Задачі за курс алгебри 7 класу

src="/image/2/image861_7.jpg" class=""/>

правильна рівність;

тотожність, бо

правильна рівність.

1054. а) 97 – 312 = (32)7 – 312 = 314 – 312 = 312 • (32 – 1) = 312 • 8 ділиться на 8, бо 8 ділиться на 8;

Б) 498 + 3 • 715 = (72)8 + 3 • 715 = 716 + 3 • 715 = 715 • (7 + 3) = 715 • 10 – ділиться на 10, бо 10 ділиться на 10.

1056. а) Якщо а = 1,5, то а2 – 0,5а2 = а2(а – 0,5) = 1,52 • (1,5 – 0,5) = 2,25 • 1 = 2,25.

Б) Якщо х = -0,3; у = -10,3, то х2 – 2ху + у2 = (х – у)2 = (-0,3 – (-10,3))2 = (-0,3 + 10,3)2 = 102 = 100.

1057. (х + 1)2 – (х – 1)(х + 3) = х2 + 2х + 1 – х2 + х – 3х + 4 = 5.

Отже, значення даного виразу не залежить від значень змінної х.

1058. а) (2n + 3)2 – (2n – 1)2 = (2n + 3 – 2n + 1)(2n + 3 + 2n – 1) = 4 • (4n + 2) = 4 • 2(2n + 1) = 8(2n + 1) ділиться на 8, бо 8 ділиться на 8;

Б) (8n – 4)2 – 8(4n – 3) = 64n2 – 64n + 16 – 32n + 24 = 64n2 – 96n + 40 = 32(2n2 – 3n) + 40 – не ділиться на 32.

1059. х2 + 2х + 9 = х2 + 2х + 1 + 8 = (х + 1)2 + 8. Значення даного виразу є найменшим при х = -1 і дорівнює 9.

1060. 2 – х2 + 4х = – х2 + 4х + 2 = -(х2 – 4х) + 2 = -(х2 -4х + 4) + 4 + 2 = -(х2 – 4х + 4) + 6 = -(х – 2)2 + 6. Значення виразу є найбільшим при х = 2 і дорівнює 6.

Ділиться на 9.

1062. а і b – натуральні числа, а4 – b4 = (а2 – b2)(а2 + b2) – (а – b)(а + b)(а2 + b2) – не може бути простим числом, бо має дільники (а – b); (а + b); (а2 + b2).

1063. х2 + у2 – 4у + 2х = (х2 – 2х+ 1) – 1 + (у2 – 4у + 4) – 4 = (х – 2)2 + (у – 2)2 = -5. Найменше значення, яке приймає вираз, дорівнює -5.

1064. Нехай дані числа 3х + 1 і 3х + 2. Тоді їх сума 3х + 1 + 3х + 2 = 6х + 3 = 3(2х + 1) ділиться на 3.

1065. Нехай половина шляху становить а км, тоді перший велосипедист витратив год, а другий велосипедист витратив год.

тому

Отже, перший велосипедист витратив часу більше на шлях від А до В.

1066. а) у = -2х + 3;

X	-2	0	6
У	7	3	-9

Б) у = -2х + 3;

X	0	1
У	3	1

-2х + 3 = 3; -2х = 0; х = 0;

-2х + 3 = 1; -2х = -2; х = 1.

В) -2х + 3 = х; -3х = 3; х = 1.

Для х = 1 значення функції у = 1.

1067. у = 2х – 0,5.

X	1	-1
Y	1,5	-2,5

А) Якщо х = -0,5, то у = -1,5; якщо х = 1,5, то у = 2,5.

Б) у = 1,5 при x = 1.

1068. у = 0,5x + 1, -4 ≤ x ≤ 3.

1. Область визначення функції -4 ≤ х ≤ 3.

2. Область значень функції -1 ≤ у ≤ 2,5.

3. х = -2 – нуль функції.

4. Найбільше значення функції дорівнює 2,5; найменше значення функції дорівнює -1.

5. Функція набуває додатних значень при -2 < х ≤ 3.

Функція набуває від’ємних значень при -4 ≤ х < -2.

1069. а) у = – х + 1, де -3 ≤ х ≤ 2;

Б) у = 2х2 – 2, де -2 ≤ x ≤ 2;

В) y = 1,5x;

Г) y = -1,5x;

Д) у = 3x + 1;

E) y = -1,5x – 1.

