Властивості піраміди

1.

1) Оскільки піраміда за своїми властивостями має парну кількість ребер, то піраміда не може мати 13 ребер.

2) З’ясуємо, чи має система розв’язки.  Властивості піраміди  Властивості піраміди Розв’язків не має.

Отже не існує піраміди, яка має 12 ребер і 6 граней.

2.

SABCDEF правильна шестикутна піраміда.

AB = BC = CD = DE = EE = AF = 6 cм. SA = SB = SC = SD = SE = SF = 5 cм.

Знайдемо площу бічної поверхні. Sбічн = SΔSFE

Розглянемо ΔSFE – рівнобедрений. Побудуємо SM + FE.

SM – висота і медіана, оскільки трикутник рівнобедрений.

Розглянемо

ΔSMF – прямокутний.

 Властивості піраміди FM = 3 см. З теореми Піфагора:

SM2 = SF2- FM2; SM2 = 52 – З2 = 16; SM = 4 см.

Тоді  Властивості піраміди  Властивості піраміди

А отже Sбічн = 6 х 12 = 72 (см2).

 Властивості піраміди

3.

SABC – правильний тетраедр.  Властивості піраміди

S повн = 4SΔACS отже  Властивості піраміди ΔACS – правильний.

 Властивості пірамідиДе а – довжина сторони трикутника.

Маємо:  Властивості піраміди а2 = 16; а = 4 см.

Отже,

довжина ребра тетраедра 4 см.

 Властивості піраміди

4.

SABCD – правильна чотирикутна піраміда;

AB = BC = CD = AD = 4 см; SO – висота; SO = 6 см,

Знайдемо площу повної поверхні S повн = Sосн + S бічн; S бічн = 4SΔASD;

Sосн = AB2; SME = 42 = 16 (cм2).

ΔASD – рівнобедрений.  Властивості піраміди

SM – знайдемо з прямокутного трикутника

SOM (∠SOM = 90º, оскільки SO – висота).

За теоремою Піфагора SM2 = MO2 + SO2,

 Властивості піраміди МО= 2 cм. SM2 = 22 + 62 = 4 + 36 = 40;

 Властивості піраміди Тоді  Властивості піраміди

А отже  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

5.

SABCDSEF – правильна шестикутна піраміда.

SA = SB = SC = SO = SE = SF = 1 м.

∠ SAO = ∠ SВO = ∠ SCO = ∠SDO = ∠SEO = ∠ SFO = 45°.

Розглянемо трикутник SOA – прямокутний (SO + AO).

AO = AS • cos ∠ SAO;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник AOF – правильний.

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

6.

SABCD – правильна чотирикутна Піраміда;

SO – висота; SO = 3 см; ОМ + DC; SM + DC.

∠SMO – кут нахилу бічної грані до основи; ∠SMO = 45°.

Розглянемо ∠SOM – прямокутний (SO + ОМ).

ОМ = SO × ctg∠SMO; ОМ = 3 × ctg 45° = 3 × 1 = 3 (см).

AD = 2 × ОМ = 2 × 3 = 6 (см). Сторона основи дорівнює 6 см.

 Властивості піраміди

7.

SABCD – правильна чотирикутна піраміда; SO – висота.

ОМ + DC; SM + DC. ∠SMO – кут нахилу бічної грані до площини основи;

∠SMO = 60°. SM – апофема.

SABCD = 16 см2.  Властивості піраміди AD = 4 см.  Властивості піраміди ОМ = 2 см.

Розглянемо трикутник SOM – прямокутний (SO + ОМ).

 Властивості піраміди Властивості піраміди

 Властивості піраміди

8.

