Закони Кеплера

§ 4. Закони руху планет

3. Закони Кеплера

Йоганн Кеплер (рис. 4.3) визначив, що Марс рухається навколо Сонця по еліпсу, а потім було доведено, що й інші планети теж мають еліптичні орбіти.

Перший закон Кеплера. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліпсах, а Сонце розташоване в одному з фокусів цих еліпсів (рис. 4.4, 4.5).

Головний наслідок із першого закону Кеплера: відстань між планетою та Сонцем не залишається сталою і змінюється в межах: rmax < г> гmin.

Точка А орбіти, де планета наближається на найменшу відстань до Сонця, називається

перигелієм (від грец. peri – поблизу, relios – Сонце), а най – віддаленішу від центра Сонця точку В орбіти планети назвали афелієм (від грец. аро – далі). Сума відстаней у перигелії та афелії дорівнює великій осі АВ еліпса: rmax +гтЬі =2а. Велика піввісь земної орбіти

 Закони Кеплера

Рис. 4.3. Й. Кеплер (1571-1630)

 Закони Кеплера

Рис. 4.4. Планети обертаються навколо Сонця по еліпсах.

AF1 = rmin у перигелії;

BF1 = rmax – в афелії

Земля в перигелії З-4 січня наближається до Сонця

на найменшу відстань – 147 млн км Земля в афелії З-4 липня віддаляється від Сонця на найбільшу відстань – 153 млн км (ОА або OB) називається астрономічною одиницею. 1 а. о. 149,6 106 км.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується ексцентриситетом е – відношенням відстані між Фокусами 2с до довжини великої осі 2а, тобто  Закони Кеплера 0<е<1.

Орбіта Землі має маленький ексцентриситет е =0,017 і майже не відрізняється від кола, тому відстань між Землею та Сонцем змінюється в невеликих межах від rmin =0,983 а. о. в перигелії до rmax = 1,017 а. о. в афелії.

Орбіта Марса має більший ексцентриситет, а саме 0,093, тому відстань між Землею та Марсом під час протистояння може бути різною – від 100 млн км до 56 млн км. Значний ексцентриситет (е = 0,8…0,99) мають орбіти багатьох астероїдів і комет, а деякі з них перетинають орбіту Землі та інших планет, тому інколи відбуваються космічні катастрофи під час зіткнення цих тіл.

Супутники планет теж рухаються по еліптичних орбітах, причому у фокусі кожної орбіти розміщений центр відповідної планети.

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі.

Головний наслідок другого закону Кеплера полягає в тому, що під час руху планети по орбіті з часом змінюється не тільки відстань планети від Сонця, але і її лінійна та кутова швидкості.

Найбільшу швидкість планета має в перигелії, коли відстань до Сонця є найменшою, а найменшу швидкість – в афелії, коли відстань є найбільшою.

Другий закон Кеплера фактично визначає відомий фізичний закон збереження енергії: сума кінетичної та потенціальної енергії в замкненій системі є величиною сталою. Кінетична енергія визначається швидкістю планети, а потенціальна – відстанню між планетою та Сонцем, тому при наближенні до Сонця швидкість планети зростає (рис. 4.6).

Якщо перший закон Кеплера перевірити в умовах школи досить важко, бо для цього треба виміряти відстань від Землі до Сонця взимку та влітку, то другий закон Кеплера може перевірити кожний учень. Для цього треба переконатися, що швидкість Землі протягом року змінюється. Для перевірки можна використати звичайний календар і порахувати тривалість півріччя від весняного до

Найбільшу швидкість Земля має взимку: Vmax = 30,38 км/с Найменшу швидкість Земля має влітку: Vmin = 29,36 км/с

 Закони Кеплера

Рис. 4.5. Як правильно нарисувати еліпс

 Закони Кеплера

Рис 4.6. При наближенні до Сонця швидкість планети зростає, а при віддаленні – зменшується. Якщо відрізки часу t2 – t1= t4-t3 =t6-t5, то площі SA=SB=SC

У липні Земля рухається повільніше, тому тривалість літа в Північній півкулі більша, ніж у Південній. Цим пояснюється, що середньорічна температура Північної півкулі Землі вища, ніж Південної осіннього рівнодення (21.03 – 23.09) та, навпаки, від 23.09 до 21.03. Якби Земля оберталася навколо Сонця з постійною швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однакова. Але, згідно з другим законом Кеплера, взимку швидкість Землі більша, а влітку – менша, тому літо в Північній півкулі триває трохи більше, ніж зима, а у Південній півкулі, навпаки, зима трохи довша за літо.

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

 Закони Кеплера (4.2)

Де Т1 та Т2. – сидеричні періоди обертання будь-яких планет; а1 та а2 – великі півосі орбіт цих планет.

Якщо визначити велику піввісь орбіти якоїсь планети чи астероїда, то, згідно з третім законом Кеплера, можна обчислити період обертання цього тіла, не чекаючи, поки воно зробить повний оберт навколо Сонця. Наприклад, у 1930 р. було відкрито нову планету Сонячної системи – Плутон, яка має велику піввісь орбіти

 Закони Кеплера

Рис. 4.7. Із спостережень була визначена велика піввісь орбіти Плутона о2=40 а. о. Враховуючи параметри орбіти Землі a,, Ty згідно з (4.2), маємо Г2 = 248 р.

40 а. о., і відразу ж було визначено період обертання цієї планети навколо Сонця – 248 років. Правда, у 2006 p., згідно з постановою з’їзду Міжнародного Астрономічного Союзу, Плутон перевели в статус планет-карликів, бо його орбіта перетинає орбіту Нептуна. Третій закон Кеплера використовується також і в космонавтиці, якщо треба визначити період обертання навколо Землі супутників, космічних кораблів або обчислити час польоту міжпланетних станцій на інші планети Сонячної системи (див. §5).




Закони Кеплера