1070. у = kx. А(2; 7) належить графіку, тому 7 = k • 2; k = 3,5. Отже, у = 3,5x.

В(-4; -14) – належить графіку у = 3,5x, бо -14 = 3,5 • (-4) – правильна рівність.

1071. Область визначення функції 0 ≤ х ≤ 10.

Область значень функції 0 ≤ у ≤ 5.

А) Якщо 0 ≤ х ≤ 2, то у = 2,5х.

Б) Якщо 2 ≤ х ≤ 6, то у = 5.

1072. а) у = 1,5x;

X	0	2
Y	0	3

Y = – x + 5;

X	0	5
Y	5	0

(2; 3) – точка перетину даних графіків функцій.

Б) у = -2х; у = 2.

X	0	2
У	0	-4

(-1; 2) – точка перетину графіків даних функцій.

1073. Якщо точка належить осі абсцис, то значення ординат точки дорівнює нулю, тоді 2х + 4 = 0; 2х = -4; х = -2.

(-2; 0) – точка перетину графіка функцій у = 2х + 4 з віссю Ох. В цій же точці повинен перетинати вісь Ох і графік функції у = 3х + b.

0 = 3 • (-2) + b; b = 6.

Рівняння коренів не має;

1076. а) y3 – 3у2 = 0; у2(у – 3) = 0; у2 = 0 або у – 3 = 0; у = 0 або у = 3;

або або або або

В) х2 – 6х + 9 = 0; (х – 3)2 = 0; х – 3 = 0; х = 3;

Г) х3- 2х2 – 4х + 8 = 0; х2(х – 3)- 4(х – 2) = 0; (х – 2)(х2 – 4) = 0; (х – 2)(х – 2)(х + 2) = 0; (х – 2)2(х + 2) = 0; х – 2 = 0 або х + 2 = 0; х = 2 або х = -2;

Д) у2 + 2у – 48 = 0; у2 + 2у + 1 – 49 = 0; (у + 1)2 – 72 = 0; (y + 1 – 7)(у + 1 + 7) = 0; (у – 6)(у + 8) = 0; у – 6 = 0 або у + 8 = 0; у = 6 або у = -8;

Е) z2 – 15z + 56 = 0; z2 – 7z – 8z + 56 = 0; z(z – 7) – 8(z – 7) = 0; (z – 7)(z – 8) = 0; z – 7 = 0 або z – 8 = 0; z = 7 або z = 8.

1077. а) |3 – 2х| = 5;

3 – 2х = 5 або 3 – 2х = -5;

X = 8 або x = -8;

Або |x| – 2 = -6;

|x| = -6 + 2;

|x| = -4;

Рівняння не має коренів.

1078. а) (|x| + 5)(3|x| – 9) = 0

|x| + 5 = 0

|x| = -5;

Рівняння не має коренів;

Або 3|х| -9 = 0;

3|х| = 9;

|x| = 9 : 3; |x| = 3;

Х = 3 або х = -3;

Б) |x(x – 2)| + x2 = 0;

Відповідь: 0.

В) x2 + 2|x| + 1 = 0; (|x| + 1)2 = 0; |x| + 1 = 0; |x| = -1; рівняння коренів не має.

1079. x4 + 1 + (x – 2)4 = 2×2; (x4 – 2×2 + 1) + (x – 2)4 = 0; (x2 – 1)2 + (x – 2)4 = 0 – умова виконується, коли доданки одночасно дорівнюють нулю. Рівняння матиме корені лише за умови, що але ця система не має розв’язків. Тому рівняння коренів не має.

1080. |x + 4| = |7 – x|.

X ≤ -4: – x – 4 = 7 – x; 0x = 11; рівняння коренів не має;

-4 ≤ x < 7: x + 4 = 7 – x; 2x = 11; x = 11 : 2; x = 5,5 – корінь рівняння, -4 < 5,5 < 7;

X ≥ 7: x + 4 = -7 + x; 0x = -11; рівняння коренів не має.

Відповідь: x = 5,5.

1081. Нехай менша сторона x см, тоді більша сторона дорівнює (x + 3,6) см. За умовою задачі (x + x + 3,6) • 2 = 68,4; 2x + 3,6 = 34,2; 2x = 34,2 – 3,6; 2x = 30,6; x = 30,6 : 2; x = 15,3 см – менша сторона; 15,3 + 3,6 = 18,9 см – більша сторона.