SABCD – правильна чотирикутна піраміда; SO висота;

ОМ + DC; SM + DC. ∠SMO – кут нахилу бічної грані до площини основи;

∠SMO = 45°, SM — апофема,

AD = 3 см. Розглянемо трикутник SOM – прямокутний

(SO + ОМ),  Властивості піраміди ОМ = 1,5м.  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

9. SABO – правильна трикутна піраміда. SO – висота; SM – апофема.

∠SMO = 30°. Знайдемо ∠ASC і ∠SAO. Позначимо ребро основи піраміди а.

ОМ – радіус вписаного кола.  Властивості піраміди

З трикутника SMO – прямокутного (SO + ОМ).  Властивості піраміди  Властивості піраміди

SO = МО × tg ∠SMO;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник AMS – прямокутний (S2W + AC).  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

∠ ASM = arctg 1,5. Оскільки SM-медіана, то ∠ASC = 2∠ASM.

∠ASC = 2arctg 1,5. Розглянемо трикутник АОЗ – прямокутний.  Властивості піраміди

АО – радіус описаного кола.

 Властивості піраміди Тоді  Властивості піраміди А отже  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

10.

SABC – правильна трикутна піраміда; SO – висота; SM апофема.

SM – 6 см. ОМ – радіус вписаного кола.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо площу бічної поверхні. Оскільки піраміда правильна,

То Sбічн = 3 SΔACS  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Отже S = 3 x 18 = 54 (см2).

 Властивості піраміди

11.

SABCD – правильна чотирикутна піраміда; SO – висота:

SM – апофема. АО – радіус описаного кола.  Властивості піраміди SM = 10 см.

З трикутника АМО – прямокутного рівнобедреного:

AM = АО х cos ∠OAM;  Властивості піраміди

Оскільки SM – медіана, то АD = 2АМ, AD = 6 см.

Площа трикутника ASD.  Властивості піраміди

 Властивості піраміди Оскільки піраміда правильна, Sбічн = 4SΔASD;

Sбічн = 4 • 30 = 120 (см2).

 Властивості піраміди

12.

SABCD піраміда. ABCD – прямокутник. AB = DC = 6 cм; AD = ВС = 8 см.

(SАB) + (ABCD); (SBC) + (ABCD). ∠SDB – 60°. Знайдемо ∠SAB.

Розглянемо ΔSBD – прямокутний (SB + BD). SB = BD x tg ∠SDB.

BD знайдемо з трикутника BAD (∠BAD = 90°). За теоремою Піфагора

BD2 = АD2 + АB2. BD2 = 82 + 62 = 100; BD = 10 cм.

Тоді  Властивості піраміди

Розглянемо ΔABS – прямокутний (∠ABD = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

13.

SABCD – піраміда; ABCD – прямокутник. AB. = DC = 3 cм;

AD = BC = 4 cм. (ABS) + (ABCD); (BCS) + (A BCD). ∠ SAB = 30°.

Знайдемо ∠ SDB. Розглянемо трикутник ABC – прямокутний (AB + SB)

SB = AB x tg ∠SAB;  Властивості піраміди

З прямокутного трикутника BAD (AB + AD) знайдемо за теоремою Піфагора BD:

BD2 = AB2 + AD2; BD2 = 32 + 42 = 25; BD = 5 cм.

Розглянемо прямокутний трикутник SBD (SB + BD).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди Тоді  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

14.

SABC – піраміда; ΔАСВ – прямокутний (∠ACB = 90°).

∠ABC = 30°; AC = 30 дм. ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = 60º,

SO – висота. Точка О – середина гіпотенузи.

Знайдемо довжину SO.

З прямокутного трикутника АСВ АВ = 2АС, АВ = 30 дм.

Тоді АО = 30 дм. Розглянемо трикутник AOS – прямокутний (SO + АВ).

SO = АО х tg∠SAO;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

15.

SABCD – піраміда; ABCD – пpямокутник;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

О – точка перетину діагоналей основи. SO – висота; SO = 4 cм.

