425.
АС – основа; AB = CB; ∠ADC = 150°. ∠CAD = ∠BAD = x; ∠ACD = 2x; x + 2x + 150° = 180°; 3x = 180° – 150°; 3x = 30°; x = 10°; ∠C = ∠A = 20°; ∠B = 180° – (20° + 20°) = 140°.
Відповідь: 20°, 20°, 140°.
426.
?DBC; ∠BDC = 105°; BD – бісектриса.
?DBC; ∠DBC = 180° – (105° + 35°) = 180° – 140° = 40°; ∠B = ∠1 + ∠2 = 40° + 40° = 80°; ∠A = 180° – (35° + 80°)= 180° – 115° = 65°.
Відповідь: 65°.
427. BD і AK – бісектриси;
∠A = 82°, ∠B = 38°.
∠1 = ∠2 = ∠A : 2 = 82° : 2 = 41°;
∠3 = ∠4
?AOB. ∠1 = 41°; ∠3 = 19°;
?AОВ = 180° – 41° – 19° = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: ∠AOB = 120°.
428.
?ABC – рівнобедрений; AB = СВ; ∠AOC = 140°.
?АОС; ∠2 = ∠4 = (180° – 140°) : 2 = 20°;
∠A = ∠1 + ∠2; ∠C = ∠3 + ∠4; ∠A = ∠C = 40°;
∠B =180°- (40° + 40°) = 180° – 80° = 100°.
Відповідь: 100°.
429.
Відповідь: 30°, 30°, 120°.
430.
∠ACM : ∠KAC : ∠DBC = 3 : 4 : 5;
∠ACM = 3х; ∠KAC = 4х; ∠DBC = 5х;
3х + 4х + 5х = 360°;
∠ACM = 3 x 30° = 90°;
∠KAC = 4 х 30° = 120°;
∠DBC = 5 х 30° = 150°;
∠ACB = 180° – 90° = 90°;
∠CAB = 180° – 120° = 60°;
∠CBA = 180° – 150° = 30°.
Відповідь: 90°, 60°, 60°.
431.
∠BCK = 80°; ∠BCA = 180° – 80° = 100°. ∠A + ∠B = 80°; ∠B + ∠C= 150°;
∠C = 150° – ∠C = 150° – 100° = 50°;
∠A = 80° – 50° = 30°.
Відповідь: 30°, 50°, 100°.
432.
AK = AC, AB = ВС; ?АКС – рівнобедрений; ∠1 = ∠2; АК – бісектриса; ∠A = ∠C = ∠1 + ∠2.
У? АКС; ∠2 = x° ∠C = 2х; ∠K = 2х; х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; x = 180° : 5; x = 36°; ∠A = ∠C = 2 х 36°; ∠B = 180° – (72° + 72°) = 180° – 144° = 36°.
Відповідь: 36°, 72°, 72°.
433.
AB = ВС; АК – бісектриса кута A.
∠A = ∠C; ∠1 = ∠2; ∠K = ∠C; ∠A = ∠K = ∠C; ∠2 = x; ∠K = ∠C = 2х; х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; x = 180°: 5; x = 36°.
∠C = ∠A = 2 x 36° = 72°;
∠B = 180° – (72° + 72°) = 36°.
Відповідь: 72°, 72°, 36°.
434.
?ABC; AB = BC; ∠BCF – зовнішній кут? ABC при основі; ∠BCD = ∠FCD, CD – бісектриса зовнішнього кута. ?ABC – рівнобедрений, AB = BC, ∠A = ∠C = x, ∠CBD = 2x (зовнішній кут ДABC при вершині В).
?CAD – рівнобедрений; DC = АС; ∠A = ∠D = х; ∠BCF = 180° – х;
Відповідь: 36°, 36°, 108°.
435. Дивись малюнок до задачі 434.
?ABC – рівнобедрений, AB = ВС;
∠A = ∠C = х; ∠A = ∠D = х (за умовою); ∠CBD – зовнішній кут? ABC при вершині B. CBD = 2x;
Відповідь: 36°, 36°, 108°.
