Вправи 325-374

325.

 Вправи 325 374

?ABC; AB = AC; ?A1B1C1; A1B1 = A1C1; ∠B = ∠B1; BK = B1K1. ∠AKB = ∠CKB = ∠A1K1B1 = ∠C1K1B1 = 90°. ?АВK = ?A1B1K1.

1) BK = В1K1; 2) ∠1 = ∠2; 3) ∠3 = ∠4, отже, AB =A1B1.

?АВС = ?А1В1С1. AB = A1B1; BC = В1С1; ∠B = ∠B1.

326.

 Вправи 325 374

AC = A1C1; ∠A = ∠A1; AF = A1F1.

1) ?ACF = ?A1C1F1; AF = A1F1; AC = A1C1; ∠FAC = ∠F1A1C1. З рівності трикутників маємо: ∠C = ∠C1.

2) ?ABC = ?A1B1C1 за другою ознакою рівності трикутників. АС = A1C1; ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.

327.

 Вправи 325 374

AC = A1C1; AM = MC; A1M1 = M1C1; ∠BMC = ∠B1M1C1.

?BMC = ?B1M1C1 за першою ознакою рівності, MB = MjBj,

MC = M1C1, ∠M = ∠M1. Отже, ∠C = ∠C1, BC = B1C1.

?АВС = ?A1B1C1; AC = A1C1, BC = В1С1, ∠C = ∠C1 за першою ознакою рівності трикутників.

328.

 Вправи 325 374

ВМ = В1М1; ∠ABM = ∠A1B1M1; ∠MBC = ∠M1B1C1.

Продовжимо медіану ВМ, відкладемо В2М = ВМ. ?АВМ = ?СВ2М, ?АМВ2 = ?CMВ за двома сторонами і кутом між ними. З рівності трикутників маємо: ∠2 = ∠3, ∠1 = ∠4. ВС = АВ2, AB = В2С. ?АВС = ?АВ2С = ?A1B1C1.

329.

 Вправи 325 374

Дано: ZB = ZB1, BK = В1K1, ∠BKC = ∠В1К1C1.

?BKC = ?B1K1C1; BK = B1K1, ∠KBC = ∠K1BjC1, ∠BKC = ∠B1K1C1. З цього маємо:

BC = B1C1, ∠C = ∠C1.

?ABC = ?A1B1C1 (за стороною і двома кутами). ВС = B1C1, ∠C = ∠C1, ∠B = ∠B1.

330.

 Вправи 325 374

1) AB = A1B1, BC = B1C1, ∠B = ∠B1 за першою ознакою.

2) AB = A1B1; ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 за другою ознакою.

331.

 Вправи 325 374

∠BAC = ∠B1AC; АС – спільна основа; ∠BCA = ∠B1CA або ∠BAC = ∠B1AC; AB = AB1; АС – спільна сторона.

332. ?ABC = ?A1B1C1, АС = А1С1, BC = B1C1, BC = B1C1.

333. Кути рівні, тому що трикутники рівні.

334. Правильно.

335. Не завжди правильно.

336.

 Вправи 325 374

?АВС, AB = ВС; ?ADC, DС = DА.

1) ?ABD = ?CBD за третьою ознакою, AB = BC, AD = DC, BD – спільна сторона.

337.

 Вправи 325 374

?АВМ = ?A1B1M1; ?ВМС = ?B1M1C1.

338.

 Вправи 325 374

AB = CD; BC = AD; BD-спільна сторона.

?ABD = ?CDB за третьою ознакою рівності трикутників.

339.

 Вправи 325 374

AB = CB; AD = CD; BD – спільна сторона.

?ABD = ?CDB за третьою ознакою рівності трикутників.

340.

 Вправи 325 374

?ABC – рівнобедрений; AC = BC. ?A1B1C1 – рівнобедрений, А1С1 = B1С1.

1) АС = А1С1; 2) AB = A1B1; 3) BC = B1C1.

?ABC = ?A1B1C1 за третьою ознакою рівності трикутників.

341. 1) АB = А1В1; 2) ВС = B1С1; 3) P? ABC = P? A1B1C1;

P? ABC = AB + BC + AC;

P? A1B1C1 = А1В1 + B1C1 + А1С1; AB = A1B1; ВС = B1C1, отже, і АС = А1С1. ?АBС = ?A1B1C1 за третьою ознакою рівності трикутників.

