Властивості степеня з натуральним показником

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 4. Властивості степеня з натуральним показником

Розглянемо властивості степеня з натуральним показником. Вираз а3а2 є добутком двох степенів з однаковими основами. Застосувавши означення степеня, цей добуток можна переписати так:

А3а2 = (ааа) ∙ (аа) = ааааа = а5.

Отже, а3а2 = а5, тобто a5 = а2 + 3. У той самий спосіб неважко перевірити, що х5х4х2 = х5 + 4 + 2 = х11. Тому добуток степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією самою основою і показником, який дорівнює сумі показників множників. Ця властивість справджується

для кожного добутку степенів з однаковими основами.

Доведення.

 Властивості степеня з натуральним показником

Рівність аmаn = аm+n називають основною властивістю степеня. Вона поширюється на добуток трьох і більше степенів. Наприклад:

Аmаnаk =am + n + k.

З основної властивості степеня випливає правило множення степенів з однаковими основами:

Наприклад, 37 ∙ 35 = 37+5 = 312; 73 ∙ 7 = 73 ∙ 71 = 73+1 = 74; a7a2а3= a7+2+3 =a12.

Оскільки а3а2 = а5, то за означенням частки а5 : а3 = а2, тобто а2 = а5-3. У той самий спосіб неважко пересвідчитися,

що х15 : х4 = х11. Тому частка степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією самою основою і показником, який дорівнює різниці показників діленого і дільника. Ця властивість справджується для кожної частіш степенів з однаковими, відмінними від нуля, основами за умови, що показник степеня діленого більший за показник степеня дільника.

Доведення. Оскільки аm – n ∙ аn = аm – n + n =аm, тобто аm – n аn =аm, то за означенням частки маємо аm : аn = аm – n.

З доведеної властивості випливає правило ділення степенів.

Наприклад, 318 : 35 = 318 – 5 =313; m9 : m = m9 : m1 = m9 -1 = m8.

Вираз (а7)3 – степінь, основа якого є степенем. Цей вираз можна подати у вигляді степеня з основою а:

(а7)3 = а7 ∙ а7 ∙ а7 = а7 + 7 + 7 = а7∙3 = а21.

У той самий спосіб можна пересвідчитися, що ((х7)3)2 = х42. Тобто степінь при піднесенні до степеня дорівнює степеню з тією самою основою і показником, що дорівнює добутку показників даних степенів.

Доведення.

 Властивості степеня з натуральним показником

З доведеної властивості випливає правило піднесення степеня до степеня.

Наприклад, (45)4 = 45∙4 = 420; (а8)11 = а8∙11 = а88; ((р3)2)6 = (p3∙2)5 = (p6)5 = p6∙5 = p30.

Вираз (аb)3с степенем добутку множників а і b. Цей вираз можна подати у вигляді добутку степенів а і b:

(ab)3 = аb ∙ ab ∙ ab = (ааа) ∙ (bbb) = a2b3.

Отже, (аb)3 = а3b3.

Таку саму властивість при піднесенні до степеня має будь-який добуток.

Доведення.

 Властивості степеня з натуральним показником

Ця властивість степеня поширюється на степінь добутку трьох і більше множників. Наприклад,

(mpk)n =mnpnkn; (abcd)n = аnbnсndn тощо.

Маємо правило піднесення добутку до степеня.

Наприклад,

(7 ab)2= 72а2b2 = 49 а2b2; (-2хy)3 = (-2)3х3y3 = -8 х3у3.

Ліву і праву частини розглянутих тотожностей можна міняти місцями:

 Властивості степеня з натуральним показником

Розглянемо, як спростити вирази, що містять степені, та обчислити їх значення.

Приклад 1.

Спростити (а2)3 ∙ (а4а)6.

Р о з в’ я з а н н я.

(а2)3 ∙ (а4а)6 = а6 ∙ (а5)6 = а6а30 =а36.

Приклад 2.

Обчислити:

1) 0,713 : 0,711;

2) 35 ∙ 92 : 272;

3) 27 ∙ 0,58.

Р о з в’ я з а н н я.

1) 0,713 : 0,711 = 0,72 = 0,49.

2) Подамо 92 і 272 у вигляді степеня з основою 3, тобто 92 = (32)2, 272 = (33)2.

Отже, маємо:

35 ∙ 92 : 272 = 35 ∙ (32)2 : (33)2 = З5 ∙ 34 : 36 = 39 : 36 = 33 = 27.

3) Оскільки 0,58 = 0,57 ∙ 0,5, маємо:

27 ∙ 0,58 = 27 ∙ 0,57 ∙ 0,5 = (2 ∙ 0,5)7 ∙ 0,5 = 17 ∙ 0,5 = 1 ∙ 0,5 = 0,5.

Сформулюйте основну властивість степеня. Сформулюйте правила множення степенів, ділення степенів, піднесення степеня до степеня та піднесення добутку до степеня.