436.
?АВС; АК – бісектриса ∠A, ∠1 = ∠2; CF – бісектриса ∠C; ∠3 = ∠4.
∠AOC – кут між бісектрисами? ABC; ∠AOC = 90° + α/2.
437.
?ABC – рівнобедрений; AB = ВС; ∠A = ∠C; ∠KBC – зовнішній кут рівнобедреного трикутника при вершині; ВР – його бісектриса; ∠ABC = 180° – (∠A + ∠C); ∠KPC = ∠1 + ∠2, ∠1 = ∠2; ∠KPC = ∠3+ ∠4; ∠3 = ∠4, отже, ∠4 = ∠2 при прямих РВ і АС, ВС – січна. Отже, ВР || АС.
438. Якщо промінь, що проходить між сторонами зовнішнього кута при вершині рівнобедреного трикутника паралельний його основі, то цей промінь є бісектрисою цього зовнішнього кута.
ВР – промінь, BP || АС; ∠2 = ∠3 – внутрішні різносторонні кути; ∠KBP = ∠1 + ∠2 (властивість зовнішнього кута трикутника). ∠KBP = ∠3 + ∠4; ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4; ∠1 = ∠2 = ∠3, отже, ∠1 = ∠2 =∠3 = ∠4, ∠3 = ∠4. Промінь ВР – бісектриса кута.
439.
?ABC = ?DBC; AB = BD, АС = CD; ∠A = ∠D; ∠ACB = ∠DBC, а це суміжні кути; ∠ACB = ∠DCB = 90°; ?ABC і? DBC – прямокутні.
440.
?ABC; AB = ВС. ?ADC; AD = DC. ?ABD = ?CBD за трьома сторонами; AB = ВС; AD = DC;BD – спільна сторона. З їхньої рівності: ∠ABD = ∠CBD. Отже, у? ABC ВК є бісектрисою, ?ABC – рівнобедрений, ВК є висотою. Отже, BK ⊥ AC (BD ⊥ AC).
441.
∠A + ∠B = ∠C; ∠A + ∠B = 90°; ∠C = 90°; AB – гіпотенуза.
442.
?DEF – прямокутний; EA ⊥ DF; ED і EF – катети.
443. α = 20° або α = 70°.
444.
A) ∠A = ∠A1 = 90°. Трикутники рівні за катетом і гіпотенузою.
Б) Трикутники рівні за двома катетами.
445. Ні. Дві пари рівних катетів не можуть.
Рівні гіпотенузи можуть.
446.
А) ∠A = 30°, ∠B = 60°;
Б) ∠BAM – найменший зовнішній кут? ABC. ∠BAM = 180° – ∠CAB = 180° – 30° = 150°;
В) CH – висота, ВС – висота, АС – висота, провели 1 відрізок.
447.
A) BD ⊥ AC; ?ABD = ?CBD – прямокутні; AB = BC, AD = DC;
Б) BD і DC – висоти прямокутного? BCD.
448.
?ABC – рівнобедрений прямокутний трикутник. АС – основа, ∠А = ∠С. ∠А + ∠С = 90°; ∠А = ∠С = 45°.
Відповідь: 45°, 45°, 90°.
449.
?ABC – рівносторонній, AB = ВС = АС; AD – медіана, бісектриса, висота; AD ⊥ ВС; ∠CDA = 90°; ∠А = ∠B = ∠С = 180° : 3 = 60°; ∠DCA = 60°; ∠DAC = 30°.
Відповідь: 60°, 30°, 90°.
450.
А) Нехай AB = х, тоді ∠А = 5х; х + 5х = 90°; 6х = 90°; х = 15°; ∠B = 15°, ∠А = 75°.
Б) ∠B = х; ∠А = х + 10°; х + х + 10° = 90°; 2х = 90° – 10° = 90°; 2х = 80°; х = 80°: 2; х = 40°; ∠B = 40°; ∠А= 50°.
451.
A) ∠ВАК = 130°; ∠ВАС = 180° – 130° = 50°; ∠СВА = 90° – 50° = 40°.