∠ SMO та ∠ SKO – кути нахилу бічних граней до площини основи.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOM – прямокутний.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

16. SABCD – правильна чотирикутна піраміда;

∠SMO = 45°; SO – висота; ОК – відстань від О до бічної грані;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOM – прямокутний, рівнобедрений

(оскільки ∠SMO = 45°, ∠MSO = 180° – 90° – 45° = 45°).

ОК є також і медіаною.  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник ОКМ – прямокутний.

(OK + SM). КМ = ОК х ctg∠KMO: ∠KMO = ∠SMO;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Розглянемо Δ SDC.  Властивості піраміди Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Оскільки піраміда правильна Sбічн = 4SΔSDC;  Властивості піраміди

17.

ABC – правильна трикутна піраміда; ∠ASC = ∠CSB = ∠ASB = 60°,

SO висота, SO = 4 см. Знайдемо Sбічн.

Оскільки ∠ASC = ∠CSB = ∠ASB = 60°,

То всі грані піраміди є правильними рівними трикутниками.

Позначимо ребро піраміди а. Розглянемо ∠SОВ – прямокутний.

З теореми Піфагора SO2= SB2 – OB2.

OB – радіус кола, описаного навколо правильного трикутника АВС.

 Властивості пірамідиОтже, маємо рівняння:  Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

A2 = 24;  Властивості піраміди  Властивості піраміди Тоді  Властивості піраміди=  Властивості піраміди

Площа бічної поверхні Sбічн =3SΔCSB;  Властивості піраміди

Відповідь  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

18.

ABCA1B1C1 – правильна зрізана трикутна піраміда. АВ = ВС = АС = 12 см.

A1B1 = В1С1 = А1С1 = 4 см. OO1 – висота піраміди.  Властивості піраміди

OB – радіуc кола, описаного навколо трикутника АВС.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

О1В1 – радіус кола, описаного навколо трикутника А1В1С1.

 Властивості піраміди  Властивості пірамідиВК = ОВ – О1В1  Властивості піраміди

Розглянемо ΔB1КВ – прямокутний.

За теоремою Піфагора: ВВ21 = В1К2 + BК2;

В1К = ОО1;  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трапецію СС1В1В.  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

З трикутника В1МΒ — прямокутного: Β1М2 = BB21 – ВМ2;

 Властивості піраміди

Тоді  Властивості піраміди

Оскільки піраміда правильна:

Sбічн = 3SCC1B1B  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

19.

Сторони основ правильної зрізаної піраміди FB = 4 см;

F1E1= 2 cм. OO1- висота піраміди;  Властивості піраміди

ОЕ = FE, O1E1 = F1E1; ОЕ = 4 см; O1E1 = 2 см; КЕ = ОЕ – О1Е1;

КЕ = 2 см;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник Е1КЕ – прямокутний.

 Властивості піраміди– за теоремою Піфагора.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник Е1ME – прямокутний (Е1Μ + ME).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

З теореми Піфагора:  Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Тоді площа трапеції FF1E1Е:  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Sбічн = 6S FF1E1Е;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

20.

АВСА1В1С1 – зрізана піраміда. ΔАСВ – прямокутний (∠ACB = 90°).

ΔΑ1С1Β1 – прямокутний (∠Α1С1Β1 = 90°). ∠CBA = ∠C1B1A1 = 30°.

АВ = 6 см; А1В1 = 4 см. СС1 висота піраміди,  Властивості піраміди

Знайдемо площу поверхні піраміди. Знайдемо площі кожної з граней.

Розглянемо трикутник АСВ – прямокутний.

СВ = АВ × cos∠CBA;  Властивості піраміди

СА = АВ × sin∠CBA;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник A1C1B1 – прямокутний,

С1В1 = А1В1 cos ∠С1В1А1;

 Властивості піраміди С1А1 = А1В1 × sin∠C1B1A1;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості пірамідиСС1А1А – прямокутна трапеція.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

СС1В1В – прямокутна трапеція;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо ΔΑ1КА – прямокутний (∠A1КA = 90º).  Властивості піраміди

АК = СА – С1А1; АК = 3 – 2 = 1 (см).