 Вправи 325 374

342.

 Вправи 325 374

?АBС = ?CDA. З їх рівності маємо: AB = CD; BС = AD; АС – спільна сторона. Доведемо, що? ABD = ?CDB. 1) AB = CD; 2) BС = AD; 3) BD – спільна сторона.

?ABD = ?СDB за третьою ознакою рівності трикутників.

343.

 Вправи 325 374

?ABC – рівнобедрений, AB = ВС; ?ADC – рівнобедрений, AD = DC.

?ADB = ?CDB; 1) AB = CB; 2) AD = CD;

3) DB – спільна сторона.

Трикутника рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З їх рівності маємо: ∠ADB = ∠CDB.

344.

 Вправи 325 374

AB = CD; АС = BD; ?ABD = ?DCA за третьою ознакою рівності трикутників.

1) АB = DC; 2) BD = AC; 3) AD – спільна основа.

345.

 Вправи 325 374

AB = CD; BF = СЕ; AE = BD; ?АВF = ?СDE; 1) AB = CD; 2) BF = СЕ; 3) АF = DЕ. З рівності трикутників маємо: ∠CEF = ∠BFE.

?EOF – рівнобедрений, бо ∠OEF = ∠OFE.

346.

 Вправи 325 374

?АОВ = ?DOC; з рівності трикутників: AB = CD, AO = OD, BO = OC. ?ABC = ?DCB;

1) AB = CD;

2) ВС – спільна сторона; АС = АО + ОС;

3) BD = BO + OD ⇒ AC = BD.

?ABC = ?DCВ за трьома сторонами.

347.

 Вправи 325 374

ОС = OD; AO = ВО; ?АОС = ?BOD. З їх рівності: АС = BD. ?ВОС = ?AOD. З їх рівності: ВС =AD.

?АОС = ?BOD; ?ВОС = ?AOD за першою ознакою рівності трикутників.

?ABC = ?BAD (за третьою ознакою рівності). 1) ВС = DA; АС = BD; AB – спільна сторона.

348.

 Вправи 325 374

AE1 = AE2; BE1 = BE2.

Довести, що? СDE1 = ?CDE2.

1) ?АE1С = ?АЕ2С (за третьою ознакою рівності трикутників). AE1 = АЕ2; E1C = Е2С; АС – спільна сторона. З їх рівності: ∠E1CB = ∠E2CB.

?СE1D = ?CE2D за двома сторонами і кутом між ними: 1) E1С = Е2С; 2) CD – спільна сторона; ∠E1CD = ∠E2CD – кути суміжні рівним кутам.

350.

 Вправи 325 374

AB = А1В1; ВС = В1С1; ВМ = В1М1. Продовжимо ВМ = В2М. ?МВС = ?MB2A за трьома сторонами. З рівності трикутників маємо: ∠1 = ∠2. Аналогічно ∠3 = ∠4. ∠B = ∠B2; ?ABC = ?AB2C за двома сторонами і кутом між ними. ?ABC = ?А1В1С1.

351.

 Вправи 325 374

?ABC, АС = ВС, AM = AM1. ?А1В1С1, AC1 = B1C1.

?ACM = ?A1C1M1; AC = A1C1; CM = C1M1; AM = A1M1.

Трикутники рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників маємо: ∠C = ∠C1;

?ABC = ?А1В1С1 за першою ознакою рівності трикутників: АС = А1С1, ВС = В1С1, ∠C = ∠C1.

Задачі до підготовки контрольної роботи № 2

1. Периметр рівнобедреного трикутника 105 см, а бічні сторони АС : АВ = 7 : 3.

 Вправи 325 374

Нехай х – спільна міра відрізків, тоді AB = 3х см, АС = ВС = 7х см.

Рівняння: 3х + 7x + 7x = 105; 17х = 105;

 Вправи 325 374

2.

 Вправи 325 374

AO = DO; CO = BO; ?АОС = ?DOB за першою ознакою рівності трикутників.

1) CO = BO; 2) AO = ВО; 3) ∠COA = ∠BOD (вертикальні кути).

2) АС = 4 см, СВ = 8 см. Р? ABC = АС + АО + ОС = АС + ОС + OD = АС + CD = 4 + 8 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

3.