95. (Усно) Які з рівностей є правильними:

1) а6 ∙ а2 = а12;

2) а7 а3 = а10;

3) b10 : b5 = b2;

4) b8 : b2 = b6

5) (а7)3 = a21;

6) (а4)5 = а9?

96. (Усно) Подайте добуток у вигляді степеня:

1) m7m4;

2) а9а;

3) 107105;

4) 9 ∙ 95.

97. Запишіть добуток у вигляді степеня:

1) a4а9;

2) c3с10;

3) у5y;

4) 28 ∙ 223.

98. Подайте добуток у вигляді степеня:

1) m3m2;

2) р9р4;

3) 3 ∙ 317;

4) a5а2.

99. (Усно) Представте частку у вигляді степеня:

1) а9 : а2;

2) 715 : 712;

3) b9 : b;

4) 198 : 197.

100. Запишіть частку у вигляді степеня:

1) а7 : а4;

2) х10 : х5;

3) с7 : с;

4) р9 : р8.

101. Подайте частку у вигляді степеня:

1) р9 : р5;

2) х12 : х3;

3) 108 : 10;

4) t12 : t11.

102. (Усно) Запишіть у вигляді степеня:

1)(с7)3;

2) (210)7;

3) (р3)5;

4) (78)11.

103. Подайте у вигляді степеня:

1) (х2)4;

2) (а7)2;

3) (89)3;

4) (103)5.

104. Подайте у вигляді степеня:

1) (m3)4;

2) (Р9)2;

3) (73)10;

4) (192)7.

105. Запишіть вираз x12 у вигляді добутку двох степенів, один з яких дорівнює:

1) х3; 2) х6; 3) х9; 4) х11.

106. Запишіть степінь у вигляді добутку двох степенів з однаковими основами:

1)m7; 2) с12; 3) 517; 4) р8.

107. Подайте добуток у вигляді степеня:

1) (-7)3 ∙ (-7)4 ∙ (-7);

2) aa5a11;

3) bbbb9;

4) (х – у)3(х – у)12;

5) 147 ∙ 145 ∙ 149;

 Властивості степеня з натуральним показником

108. Запишіть у вигляді степеня вираз:

1) 123 ∙ 129 ∙ 12;

2) ррр7р;

3) (а + b)3(а + b)5;

 Властивості степеня з натуральним показником

109. Обчисліть значения виразу, використовуючи властивості степенів і таблицю степенів з основами 2 і 3 (див. вправу 71 на с. 20).

1) 23 ∙ 24;

2) 36 : 3;

3) 3 ∙ 33 ∙ 34;

4) 29 : 23.

110. Виконайте піднесення до степеня:

1) (ху)9;

2) (аbс)7;

3) (0,1а)3;

4) (2xу)4;

5) (-2а)5;

6) (- 0,3а)2;

7) (4аb)3;

 Властивості степеня з натуральним показником

111. Запишіть степінь у вигляді добутку степенів або числа і степенів:

1) (аb)5;

2) (2р)4;

3) (-5аx)3;

 Властивості степеня з натуральним показником

5) (-0,1m)3;

6) (-0,07mx)2.

112. Знайдіть значення виразу:

1) 618 : 616;

2) 0,38 : 0,35;

3)  Властивості степеня з натуральним показником

4)  Властивості степеня з натуральним показником;

 Властивості степеня з натуральним показником

113. Обчисліть:

1)910 : 98;

2) Властивості степеня з натуральним показником

 Властивості степеня з натуральним показником  Властивості степеня з натуральним показником

114. Знайдіть значення виразу:

1)  Властивості степеня з натуральним показником ; 2) Властивості степеня з натуральним показником ; 3) Властивості степеня з натуральним показником ; 4)  Властивості степеня з натуральним показником

115. Обчисліть:

1) 54 ∙ 512 : 513;

2)  Властивості степеня з натуральним показником ;

3) Властивості степеня з натуральним показником ;

4) Властивості степеня з натуральним показником

116. Спростіть вираз, використовуючи правила множення і ділення степенів:

1) а7 ∙ а9 : а3;

2) b9 : b5 : b3;

3) m12 : m7 ∙ m;

4) р10 : р9 ∙ р3.

117. Запишіть вираз у вигляді степеня:

1) (a3)4 ∙ а8;

2) ((а7)2)3;

3) (b3)2 : b4;

4) (а4)5 ∙ (а7)2.

118. Подайте вираз у вигляді степеня:

1) (b3)4 ∙ b7;

2) ((х4)5)6;

3) (с3)8 : с10;

4) (m3)6 ∙ (m2)7.

119. Запишіть у вигляді степеня з основою mn:

1) m9n9;

2) m7n7;

3) m2n2;

4) m2015n2015.