За теоремою Піфагора:  Властивості піраміди АА1 = 2 см.

Розглянемо ΔΒ1ΜΒ – прямокутний (∠Β1ΜΒ = 90º).

 Властивості піраміди ВМ = СВ – С1В1;  Властивості піраміди

За теоремою Піфагора:  Властивості піраміди Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трапецію AA1B1B. А1N = В1Р – висоти трапеції.

Позначимо AM = х, тоді РВ = 6 – х – 4 = 2 – х.

З трикутника АNА1 – прямокутного  Властивості піраміди

З трикутника В1РВ – прямокутного Властивості піраміди

Маємо співвідношення:  Властивості піраміди

4 – x2 = 6 – (2 – x)2; 4 – x2 = 6 – 4 + 4x – х2; 4х = 2; х = 0,5.

Тоді Властивості піраміди  Властивості піраміди

Обчислимо площу трапеції.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Тоді  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

21.

ABCBA1B1C1B1 – зрізана піраміда; ABCD, А1В1С1D1 – ромби.

∠BAD = ∠B1A1D1 = 60°. АВ = 8 см; А1О1 = 6 см. ОО – висота,  Властивості піраміди

Знайдемо площу поверхні піраміди. S = Sповн = SABCD + SA1B1C1D1.

Розглянемо ΔAOD – прямокутний (∠AOD = 90°) AC1 – бісектриса кута BAD.

∠OAD = 30°. OD = AD × sin∠OAD;  Властивості піраміди

AO = AD × coS∠OAD;  Властивості піраміди

Розглянемо ΔΑ1Ο1D1 – прямокутний (∠A1O1D1 = 90°).

A1C1 – бісектриса кута. Β1Α1D1. ∠O1A1D1 = 30°.

O1D1 = A1D1 × sin∠O1A1D1;  Властивості піраміди

Α1Ο1 = A1D1 × cos∠O1A1B1;  Властивості піраміди

AC = 2AO;  Властивості піраміди BD = 2OD;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник D1КD – прямокутний (D1К + ОD).

 Властивості піраміди DK = OD – O1D; DK = 4 – 3 = 1 (см).

За теоремою Піфагора  Властивості піраміди Властивості піраміди

Розглянемо трикутник Α1МΑ – прямокутний (A1M + AО)

 Властивості піраміди AM = AO – A1О1;  Властивості піраміди

За теоремою Піфагора:  Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трапецію AA1D1D. AN = D1P – висоти.

Позначимо AN = x, тоді PD = 8 – x – 6 – 2 = 2 – x.

З прямокутного трикутника AM А  Властивості піраміди

З прямокутного трикутника D1PD  Властивості піраміди

Маємо співвідношення:  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Обчислимо площу трапеції.  Властивості піраміди

I  Властивості піраміди

Тоді  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

22.

SABCD – правильна чотирикутна піраміда; SO-висота, SO1 = OO1.

SA1B1C1D1 = 36см2.  Властивості піраміди А1D1 = 6 см.

Розглянемо трикутник ASD. Α1D1 – середня лінія трикутника. AD = 2А1D1;

AD = 2 × 6 = 12 (см).

 Властивості піраміди

23.

SABCD – чотирикутна піраміда. ABCD – прямокутник; АВ = DС = 5см.

SA1B1C1D1 = 133см2. Розглянемо трикутник SDC. D1C1 – середня лінія трикутника.

 Властивості пірамідиD1C1 = 2,5 см. Знайдемо A1D1. A1B1C1D1 – прямокутник.

A1D1 = SA1B1C1D1 : D1C1; A1D1 = 133 : 2,5 = 53,2 (см). Розглянемо трикутник ASD.

Α1Β1 – середня лінія трикутника. AD = 2А1D1. AD = 2 × 53,2 = 106,4 (см).