Відповідь: 40°, 50°.
Б) ∠А : ∠B = 2 : 7; 2х + 7х = 90°; 9х = 90° х = 90° : 9; х = 10°; ∠А = 20°; ∠B = 70°.
452.
?ADB = ?CDB; ∠A = ∠C; ?ABC – рівнобедрений; ∠ADB = ∠CDB – суміжні рівні кути; ∠ADB = ∠CBD = 90°; AB = ВС; ?ADB = ?CBD за гіпотенузою і гострим кутом або за гіпотенузою AB і спільним катетом DB.
453.
AD || ВС; ∠BAC = ∠DCA = 90°; ?ВАС = ?DCA; AB ⊥ АС; DC ⊥ АС; AB || DC, АС – січна; ∠1 = ∠2 – внутрішні різносторонні кути; АС – спільний катет. ?BAC = ?DCA за катетом і гострим кутом.
454. a)
Точка D лежить між точками А і С.
455.
456.
?ABC; ∠B = 90°; ВН ⊥ АС; ∠C = 25°; ∠BAH = 90° – 25° = 65°; ∠BHA = 90°; ∠ABH = 90° – 65° = 25°.
Відповідь: 65°, 25°, 90°.
457.
∠BAD = 38°; ∠CAB = 42°.
З? ABD: ∠ABD = 90° – 38° = 52°.
З? ADC; ∠ACD = 90° – 42° = 48°.
∠BAC = 38° + 42° = 80°.
Відповідь: 52°, 48°, 80°.
458.
∠A = 45°; ?ABC – прямокутний рівнобедрений трикутник; ∠A = ∠C = 90° – 45° = 45°. Отже, АВ = ВС = 8 см.
Відповідь: ВС = 8 см.
459.
?ABC – рівнобедрений; AB = ВС; AD ⊥ ВС, AD – висота; ∠DAC = 35°; ?ADC – прямокутний; ∠DAC = 90° – 35° = 55°; ∠BAC = ∠DCA = 55°; ∠ABC = 180° – (55° + 55°) = 180° – 110° = 70°.
Відповідь: 55°, 55°, 70°.
460.
?ABC; ∠B = 90°; ∠D – бісектриса кута A; ∠1 = ∠2; ∠ADB = 74°; ?ABD; ∠BAD = 90° – 74° = 16°; ∠BAC = 32°; ∠BCA = 90° – 32° = 58°.
Відповідь: 32°, 90°, 58°.
461.
?АВС; СК ⊥ AB; AD ⊥ ВС; ?АКС = ?CDA – прямокутні трикутники; АС – спільна сторона; CK = AD за умовою. З їх рівності маємо: ∠BAC = ∠BCA, а це кути при основі АС, тому? ABC – рівнобедрений.
462. Якщо трикутник рівнобедрений, то висоти, проведені до бічних сторін, рівні. ?АКС = ?ADC; ∠A = ∠C; АС – спільна сторона. Прямокутні трикутники рівні за гіпотенузою і катетом. З цієї рівності маємо: AD = СК, а це висоти, проведені до бічних сторін.
463.
?ABC; BD ⊥ AC; ?ABD; ∠BAD = 90° – 25° = 65°; ?BDC; ∠BCD = 90° – 40° = 50°; ∠ABC = 25° + 40° = 65°.
Відповідь: 65°, 65°, 50°.
∠ABC = 40° – 25° = 15°; ∠BCA = 90° – 40° = 50°; ∠BAC = 180° – 15° – 50° = 115°.
Відповідь: 15°, 50°, 115°.
464.
?ABC; ∠C = 90°; СК – бісектриса; ∠BCK = ∠ACK = 45°; ∠A = 180° – 70° – 45° = 65°; CH ⊥ AB; CH – висота; ∠HCA = 90° – 65° = 25°; ∠HCB = 90° – 25° = 65°.
Відповідь: 65°, 25°.
465.
Дано: ?ABC і? A1B1C1 – прямокутні; ∠C = ∠C1 = 90°; АС = A1C1; CH ⊥ SA; C1H1 ⊥ B1A1; CH = C1H1.