 Вправи 325 374

CO = DO, АС ⊥ а, ВD ⊥ а. ?АСО = ?ВDО за другою ознакою рівності трикутників. CO = OD, ∠AOC = ∠DOB, ∠ACO = ∠BDO. З рівності трикутників: АС = ВD.

4.

 Вправи 325 374

1) ?АОВ – рівнобедрений; ОА = OB, АС = BD, ∠OAB = ∠OBA.

2) ?АОС = ?BOD (за першою ознакою рівності трикутників), АС = BD, АО = BO, ∠CAO = ∠DBO (рівні кути рівним суміжним кутам).

5.

 Вправи 325 374

?ABC – рівнобедрений, АС = ВС; ?A1B1C1 – рівнобедрений, А1С1 = В1C1; AB = A1B1 за умовою;

P? ABC = (АС + ВС) + AB ⇒ АС + ВС = Р? ABC – АВ;

 Вправи 325 374

Праві частини рівностей рівні, отже

АС + ВС = A1C1 + В1С1; АС = ВС; А1С1 = B1C1; 2АС = 2A1C1; AC = A1C1; BC = B1C1.

?ABC = ?A1B1C1 за третьою ознакою рівності трикутників.

6.

 Вправи 325 374

?АВС; ВН ⊥ АС; АН = НС.

?АВН = ?СВН (за першою ознакою), AH = CH, ВН – спільна сторона; ∠AHB = ∠CHB = 90°, отже, AB = ВС.

?АВС – рівнобедрений, ВН – бісектриса; AB, СЕ – бісектриси; ∠A = ∠C.

?ADC = ?СЕА, АС – спільна сторона ∠A = ∠C, ∠DAC = ∠ECA.

?АDС = ?СЕА за другою ознакою рівності трикутників, отже, AB = СЕ = 15 см.

352. а) Ні; б) так; в) ні; г) так.

353. 1) b || c;

 Вправи 325 374

2) b || c;

 Вправи 325 374

3) b || c;

 Вправи 325 374

4) b || c;

 Вправи 325 374

354.

 Вправи 325 374

А) Внутрішні різносторонні кути: ∠4 i ∠5.

Б) Внутрішні односторонні кути: ∠4 і ∠6.

В) Відповідні кути: ∠4 і ∠8.

355.

 Вправи 325 374

Чи буде а || b, якщо:

A) ∠3 = ∠6, так; б) ∠5 = ∠8, так; в) ∠1 = ∠7, ні; г) ∠2 = ∠6, так; д) ∠3 + ∠5 = 180°, так; е) ∠2 + ∠4 = 180°, так.

356. a) ∠6 = ∠3, то a || b; б) ∠6 + ∠4 = 180°, то a || b.

357. а) Правильне твердження; б) ні; в) ні.

358. a)

 Вправи 325 374

A || b, с – січна; б) ∠1 i ∠2; ∠3 i ∠4 – внутрішні різносторонні кути.

Б)

 Вправи 325 374

∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 – відповідні кути.

359.

 Вправи 325 374

AD || ВС, тому що ∠ABC + ∠DAB = 60 + 120° = 180°.

360.

 Вправи 325 374

AB і ВС – прямі; DE – січна; ∠BDE і ∠CED; ∠BED і ∠ADE – внутрішні різносторонні кути. ∠BDE і ∠BED, ∠ADE і ∠CED – внутрішні односторонні.

361. а)

 Вправи 325 374

Внутрішні різносторонні кути рівні, a || b.

Б)

 Вправи 325 374

Сума внутрішніх односторонніх кутів 180°, a || b.

В)

 Вправи 325 374

Відповідні кути рівні, a || b.

362.

 Вправи 325 374

А) ∠4 = ∠5 = 125°, a || b; внутрішні різносторонні кути рівні.

Б) ∠5 = 115°, ∠3 = 65°, а || b; 115° + 65° = 180°. ∠5 і ∠3 – внутрішні односторонні кути.

В) ∠3 = 65°, ∠7 = 65°, ∠3 = ∠7 – відповідні кути, a || b.

363.

 Вправи 325 374

?ABD = ?CBD. З рівності трикутників ∠ADB = ∠CBD, це внутрішні різносторонні кути при прямих ВС і AD і січній BD, отже, ВС || AD.

364.

 Вправи 325 374

?АОВ = ?COD. З рівності трикутників маємо: ∠CDO = ∠ABO. Це внутрішні різносторонні кути при прямих DC і AB та січній DB, отже, AB || CD.

365.

 Вправи 325 374

 Вправи 325 374

Ні, необов’язково.

366. a)

 Вправи 325 374

∠2 = ∠1 = 25° – вертикальні кути; ∠1 і ∠3 – відповідні кути рівні, а || b.

Б)

 Вправи 325 374

∠2 і ∠3 – суміжні кути; ∠3 = 180° – 100° = 80°; ∠3 = ∠1 – внутрішні різносторонні кути рівні, а || b.

В)

 Вправи 325 374

∠2 і ∠3 – суміжні кути. ∠2 = 180° – (180° – α) = 180° – 180° + α = α; ∠2 = ∠1 = α – відповідні кути, а || b.

367.

 Вправи 325 374

А) ∠5 = 135°; ∠4 = 3∠3;

∠3 + ∠5 = 180°; ∠3 = 180° – 135° = 45°; ∠4 = 45° x 3 = 135°;

∠5 = ∠4 = 135°, де внутрішні різносторонні кути, а || b.

Б) ∠2 = 72°; ∠6 : ∠8 = 2 : 3; ∠6 = 2х;

∠8 = 3х; ∠6 + ∠8 = 180° (суміжні кути).

2х + 3х = 180°; 5х = 180°; х = 180° : 5; х = 36°.

∠6 = 2 х 36° = 72°; ∠8 = 3 х 36° = 108°; ∠2 = ∠6 = 72°, це відповідні кути, прямі а і b – паралельні.

368.

 Вправи 325 374

AO = OB; DO = ОС; ∠AOD = ∠COD (вертикальні кути). ?AOD = ?ВОС за першою ознакою рівності трикутників.

∠A = ∠B – внутрішні різносторонні кути при прямих AD і ВС і січній AB. Отже, AD || ВС; ∠D = ∠C – при прямих АС і BD і січній DC, отже, АС || DB.

 Вправи 325 374

AB = ВС; CD = DE; ∠1 = ∠2; ?АВС – рівнобедрений, кути при основі рівні; ∠3 = ∠4, ?CED – рівнобедрений, кути при основі рівні; ∠2 = ∠3 (вертикальні кути).

∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4; ∠1 і ∠4 – внутрішні різносторонні кути при прямих AB і DE, січній AE, ∠1 = ∠4, DE || AB.

370.

 Вправи 325 374

?ABC = ?CDA; ∠A = ∠C, це внутрішні різносторонні кути при прямих AD і CD та січній АС, AB || CD; ∠CAD = ∠ACB, це внутрішні різносторонні кути при прямих AD і ВС ті січній АС, отже, ВС || AD.

371.

 Вправи 325 374

?LBK – рівнобедрений, ∠KBL = ∠KLB, ∠LBK = ∠LBA, BL – бісектриса. ∠ABL = ∠KLB – внутрішні різносторонні кути при прямих AB і KL, січна BL. Отже, AB || LK.

372.

АВ = ВС; ∠C = 80°. ?ADF – рівнобедрений, AD = DF; ∠DAF = ∠DEA.

?ABC – рівнобедрений, ∠A = ∠C; ∠DAE = 80° – 40°; ∠DEA = ∠DAE = 40°; ∠DEA і ∠DAE – внутрішні різносторонні кути при прямих DE і АС, отже, DE || AC, l || AC.

373. AD = CF; ВС = DE; ∠1 = ∠2.

 Вправи 325 374

1) ∠3 = ∠4 (суміжні кути рівним кутам); 2) ВС = DE; 3) АС = DF.

?АСВ = ?FDE за двома сторонами і кутом між ними. З цієї рівності маємо: ∠CAB = ∠DFE; це внутрішні різносторонні кути при прямих AD і EF і січній AF. Отже, АВ || EF.

374.

 Вправи 325 374

?АВС = ?DEF. 1) AB = DE; 2) ВС = EF; 3) AC = DF.

АС = AD + DC; DF = CF + DC, але AD = CF; ?ABC = ?DEF за трьома рівними сторонами. З цієї рівності маємо: ∠BCA = ∠EFD. Це відповідні кути при прямих ВС i EF i січній АВ. Отже, EF || ВС.




Вправи 325-374