 Властивості піраміди

24.

Переріз паралельний основі відтинає на даній піраміді подібну їй піраміду.

Лінійні розміри цих пірамід відносяться як 2 : 1,

А отже площі будуть відноситися як 4 : 1.

Маємо: Sосн = 4Sпер та за умовами Sосн – Sпер = 381,

Звідси Sосн = 381 + Snep. Отримуємо 381 + Sпер = 4Sпер;

3Sпер = 381; Sпер = 127 см. Отже, Sосн = 508 см2.

26.

SABC – правильна трикутна піраміда.  Властивості піраміди

Нехай ребро основи дорівнює a; ∠SKO = α, тоді  Властивості піраміди

З трикутника SOK – прямокутного SO = OK × tg∠SKO.

OK – радіус вписаного кола.  Властивості піраміди  Властивості піраміди

З трикутника SOB – прямокутного SO = ОВ × tg∠SBO.

ОВ – радіус описаного кола.  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Отримуємо рівняння:  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Tg2α + tgα = 2 – 2tgα; tg2α + 3tgα – 2 = 0;

D = b2 – 4ac = 9 – 4 × 1 × (-2) = 17;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди – не підходить;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

27.

SABC – правильна трикутна піраміда.

АО – радіус описаного навколо трикутника ASC, кола.

АО = R, ∠SAO = α. ΔABC – правильний.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

ОМ + АС. ОМ – радіус кола, вписаного в ΔАВС,

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

З трикутника SOA – прямокутного знайдемо SО.

SO = АО × tg∠SAO; SO = R tg α.

З трикутника SOM – прямокутного знайдемо SM.

За теоремою Піфагора

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Знайдемо площу трикутника ASC.

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Повна поверхня піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

28.

SABC – правильна трикутна піраміда. АС = a; ∠SMO = α.

Трикутник ABC – правильний.  Властивості піраміди

ОМ – радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

З прямокутного трикутника SOM (∠SOM = 90º)

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо трикутника CSB.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо площу поверхні Sповн = Socн + 3SΔСSВ

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

29.

SABC – правильна трикутна піраміда.

∠CSB = α; AS = CS = BS = b. Розглянемо трикутник CSB.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

За теоремою косинусів СВ2 = CS2 + BS2- 2CS × BS × cos ∠CBS;

СВ2 = b2 + b2 – 2b × b × cosα = 2b2 – 2b2cosα = 2b2(1-cosα).

Трикутник ABC – правильний.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо площу повної поверхні. Sповн = Socн + 3SΔCSB;

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

30.

SABC – правильна трикутна піраміда; ∠CSB = α, SO = R.

Точка О – точка перетину серединних перпендикулярів.

SM – медіана, бісектриса, висота.  Властивості піраміди

З трикутника SKO – прямокутного SK = SO × cas∠OSK;

 Властивості піраміди

Тоді Властивості піраміди ВМ = SB sin ∠BSM;

 Властивості піраміди СВ = 2ВМ; СВ = 2R sin α.

Трикутник ABC – правильний.  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Площа трикутника CSB:  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Визначимо площу повної поверхні.

Sповн = SΔABC + 3SΔCSB;

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

31.

SABCD – піраміда, ABCD – ромб;

∠BAD = α < 90º; AB = a; AК + DC; CK + DC; ∠SKA = β.

Розглянемо трикутник АКD – прямокутний.

∠ADK = ∠BAD = α; KD = AD × cos∠ADК;

КD = a x cos α; AК = AD × sin∠ADК; АК = а × sin α.

Розглянемо трикутник SAК – прямокутний (∠SAK = 90º).

SA = АК tg∠SBA; SК = a sin α tg β;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SAD.

За теоремою Піфагора SD2 = SA2 + ADZ;

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо площу трикутника SAD.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо площу ΔSDC.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Знайдемо площу бічної поверхні. Sбічн = 2SΔSAD + 2SΔSDC;

Знайдемо площу бічної поверхні. Sбічн = 2SΔSAD + 2SΔSDC;

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

32.