Відповідь: 15,3 см; 18,9 см.

1082. Нехай менше число дорівнює x, тоді більше число 2,4x. За умовою задачі x + 2,4x = 52,7; 3,4x = 52,7; x = 52,7 : 3,4; x = 15,5 – менше число; 15,5 • 2,4 = 37,2 – більше число.

Відповідь: 15,5 і 37,2.

1083. Нехай у другій цистерні x л бензину, тоді у першій цистерні 3x л бензину. Коли з першої цистерни забрали 400 л бензину, в ній залишилось (3x – 400) л бензину, коли з другої цистерни забрали 800 л бензину, в ній залишилось (x – 800) л бензину. У першій цистерні стало у 8 разів більше бензину. Тому 3x – 400 = 8(x – 800); 3x – 400 = 8x – 6400; 3x – 8x = 6400 + 400; -5x = -6000; x = 6000 : 5; x = 1200 л бензину у другій цистерні; 1200 • 3 = 3600 л бензину у першій цистерні.

Відповідь: 1200 л; 3600 л.

1084. Нехай автомобіль наздожене мотоцикліста через x годин, тоді автомобіль проїхав 60x км, а мотоцикліст 40(x + 0,5) км. За умовою вони проїхали однакову відстань. Тому 60x = 40(x + 0,5); 60x = 40x + 20; 60x – 40x = 20; 20x = 20; x = 20 : 20; x = 1. Отже, автомобіль наздожене мотоцикліста через 1 годину.

1085. Нехай маса листа сталі x кг, тоді в ньому 0,15x кг хрому, 0,005x кг нікелю, а заліза (0,15x + 2,78) кг. Тоді x – 0,15x + 0,005x + 0,15x + 2,78; x – 0,305x = 2,78; 0,695x = 2,78; x = 2,78 : 0,695; x = 4 (кг) – маса листа сталі.

1086. Нехай до першої зустрічі автобус і автомобіль були на відстані x км. Тоді до другої відстані автобус пройшов (x – 10) км і потратив на це год, автомобіль пройшов (x + 10) км і потратив год. Автомобіль був у дорозі на 15 хв = 1/4 год менше (відпочивав). Тому

X = 130(км) – відстань від міста N до місця першої зустрічі автобуса і автомобіля.

Відповідь: 130 км.

1087. 2x + 5y = -3.

(2; -1) – не є розв’язком даного рівняння, бо 2 • 2 + 5 • (-1) = -3 – неправильна рівність.

1088. а) x + 3у = 3;

X	0	3
У	1	0

Б) 2x – 3y = 6;

X	0	3
Y	-2	0

В) 2x = 5;

X = 2,5;

Г) -3y = 6;

Y = -2.

1089. Побудуємо в одній системі координат графіки рівнянь:

X – y = 2 і x + 2у = 5

X	0	2	X	3	5
У	-2	0	У	1	0

Координати точки перетину – розв’язок системи рівнянь.

Відповідь: (3; 1).

Відповідь: (2; 2).

Відповідь: (-1; -2).

Відповідь: (4; 7).

Відповідь: (3; 1).

Відповідь: (0,2; -1,2).

Відповідь:

Відповідь: (-4; -4).

Якщо графіки перетинаються, то в точках перетину значення у рівні

(0,5; -1) – точка перетину графіків даних рівнянь.

1094. Знайдемо точку перетину графіків рівнянь 2х + 4у = -6 і 10x – у = 12.

(1; -2) – точка перетину графіків даних рівнянь.

3 • 1 + (-2) = 1 – правильна рівність, тому точка (1; -2) належить графіку рівняння 3x + у = 1.

1095. у = kх + b – графік проходить через А(-1; 1) і В(3; -7).

Отже, у = -2x – 1.

При k = 10 система має безліч розв’язків.

1097. Нехай х і у – шукані числа, тоді

Відповідь: 11,4 і 9,1.

1098. Нехай 1 станок за 1 год виготовляє x деталей, а 2 станок – у деталей. Тоді

Відповідь: 120 і 130 деталей.

1099. Нехай швидкості туристів х км/год і у км/год. Тоді

Відповідь: 4,5 км/год; 4 км/год.

1100. Нехай братові х років, сестрі у років. Тоді

Відповідь: 7 років; 3 роки.

1101. Нехай молока з 5 % жиру взяли x л, а молока з 3,5 % жиру у л. Тоді

Відповідь: