Властивості тригонометричних функцій

УРОК 10

Тема. Властивості тригонометричних функцій

Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення).

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність побудови графіків функцій вправи № 28 (а-г) за рисунками, зробленими до уроку.

II. Вивчення властивостей тригонометричних функцій.

Властивості

вивчених тригонометричних функцій зручно за­писати в таблицю 5. При заповненні таблиці мож­ливі такі коментарі:

1. Вирази sin х і cos х визначені для будь-яких x, оскільки для будь-якого числа х можна знайти координати точки  Властивості тригонометричних функцій, оди­ничного кола.

Вираз tg х має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х =  Властивості тригонометричних функцій, n  Властивості тригонометричних функцій ?.

Вираз ctg x має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = ?n, n  Властивості тригонометричних функцій ?.

2. Оскільки sin х і cos х – це

ордината і абсциса точки  Властивості тригонометричних функцій одиничного кола, то областю значення синуса і косинуса є про­міжок [-1; 1].

Оскільки tg? – це ордината точки  Властивості тригонометричних функцій лінії тангенсів, то обла­стю значень тангенса є R.

Оскільки ctg? – це абсциса точки  Властивості тригонометричних функцій лінії котангенсів, то областю значень котангенса є R.

3. Оскільки точки Р? і Р-? одиничного кола (рис. 75) симет­ричні відносно осі ОХ, то ці точки мають однакові абсциси і про­тилежні ординати, тобто sin (-?) = – sin?; cos (-?) = cos?.

 Властивості тригонометричних функцій

 Властивості тригонометричних функцій

Оскільки точки Т? і?-? симетричні відносно Р0 лінії тангенсів, то tg (-?) = – tg?.

Оскільки точки Q? і Q-? симетричні (рис. 77) відносно точки  Властивості тригонометричних функцій лінії котангенсів, то ctg (-?) = – ctg?.

 Властивості тригонометричних функцій

Можна довести аналітичне, що tg? і ctg? непарні:

 Властивості тригонометричних функцій,

 Властивості тригонометричних функцій.

4. Див. урок 8.

5. Ординату, рівну нулю, мають дві точки (рис. 78) одиничного кола: (1; 0) і (-1; 0). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 0, ?, 2?, 3? і т. д., а також на кути – ?, -2?… Отже, sin х = 0, якщо х = nk, n  Властивості тригонометричних функцій ?.

 Властивості тригонометричних функцій

6. Абсцису, рівну нулю, мають дві точки одиничного кола: (0; 1) і (0; -1). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути  Властивості тригонометричних функцій;  Властивості тригонометричних функцій + ?;  Властивості тригонометричних функцій + 2? і т. д., а також на кути –  Властивості тригонометричних функцій ; –  Властивості тригонометричних функцій + ?; –  Властивості тригонометричних функцій + 2?, тобто на кути  Властивості тригонометричних функцій+2?k, k Властивості тригонометричних функційZ (рис. 79). Отже, cos х = 0, якщо х =  Властивості тригонометричних функцій + ?k, k  Властивості тригонометричних функцій?.

 Властивості тригонометричних функцій

7. Див. урок 9.

8. Якщо кут? змінюється від – Властивості тригонометричних функцій до  Властивості тригонометричних функцій, то ордината точки?? збільшується від -1 до 1, тобто sin? зростає на проміжку  Властивості тригонометричних функцій, враховуючи, що найменшим періодом синуса є 2?, робимо висновок, що sin? зростає на проміжку  Властивості тригонометричних функцій, n Властивості тригонометричних функцій? (рис. 80). Якщо кут? змінюється від  Властивості тригонометричних функцій до  Властивості тригонометричних функцій, то ордината точки?? зменшується від 1 до -1, тобто sin? спадає на проміжку  Властивості тригонометричних функцій. Враховуючи, що найменший період синуса є 2?, робимо висновок, що sin? спадає на про­міжках  Властивості тригонометричних функцій, n Властивості тригонометричних функцій?.

 Властивості тригонометричних функцій

Якщо кут? змінюється від 0 до?, то абсциса точки Р? змен­шується від 1 до -1, тобто cos? спадає на проміжку [0; ?], якщо кут? змінюється від – ? до 0, то абсциса точки?? збільшується від -1 до 1, тобто cos? зростає (рис. 81). Враховуючи, що найменший період косинуса є 2?, робимо висновок, що фун­кція cos? спадає на проміжках [2?n; ? + 2?n] і зростає на проміжках [-? + 2?n; 2?n], n  Властивості тригонометричних функцій ?.