SABCD – піраміда. ABCD – ромб;

∠BAD = α < 90º; ΑΚ + DC; SK + DC; ∠ SKA = β; AM = d.

Розглянемо трикутник AMK – прямокутний

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SAK – прямокутний.

SA = A К × tg ∠SKA;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник AКD – прямокутний.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди ∠ ADK = ∠BAD = α.

 Властивості піраміди

33.

SABCD – піраміда; ABCD – ромб;

∠ABC = β > 90°; AB + (ABCD). BL + DC; SL + DC;

∠SLB = α. SK = KB; KM + SL; KM = l.

Трикутник SBL – прямокутний (∠SBL = 90°).

∠BSL = 90° – ∠BLS = 90° – α.

Розглянемо трикутник SMK – прямокутний (∠SML = 90°).

 Властивості піраміди ∠KSM = ∠BSL;  Властивості піраміди

Оскільки SK = KB, то висота  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SBL – прямокутний (∠SBL = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник BLS – прямокутний (∠BLC = 90°).

∠BCL = 180° – β;

 Властивості піраміди Властивості піраміди

 Властивості піраміди

35.

1) SABC – правильна трикутна піраміда; ∠ASB = 30°.

Знайдемо ∠SKC. SO – висота піраміди.

Позначимо ребро основи a.

DK – радіус вписаного кола в трикутник ABC.  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник AKS – прямокутний (∠AKS = 90°).

Оскільки SK – висота, медіана та бісектриса трикутника ASB,

Маємо:  Властивості піраміди ∠ASK = 15°. Тоді SK = АК ctg∠ASK;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (∠SOK = 90°),  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

2) SABCD – правильна чотирикутна піраміда; ∠DSC = 30°.

SO – висота піраміди; SO + ABCD.

OK + DC; SK + DC. Знайдемо ZOKS.

Позначимо ребро основи а.  Властивості піраміди

SK – висота, медіана, бісектриса трикутника DSC,

Значить ∠DSK = 15°.  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SKD – прямокутний (∠SKD = 90°).

SK = DK × ctg∠DSK;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (∠SOK = 90°),

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

3) SABCDEF – правильна шестикутна піраміда;

∠ESD = 30°. SO – висота; SO + (ABCDEF). OK + ED; SK + ED.

Знайдемо ∠SKO. Позначимо ребро основи a.

SK – висота, медіана, бісектриса трикутника ESD,

Значить  Властивості піраміди ∠ESK = 15°.

З трикутника ОКЕ – прямокутного (∠ΟΚΕ = 90°) ∠ΟΕΚ = 60°;

OK = ΕΚ × tg ∠OEK;  Властивості піраміди

З трикутника SКА – прямокутного (∠SKE = 90°)

SK = ЕК × ctg ∠ESK;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SPK – прямокутний

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди Властивості піраміди

 Властивості піраміди

4) ∠A1SA2 = 30°. SO – висота; OK + А1А2; SK + А1А2. Знайдемо ∠OKS.

Розглянемо трикутник A1OA2.  Властивості піраміди

OК – висота, медіана, бісектриса трикутника А1ОА2.

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Позначимо довжину ребра основи а.  Властивості піраміди

З трикутника ОКА1 – прямокутного (∠OKA = 90°) OK = А1К × ctg∠A1OK;

 Властивості піраміди

З трикутника SKA1- прямокутного (∠SKA1 = 90°) SK = Α1Κ × ctg∠Α1SΚ;

 Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (∠SOK = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

 Властивості піраміди

36.

1) SABC – правильна трикутна пірамідa.

OS – висота; ВК + АС; SK + АС.

 Властивості пірамідиАС = ВС =АС = 1 м.

OМ + SК. Знайдемо ОМ.