?CHА = ?C1H1A1 за катетом і гіпотенузою. З цієї рівності маємо: ∠A = ∠A1. ?АВС = ?A1B1C1 за катетом (АС = A1С1) і гострим кутом (∠A = ∠A1).
466.
?АВС і? A1B1C1 – прямокутні. ∠C = ∠C1 = 90°; CM – бісектриса кута С, C1M1 – бісектриса кута С1; CM = C1М1.
?MCA = ?M1C1A1: 1) CM = С1М1; 2) С1А1 = СА; 3) ∠MCA = ∠M1C1A1 = 45°.
?MCA = ?М1С1А1 за двома сторонами і кутом між ними. З їх рівності маємо: ∠BAC = ∠B1A1C1. ?ВСА = ?В1С1А1 за катетом (АС = А1С1) і гострим кутом (∠A = ∠A1).
467.
?KMN; KM = NM; KA ⊥ МN; NВ ⊥ МK; ∠KON = 140°; ∠BOK – суміжний ∠KON; ∠BOK = 180° – 140° = 40°.
З? ВОК: ∠BKO = 90° – 40° = 50°.
З? МКА: ∠KMA = 90° – 50° = 40°.
∠K = ∠N = (180° – ∠M) : 2 = (180° – 40°) : 2 = 70°.
Відповідь: 40°, 70°, 70°.
468.
AB = ВС; AD ⊥ ВС; BE ⊥ АС; ?BOD – прямокутний; ∠EBD = 90° – 50° = 40°; BE – висота і бісектриса; ∠ABC = 40° х 2 = 80°; ∠A = ∠C = (180° – 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°.
Відповідь: 80°, 50°, 50°.
469.
?CAB – прямокутний; ∠CAB = 90°; АО – медіана; ВС – гіпотенуза. Продовжимо відрізок АО і відкладемо AD = АО.
470.
?АОС – рівнобедрений; ∠1 = ∠2; ?АОВ – рівнобедрений; ∠3 = ∠4; ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°; ∠2 + ∠3 = 180° : 2; ∠2 + ∠3 = 90°, отже, ?АВС – прямокутний.
471.
?ABC – прямокутний; CL – бісектриса; CH ⊥ AB, СН – висота; ∠HCL = 22°.
?СНА. ∠HCA = 45° – 22° = 23°; ∠HAC = 90° – 23° = 67°.
?ABC. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 67° = 23°.
Відповідь: 67° і 23°.
472.
?ABC; BL – бісектриса; ∠BAL = ∠CAL; AH ⊥ ВС; AH – висота; ∠LAH = ∠CAH = x; ∠CAL = ∠BAL = 2x; ?ABC – рівнобедрений; AB = BC; ∠A = ∠C;
?AHC; ∠C = 90° – x; 4x = 90° – x; 5x = 90°; x = 90° : 5 = 18°; ∠A = ∠C = 4 x 18° = 72°; ∠ABC = 180° – 72° – 72° = 36°.
Відповідь: 72°, 72°, 36°.
473.
?ABC; ∠C = 90°; ∠A = 60°; AB – AC = 6 CM; ∠CBA = 90° – ∠BAC = 90° – 60° = 30°; AC – катет, що лежить проти кута 30°;
АС = 1/2AВ; AB = х; АС = x/2; x – x/2 = 6; 2x – x = 12; x = 12. AB = 12 см, АС = 6 см.
Відповідь: 12 см, 6 см.
474.
?ABC; ∠B = 90°; ∠ACK = 120° – зовнішній кут при вершині С. ВС + АС = 21 см; ∠ACB = 180° – ∠ACK = 180° – 120° = 60°; ∠BAC = 90° – 60° = 30°; ВС – катет, що лежить проти кута 30°; ВС =1/2АС.
Нехай ВС = х, тоді АС = 2х; х + 2х = 21; 3х = 21; х = 7; ВС = 7 см, АС = 14 см.
Відповідь: 7 см, 14 см.
(2 votes, average: 4,00 out of 5)