УРОК 10
Тема. Властивості тригонометричних функцій
Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення).
І. Перевірка домашнього завдання
Перевірити правильність побудови графіків функцій вправи № 28 (а-г) за рисунками, зробленими до уроку.
II. Вивчення властивостей тригонометричних функцій.
Властивості
1. Вирази sin х і cos х визначені для будь-яких x, оскільки для будь-якого числа х можна знайти координати точки 
, одиничного кола.
Вираз tg х має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = 
, n 
?.
Вираз ctg x має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = ?n, n ?.
2. Оскільки sin х і cos х – це ордината і абсциса точки одиничного кола, то областю значення синуса і косинуса
Оскільки tg? – це ордината точки лінії тангенсів, то областю значень тангенса є R.
Оскільки ctg? – це абсциса точки 
лінії котангенсів, то областю значень котангенса є R.
3. Оскільки точки Р? і Р-? одиничного кола (рис. 75) симетричні відносно осі ОХ, то ці точки мають однакові абсциси і протилежні ординати, тобто sin (-?) = – sin?; cos (-?) = cos?.
Оскільки точки Т? і?-? симетричні відносно Р0 лінії тангенсів, то tg (-?) = – tg?.
Оскільки точки Q? і Q-? симетричні (рис. 77) відносно точки 
лінії котангенсів, то ctg (-?) = – ctg?.
Можна довести аналітичне, що tg? і ctg? непарні:
,
.
4. Див. урок 8.
5. Ординату, рівну нулю, мають дві точки (рис. 78) одиничного кола: (1; 0) і (-1; 0). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 0, ?, 2?, 3? і т. д., а також на кути – ?, -2?… Отже, sin х = 0, якщо х = nk, n ?.
6. Абсцису, рівну нулю, мають дві точки одиничного кола: (0; 1) і (0; -1). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 
; + ?; + 2? і т. д., а також на кути – ; – + ?; – + 2?, тобто на кути +2?k, kZ (рис. 79). Отже, cos х = 0, якщо х = + ?k, k ?.
7. Див. урок 9.
8. Якщо кут? змінюється від – до , то ордината точки?? збільшується від -1 до 1, тобто sin? зростає на проміжку 
, враховуючи, що найменшим періодом синуса є 2?, робимо висновок, що sin? зростає на проміжку 
, n? (рис. 80). Якщо кут? змінюється від до 
, то ордината точки?? зменшується від 1 до -1, тобто sin? спадає на проміжку 
. Враховуючи, що найменший період синуса є 2?, робимо висновок, що sin? спадає на проміжках 
, n?.
Якщо кут? змінюється від 0 до?, то абсциса точки Р? зменшується від 1 до -1, тобто cos? спадає на проміжку [0; ?], якщо кут? змінюється від – ? до 0, то абсциса точки?? збільшується від -1 до 1, тобто cos? зростає (рис. 81). Враховуючи, що найменший період косинуса є 2?, робимо висновок, що функція cos? спадає на проміжках [2?n; ? + 2?n] і зростає на проміжках [-? + 2?n; 2?n], n ?.
При зміні кута? від – до ордината точки Т? лінії тангенсів збільшується від –
до +, тобто tg? зростає на проміжку 
. Враховуючи, що найменший додатний період тангенса є?, робимо висновок, що tg? зростає на кожному з проміжків 
, ?? (рис. 82).
При зміні кута? від 0 до? абсциса точки Q? лінії котангенсів зменшується від + до –, тобто ctg? спадає на проміжку (0; ?). Враховуючи, що найменший додатний період котангенса є?, робимо висновок, що ctg? спадає на кожному з проміжків (?n; ? + ?n), n?.
11. Ординату, рівну 1, має точка (0; 1) одиничного кола (рис. 84). Цю точку отримаємо із точки (1; 0) поворотом на кути + 2?n. Отже, sin x = 1, якщо x = + 2?n, n?.
Абсцису, рівну 1, має точка (рис. 85), утворена із точки (1; 0) поворотом на кути 2?n, n?. Отже, cos x = 1, якщо x = 2?n, n?.
12. Ординату, рівну -1, має точка (рис. 86), утворена із точки (1; 0) поворотом на кут – + 2?n, n?. Отже, sin x = -1, якщо x = – + 2?n, n?. Абсцису, рівну -1, має точка, утворена із точки?? поворотом (рис. 87) на кут? + 2?n, n?. Отже, cos x = -1, якщо х = ? + 2?n, n?.
III. Застосування властивостей тригонометричних функцій до розв’язування вправ
1. Використовуючи властивості функції у = sin x, порівняйте числа:
A) sin 
і sin 
; б) sin 
і sin 
; в) sin 3 і sin 4; г) sin 1° і sin 1.
Відповідь: a) sin > sin ; б) sin > sin ; в) sin 3 > sin 4; г) sin 1° < sin 1.
2. Розташуйте числа в порядку зростання:
A) sin 20°; sin 85°; sin 30°;
Б) sin 0,2; sin 0,3; sin 0,1;
В) sin 2; sin (-2); sin (-1); sin 1.
Відповідь: a) sin 20°; sin 30°; sin 85°; б) sin 0,1; sin 0,2; sin 0,3; в) sin (-2); sin (-1); sin 1; sin 2.
3. Використовуючи властивості функції у = cos x, порівняйте числа:
A) cos 2,52 і cos 2,53;
B) б) cos (-4,1) і cos (-4);
C) в) cos 1 і cos 3;
D) г) cos 4 і cos 5.
Відповідь: a) cos 2,52 > cos 2,53; 6) cos (-4,1) > cos (-4); в) cos 1 > cos 3; г) cos 4 < cos 5.
4. Розташуйте числа в порядку зростання:
A) cos 13°; cos 53°; cos 23°;
Б) cos 0,3; cos 0,6; cos 0,9;
В) cos 2; cos 4; cos 6.
Відповідь: a) cos 53°; cos 23°; cos 13°; б) cos 0,9; cos 0,6; cos 0,3; в) cos 4; cos 2; cos 6.
5. Використовуючи властивості функції у = tg x, порівняйте числа:
А) tg (-2,6?) і tg (-2,61?);
Б) tg 2,7? і tg 2,75?;
В) tg 2 і tg 3;
Г) tg 1 і tg 1,5.
Відповідь: а) tg (-2,6?) > tg (-2,61?); б) tg 2,7? < tg 2,75?; в) tg 2 < tg 3; г) tg 1 < tg 1,5.
6. Розташуйте числа в порядку зростання:
A) tg 25°; tg 65°; tg 15°;
Б) tg (-1); tg (-2); tg (-3);
В) tg (-5); tg (-3); tg 3.
Відповідь: а) tg 15°; tg 25°; tg 65°; б) tg (-1); tg (-3); tg (-2); в) tg 3; tg (-3); tg (-5).
IV. Підсумок уроку
V. Домашнє завдання
Розділ І § 7. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 52-56, Вправи № 18 (а-г), № 35 (1-4). Повторити розділ І §1-6.
Таблиця 5
(1 votes, average: 5,00 out of 5)