Застосування координат

124.

 Застосування координат

Б) 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ у ≤ 4; 0 ≤ z ≤ 4.

125.

0 ≤ х ≤ 3; 0 ≤ у ≤ 3; -3 ≤ 2 ≤ 3.

126.

А) А(0; 0; 0); В(0; 1; 0); С(1; 1; 0); D(1; 0; 0);

А1(0; 0; 1); В1(0; 1; 1); С1(1; 1; 1); D(1; 0; 1);

Б) А(0,5; -0,5; 0); В(0,5; 0,5; 0); С(-0,5; 0,5; 0); D(-0,5; 0,5; 0);

А1(0,5; -0,5; 1); В1(0,5; 0,5; 1); С1(-0,5; 0,5; 1); D1(-0,5; -0,5; 1);

В)  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

 Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

127.

 Застосування координат

Нехай D(x; у;

z, тоді  Застосування координат

 Застосування координат

Звідси х = у = z. Тоді (х – 6)2 + х2 + х2 = 72; 3×2 – 12x – 36 = 0;

X2 – 4х – 12 = 0; х1 = 6; х2 = -2. .

Отже, D(6; 6; 6) або D(-2;-2;-2).

 Застосування координат

128.

 Застосування координат

E – середина A1D1; F – середина D1C, тоді EF – середня лінія ΔA1D1C,

Тоді EF? А1С і  Застосування координат

N – середина A1D1, М – середина DC, NM – середня лінія ΔA1DC,

Тому MN? А1С і  Застосування координат

Звідси EF? NM і EF = NM. Тому EFMN – паралелограм.

Отже, ЕМ і NF перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

(властивість діагоналей

паралелограма).

129.

 Застосування координат

Розмістимо паралелепіпед в системі координат таким чином:

В – в початок координат, ВА лежить на осі х; ВС – на у, ВВ1 на осі z.

Тоді В1(0; 0; 6), В(0; 0; 0), К(2; 4; 3), O(1; 2; 0).

О – точка перетину діагоналей основи ABCD.

Відрізок ВК перетне площину AB1C в точці М, що належить відрізку ВО.

 Застосування координат – рівняння B1O; z – 6 = -6х; z = – 6х + 6;

 Застосування координат – рівняння ВК;  Застосування координат

Звідси  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

 Застосування координат  Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

130.

 Застосування координат

Розмістимо прямокутну систему координат відносно даного куба,

Як показано на рисунку і позначимо АВ = 1, тоді: B1(0; 0; 1);

 Застосування координат  Застосування координат D(1; 1; 0).

Складемо рівняння площини (В1MN).

 Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

X + y + 2z – 2 = 0 – рівняння площини (B1NM).

Перевіримо чи належить т. D(1; 1; 0) даній площині:

1 + 1 + 2 × 0 – 2 = 0 – вірно, отже, площина (В1MN) проходить через т. D.

Б) AM : МА1 = 3 : 1, тоді  Застосування координат CN : NC1 =1 : 3, тоді  Застосування координат

Рівняння площини (B1MN):

 Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

Х + 3у + 4z – 4 = 0 – рівняння площини (B1MN).

Т. D(1; 1; 0) належить площині (B1MN), бо 1 + 3 × 1 + 4 × 0 – 4 = 0 – вірно.

131.

 Застосування координат

Розташуємо куб в системі координат як показано на рисунку.

Р – центр грані DD1C1C.

R – центр грані BB1C1C. Ребро куба дорівнює а.

Тому А(0; 0; 0); А1(а; 0; а);  Застосування координат  Застосування координат

0(х; у; z) – центр сфери. Тоді ОА = ОА1 = ОK = ОР і ОА2 = ОА12 = ОK2 = ОР2

Або  Застосування координат

 Застосування координат Застосування координат

Маємо систему:

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

Отже,  Застосування координатТоді  Застосування координат

132.

 Застосування координат

Розмістимо куб в координатній системі, як показано на рисунку.

Сфера проходить через точку В, М – середина ВС, K – середина BA,

Р – середина ВВ1. Якщо ребро куба дорівнює а, то В(0; 0; 0);  Застосування координат

 Застосування координат  Застосування координат

О – центр сфери; O(х; у, z), тоді ОB = ОМ = ОK = ОР і ОВ2 = ОМ2 = ОK2 = ОР2.