120. Подайте у вигляді степеня з основою ab:

1) а5b5;

2) а3b3;

3) а18b18;

4) а2016b2016.

121. Запишіть добуток у вигляді степеня:

1) а4b4;

2) 49a2x2;

3) 0,001a3b3;

4) -8р3;

5)-32а5b5;

6)-а7b7с7;

7)  Властивості степеня з натуральним показникомХ3у3;

8)  Властивості степеня з натуральним показником p3q3.

122. Знайдіть таке значення х, при якому рівність є правильною:

1) 35∙ 32=35 + x;

2) 27 ∙ 28 = 21 + х;

3) 4х ∙ 45 = 48;

4) 98 : 9х = 95.

123. Замініть зірочку степенем з основою а так, щоб рівність стала тотожністю:

1) а2 ∙ * = а7; 2)а8 ∙ * = а9; 3) а4 ∙ * ∙ а7 =а19.

124. Замініть зірочку степенем з основою b (b ≠ 0) так, щоб рівність стала тотожністю:

1) b7 : * = b3;

2) * : b5 = b9;

3) b9 : * ∙ b3 = b7;

4) * : b9 ∙ b4 = b10.

125. Знайдіть таке значення х, при якому є правильною рівність:

1) 1,89 : 1,8 = 1,89 – х;

2) 19х : 197 = 199;

3) 412 : 4х = 47.

126. Подайте вираз:

1) 87; (163)5 у вигляді степеня з основою 2;

2) 253; 6257 у вигляді степеня з основою 5.

127. Подайте вираз:

1) 97; (813)5 у вигляді степеня з основою 3;

2) 1004; 10009 у вигляді степеня з основою 10.

128. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:

1) 256 : 26;

2) 243 : 34 ∙ 9;

3)  Властивості степеня з натуральним показником ;

4)  Властивості степеня з натуральним показником

129. Подайте у вигляді степеня (n – натуральне число):

1) x5xn;

2) x8 : хn, n < 8;

3) xn : (х8 ∙ x9), n > 17;

4) х2n : хn ∙ х3n+1;

5) ((x)3)5;

6) (-х4)2n.

130. Знайдіть значення виразу:

1) 53 ∙ 23;

 Властивості степеня з натуральним показником

3) 0,213 ∙ 513;

 Властивості степеня з натуральним показником

5) 0,57 ∙ 28;

 Властивості степеня з натуральним показником

131. Обчисліть:

1) 0,257 ∙ 47;

 Властивості степеня з натуральним показником

132. Знайдіть значення виразу, використовуючи властивості степенів:

1)  Властивості степеня з натуральним показником ; 2)  Властивості степеня з натуральним показником ; 3)  Властивості степеня з натуральним показником ; 4) Властивості степеня з натуральним показником.

133. Знайдіть значення виразу:

1)  Властивості степеня з натуральним показником2)  Властивості степеня з натуральним показником ; 3)  Властивості степеня з натуральним показником 4)  Властивості степеня з натуральним показником

134. Обчисліть:

1)  Властивості степеня з натуральним показником ; 2)  Властивості степеня з натуральним показником ; 3)  Властивості степеня з натуральним показником ; 4)  Властивості степеня з натуральним показником

135. Порівняйте вирази:

1) 610 і 365;

2) 1020 і 2010;

3) 514 і 267;

4) 23000 і 32000.

Вправи для повторення

136. Спростіть вираз:

1) 5,2 ∙ 6а;

2) -4,5b ∙ 8;

3) -5х ∙ (-12);

4)  Властивості степеня з натуральним показником m ∙  Властивості степеня з натуральним показникомK;

5)1  Властивості степеня з натуральним показником x ∙(- 1  Властивості степеня з натуральним показником y);

6) 1,8а ∙ (-6) ∙ 5с.

137. Вартість деякого товару становила 80 грн. Спочатку її знизили на 15 %, а потім підвищили на 10 %. Знайдіть:

1) вартість товару після зниження;

2) вартість товару після підвищення;

3) як саме і на скільки гривень змінилася вартість товару;

4) як саме і на скільки відсотків змінилася вартість товару.

138. Нехай а + b = 5 і с = -2. Знайдіть значення виразу:

1) а + b – с;

2) а – 2с + b;

3) Властивості степеня з натуральним показником ;

4) с(а + b – 4c).

139. Спростіть вираз 1,7 (1  Властивості степеня з натуральним показникомA – 4b) – 1,5(1,2b – а) і знайдіть його значення, якщо а = 5; b =-10.

Цікаві задачі для учнів неледачих

140. Задача Ньютона. Трава па галявині росте рівномірно щільно й швидко. Відомо, що 70 корів з’їли б її за 24 дні, а 30 корів – за 60 днів. Скільки корів з’їли б усю траву за 96 днів?

цифрами, ділиться на 4.




Властивості степеня з натуральним показником