикальні кути, ∠А = ∠B як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих а і b і січній AB). Із рівності цих трикутників випливає, що CM = DM.

536. AN = NB, СN = CD. Оскільки? AMB – рівнобедрений і MN є медіаною, то MN є і висотою.

?CMN = ?DMN (за вдома катетами: MN – спільний катет, CN = ND за умовою). Із рівності цих трикутників випливає, що MC = MD, тобто? CMD – рівнобедрений.

 Властивості кола. Дотична до кола

537. ME = ЕР, FK = FP, ∠К = 26°, ∠EPF = 92°.

?KFP – рівнобедрений, оскільки FK = FP. Отже, ∠KPF = ∠К = 26°.

∠EFP – зовнішній кут? EFP, ∠EFP = ∠К + ∠КРЕ = 26° + 26° = 52°.

∠МЕР – зовнішній кут? EFP, ∠МЕР = ∠EFP + ∠EPF = 52° + 92° = 144°.

Оскільки? МЕР – рівнобедрений, то ∠М = (180° – ∠МЕР): 2 = (180° – 144°) : 2 = 18°.

 Властивості кола. Дотична до кола

Відповідь: 18°.

538. ВМ – бісектриса ∠АВС, ∠АВМ = ∠МВС = α. Тоді ∠КМС = α.

З? МКС: ∠С = 90° – α. З? АВС: ∠А = 180° – ∠В – ∠С = 180° – 2α – (90° – а) = 180° – 2α – 90° + α = 90° – α. Отже, ∠А = ∠С, тобто? АВС – рівнобедрений.

 Властивості кола. Дотична до кола




Властивості кола. Дотична до кола