Маємо систему:

 Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

Отже,  Застосування координат  Застосування координат

133.

 Застосування координат

Розмістимо куб в координатній системі, як показано на рисунку.

Сфера проходить через середини ребер BA, ВС, ВВ1, тобто через точки

K, Μ, Р і вершину D1. Ребро куба 20.

Тому K(10; 0; 0), М(0; 10; 0), Р(0; 0; 10), D,(20; 20; 20).

O(х; у; z) – центр сфери.

 Застосування координат

Маємо систему:

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат  Застосування координат

Отже, O(11; 11; 11);

 Застосування координат

134.

 Застосування координат

 Застосування координат  Застосування координатАбо АС2 =ОС2+ОА2 (і)

 Застосування координат  Застосування координатАбо DB2 = OB2 + OD2(ІІ)

Додамо почленно рівності І і II.

АС2 + DB2 = ОС2 + ОА2 + ОВ2 +OD2 = (ОС2 + OD2) + (OA2 + ОВ2) = DC2 + АВ2.

Отже, AC2 + DB2 = DC2 + AB2.

135.

 Застосування координат

Побудуємо коло, діаметром якого є даний відрізок, тоді кожна точка X кола має таку властивість: АХ2 + ХВ2 = АВ2, тобто сума квадратів відстаней від точок кола до кінців відрізка стала величина. Точки фігури, яку одержимо обертанням кода навколо свого діаметра АВ, мають цю властивість: сума квадратів відстаней від цих точок до кінців відрізка є величиною сталою. Ця фігура – сфера з діаметром АВ.

136.

 Застосування координат

X – довільна точка грані A1B1C1D1

ХА2 + ХВ2 + ХС2 + XD2 буде найменшою, якщо X – точка перетину діагоналей грані A1B1C1D1

 Застосування координат  Застосування координат

137.

 Застосування координат

X – довільна точка сфери. Якщо провести площину (ХАС), то площина пройде через т. О. ∠ХАС = 90°, вписаний, спирається на діаметр СА. Тоді за теоремою Піфагора ХС2 + ХА2 = СА2, аналогічно ХВ2 + XD1 = BD2.

Тоді ХС2 + ХА2 +XB2 + XD2 = CA2 + DB2, тобто ХС2 + ХА2 + ХВ2 + XD2 – стала величина, незалежно від вибору т. X.

138.

 Застосування координат

X – довільна точка сфери.

 Застосування координат Застосування координат

 Застосування координат

Де d – діагональ куба. Отже, незалежно від вибору т. X, сума квадратів відстаней від X до кожної вершини куба дорівнює 4d2.

139.

 Застосування координат

В грань ABCD вписано коло. Нехай а – ребро куба. Розмістимо куб в системі координат. Q – центр кола.  Застосування координат  Застосування координат– рівняння кола.

A1(a; 0; a), В1(0; 0; a), С 1(0; a; a), D 1(a; а; а).

З рівняння кола:  Застосування координат  Застосування координат

Отже,  Застосування координат – довільна точка кола.

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

Тобто, сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин протилежної грані куба – стала величина (7а2), вона не залежить від вибору точки. Залежить лише від довжини ребра.

140.

 Застосування координат

Нехай площина (В1МК) перетинає С1С в т. X. З того, що В1, Μ, K, X лежать в одній площині, (В1МK) можна записати рівність:  Застосування координат

Нехай  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат

Тоді  Застосування координат

 Застосування координат  Застосування координат

Звідси:

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

Крім того,  Застосування координат

Звідси:  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат звідси С1Х : ХС =1 : 2.

141.

 Застосування координат

Нехай площина (MNP) перетинає D1C1 в т. X. З того, що Μ, N, Р, X лежать в одній площині (MNP), можна записати рівність  Застосування координат

Нехай  Застосування координат  Застосування координат  Застосування координат тоді  Застосування координат

 Застосування координат

Звідси

 Застосування координат

 Застосування координат

 Застосування координат

Крім того, Застосування координат

Звідси  Застосування координат  Застосування координат Застосування координат

Тобто  Застосування координат або D1Х : ХС1 = 1.

Площина (MNP) ділить відрізок D1C1 на дві рівні частини.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5,00 out of 5)


Застосування координат - ГДЗ з математики


Застосування координат