ОК – радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник КМО – прямокутний (∠КМО = 90°).

МО = ОК × sin∠MKO; ∠МКО = ∠SKO;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Скористаємось тим, що  Властивості піраміди

Тоді  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Маємо:  Властивості піраміди

2) SABCD – правильна чотирикутна піраміда; OS – висота.

OK + DC; SK + X DC;  Властивості піраміди AB = ВС = CD = AD = 1 м.

ОМ + SK. Знайдемо ОМ.  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Розглянемо трикутник ОМК – прямокутний (∠ОМК = 90°).

МО = ОК × sin∠MKO; ∠МКО = ∠SKO.

Скористаємось тим, що  Властивості піраміди (див. п. 1).

Маємо:  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

3) SABCDEF – правильна шестикутна піраміда; OS – висота;

OK + AB; SK + АВ;  Властивості піраміди

OK – радіус кола, вписаного в шестикутник ABCDEF.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник ОМК – прямокутний (∠ОМК = 90°).

МО = ОК × sin∠MKO; ∠МКО = ∠SKO.

Скористаємось тим, що (див. п. 1).  Властивості піраміди

Маємо:  Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

4) OS – висота; OK + А1А2; SK + А1А2

О К – радіус кола, вписаного в правильний n-кутник.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник КМО – прямокутний (∠ΚΜΟ = 90°).

МО = OК × sin ∠МКО; ∠MKO = ∠SKO.

Скористаємось тим, що  Властивості піраміди (див. п. 1).

 Властивості піраміди

Маємо:  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

37.

SABC – правильна трикутна піраміда; SO – висота; ОК = КS; КМ + SB;

КМ = 2 см. АР + ВС; SP + BC.  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

38.

1) SABC – правильна трикутна піраміда; SO – висота; OK + АС·, SK +АС;

∠SKO = δ. SM = МО. PM + SK; PM = d. ZSKO = δ, тоді ∠KSO = 90° – δ.

Розглянемо трикутник SPM – прямокутний (∠SPM = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди Тоді SO = 2SM;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (∠SOK = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

КО – радіус кола, вписаного в трикутник ABC.  Властивості піраміди

Тоді  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Тоді площа основи  Властивості піраміди  Властивості піраміди

2) SABCD — правильна чотирикутна піраміда; SO – висота;

OK + DC; SK + DC, ∠SKO = δ. PM + SK; PM = d; SM = MO.

∠SKO = δ, тоді ∠KSO = 90° – δ.

Розглянемо трикутник SPM – прямокутний (∠SPM = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Тоді SO = 2SM;  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (∠SOK = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Тоді площа основи SABCD =AD2;  Властивості піраміди

3) SABCDEF – правильна шестикутна піраміда; SO – висота;

ОК + АВ; SK + AB; ∠SKO=δ. PM + SK: PM = d; SM = MO.

∠SKO = δ, тоді ∠KSO = 90° – δ.

Розглянемо трикутник SPM – прямокутний

(∠SPM = 90°). Властивості піраміди  Властивості піраміди

Тоді SO = 2SM;  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (∠SOK = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

OK – радіус кола, вписаного в правильний шестикутник.

 Властивості піраміди Тоді  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Площа основи  Властивості піраміди  Властивості піраміди

 Властивості піраміди

4) SO – висота; OK ∠ А1А2; SK + Α1Α2; ∠SKO = δ. PM + SK;

PM = d; SM = MO; ∠SKO = δ, тоді ZKSO = 90° – δ.

Розглянемо трикутник SPM – прямокутний (∠ SPM = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Розглянемо трикутник SOK – прямокутний (+ SOK = 90°).

 Властивості піраміди  Властивості піраміди

КО – радіус кола, вписаного в правильний n-кутник.

 Властивості піраміди  Властивості піраміди  Властивості піраміди

Тоді площа основи:  Властивості піраміди

 Властивості піраміди




Властивості піраміди