 Властивості тригонометричних функцій

При зміні кута? від – Властивості тригонометричних функцій до  Властивості тригонометричних функцій ордината точки Т? лінії тангенсів збіль­шується від – Властивості тригонометричних функцій до + Властивості тригонометричних функцій, тобто tg? зростає на проміжку  Властивості тригонометричних функцій. Враховуючи, що найменший додатний період тангенса є?, робимо висновок, що tg? зростає на кожному з проміжків  Властивості тригонометричних функцій, ? Властивості тригонометричних функцій? (рис. 82).

 Властивості тригонометричних функцій

При зміні кута? від 0 до? абсциса точки Q? лінії котанген­сів зменшується від + Властивості тригонометричних функцій до – Властивості тригонометричних функцій, тобто ctg? спадає на проміжку (0; ?). Враховуючи, що найменший додатний період котанген­са є?, робимо висновок, що ctg? спадає на кожному з проміж­ків (?n; ? + ?n), n Властивості тригонометричних функцій?.

11. Ординату, рівну 1, має точка (0; 1) одиничного кола (рис. 84). Цю точку отримаємо із точки (1; 0) поворотом на кути  Властивості тригонометричних функцій + 2?n. Отже, sin x = 1, якщо x =  Властивості тригонометричних функцій+ 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?.

Абсцису, рівну 1, має точка (рис. 85), утворена із точки (1; 0) поворотом на кути 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?. Отже, cos x = 1, якщо x = 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?.

 Властивості тригонометричних функцій

 Властивості тригонометричних функцій

12. Ординату, рівну -1, має точка (рис. 86), утворена із точки (1; 0) поворотом на кут –  Властивості тригонометричних функцій + 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?. Отже, sin x = -1, якщо x = –  Властивості тригонометричних функцій + 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?. Абсцису, рівну -1, має точка, утворена із точки?? поворотом (рис. 87) на кут? + 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?. Отже, cos x = -1, якщо х = ? + 2?n, n Властивості тригонометричних функцій?.

 Властивості тригонометричних функцій

 Властивості тригонометричних функцій

III. Застосування властивостей тригонометричних функцій до розв’язування вправ

1. Використовуючи властивості функції у = sin x, порівняйте числа:

A) sin  Властивості тригонометричних функцій і sin  Властивості тригонометричних функцій; б) sin  Властивості тригонометричних функцій і sin  Властивості тригонометричних функцій; в) sin 3 і sin 4; г) sin 1° і sin 1.

Відповідь: a) sin  Властивості тригонометричних функцій > sin  Властивості тригонометричних функцій; б) sin  Властивості тригонометричних функцій > sin  Властивості тригонометричних функцій; в) sin 3 > sin 4; г) sin 1° < sin 1.

2. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) sin 20°; sin 85°; sin 30°;

Б) sin 0,2; sin 0,3; sin 0,1;

В) sin 2; sin (-2); sin (-1); sin 1.

Відповідь: a) sin 20°; sin 30°; sin 85°; б) sin 0,1; sin 0,2; sin 0,3; в) sin (-2); sin (-1); sin 1; sin 2.

3. Використовуючи властивості функції у = cos x, порівняйте числа:

A) cos 2,52 і cos 2,53;

B) б) cos (-4,1) і cos (-4);

C) в) cos 1 і cos 3;

D) г) cos 4 і cos 5.

Відповідь: a) cos 2,52 > cos 2,53; 6) cos (-4,1) > cos (-4); в) cos 1 > cos 3; г) cos 4 < cos 5.

4. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) cos 13°; cos 53°; cos 23°;

Б) cos 0,3; cos 0,6; cos 0,9;

В) cos 2; cos 4; cos 6.

Відповідь: a) cos 53°; cos 23°; cos 13°; б) cos 0,9; cos 0,6; cos 0,3; в) cos 4; cos 2; cos 6.

5. Використовуючи властивості функції у = tg x, порівняйте чис­ла:

А) tg (-2,6?) і tg (-2,61?);

Б) tg 2,7? і tg 2,75?;

В) tg 2 і tg 3;

Г) tg 1 і tg 1,5.

Відповідь: а) tg (-2,6?) > tg (-2,61?); б) tg 2,7? < tg 2,75?; в) tg 2 < tg 3; г) tg 1 < tg 1,5.

6. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) tg 25°; tg 65°; tg 15°;

Б) tg (-1); tg (-2); tg (-3);

В) tg (-5); tg (-3); tg 3.

Відповідь: а) tg 15°; tg 25°; tg 65°; б) tg (-1); tg (-3); tg (-2); в) tg 3; tg (-3); tg (-5).

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 7. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 52-56, Вправи № 18 (а-г), № 35 (1-4). Повторити розділ І §1-6.

Таблиця 5
 Властивості тригонометричних функцій



Властивості тригонометричних функцій