Розділ 5 ВИРАЗИ І РІВНЯННЯ
§ 32. ЗАСТОСУВАННЯ РІВНЯНЬ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
У 5 класі за допомогою рівнянь ви розв’язували задачі на знаходження суми двох величин або їх різниці.
У б класі розглядатимемо особливий вид задач – на різність двох величин. У таких задачах теж порівнюють дві величини, наприклад, кількості книжок на першій і другій полицях. Але в задачах цього виду значення двох величин прирівнюють.
Задача. На першій полиці книжок у 3 рази більше, ніж на другій. Якщо з першої полиці переставити на другу 12 книжок,
Розв’язання. Складемо скорочений запис даних задачі у вигляді таблиці 23.
Таблиця 23
Нехай х – кількість книжок на другій полиці, тоді 3х – кількість книжок на першій полиці. Якщо з першої полиці переставити на другу 12 книжок, то на першій полиці їх стане 3х – 12, а на другій – х + 12. За умовою ця кількість книжок однакова. Складемо рівняння: 3х – 12 = х + 12. Розв’яжемо рівняння: 3х – х = 12 + 12, 2х = 24, х = 12. Тоді 3х = 2 ∙ 12 = 36. Отже, на першій полиці – 36 книжок, а на другій – 12 книжок.
Дізнайтеся
Першим твором, що містить дослідження алгебраїчних питань, вважають трактат “Арифметика” Діофанта (середина IVст.). Із 13 книг, що складали повне зібрання праць Діофанта, до нас дійшло тільки 6. У них запропоновано розв’язання складних алгебраїчних задач. Основна частина твору – збірник задач (у перших шести книгах їх 189) із розв’язаннями та вдало дібраними ілюстраціями до способів розв’язування.
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Які задачі відносять до задач на знаходження суми двох величин? різниці двох величин? Наведіть приклади.
2. Які задачі відносять до задач на рівність двох величин? Наведіть приклади.
3. Як розв’язати задачу за допомогою рівняння?
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
1436′. До задачі склали скорочений запис: 1)
Чи відноситься дана задача до задач: а) на знаходження суми двох величин; б) на знаходження різниці двох величин; в) на рівність двох величин? Яке рівняння можна скласти до даної задачі?
1437′. Складіть рівняння до задачі.
1) У першому кошику в 3 рази більше яблук, ніж у другому. Скільки яблук у кожному кошику, якщо в обох кошиках разом – 24 яблука?
2) У першому кошику в 4 рази менше яблук, ніж у другому. Скільки яблук у кожному кошику, якщо в другому – на 12 яблук більше, ніжу першому?
3) У першому кошику в 2 рази більше яблук, ніж у другому. Після того як із першого кошика переклали 8 яблук до другого, то в обох кошиках яблук стало порівну. Скільки яблук було в кожному кошику спочатку?
1438′. Учні 6-Б класу розв’язували алгебраїчним способом задачу: “У першому бідоні в 5 разів більше молока, ніж у другому. Якщо з першого бідона перелити в другий бідон 10 л, то молока в бідонах стане порівну. Скільки молока в кожному бідоні?” У Наталки вийшло рівняння 5х – 10 = х +10, а в Софійки – 5х – х = 10 ∙ 2. Хто з дівчат склав рівняння правильно? Відповідь поясніть.
1439°. Перше число в 3 рази більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо: 1) друге число на 24 менше від першого; 2) різниця першого числа і числа 18 дорівнює другому числу; 3) різниця першого числа і числа 10 дорівнює сумі другого числа і числа 6.
1440°. Перше число в 4 рази більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо: 1) сума другого числа і числа 12 дорівнює першому числу; 2) різниця першого числа і числа 11 дорівнює сумі другого числа і числа 10.
1441°. Різниця двох чисел дорівнює 2,2. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 22,2.
1442°. Сума двох чисел дорівнює 33,5. Знайдіть ці числа, якщо їх різниця дорівнює 3,5.
1443°. За 6 зошитів і 4 ручки заплатили 27 грн. Скільки коштує зошит і скільки – ручка, якщо зошит дешевший від ручки на 50 к.?
1444°. За 2 кг печива і 3 кг цукерок заплатили 128 грн. Скільки коштує кілограм печива і скільки – кілограм цукерок, якщо цукерки дорожчі за печиво на 11 грн?
1445°. У фруктовому саду необхідно посадити 18 дерев. Перший робітник може виконати це завдання за 6 год. Знайдіть час, необхідний для виконання цього завдання другим робітником, якщо за годину він саджає на 1 дерево менше, ніж перший робітник.
1446°. На фабриці потрібно пошити 60 суконь. Перша майстриня може виконати це завдання за 30 днів. За скільки днів зможе виконати це завдання друга майстриня, якщо за день вона шиє на одну сукню більше, ніж перша?
1447°. Два автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному з двох пунктів, відстань між якими дорівнює 325 км, і зустрілися через 2,5 год. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість одного з них на 10 км/год більша, ніж швидкість іншого.
1448°. Відстань між пунктами А і В дорівнює 290 км. Одночасно назустріч один одному з цих пунктів виїхали два автомобілі й зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість одного з них на 5 км/год менша, ніж швидкість іншого.
1449°. Автомобілі виїхали одночасно із пункту А в протилежних напрямках. Перший автомобіль ‘їхав зі швидкістю на 10 км/год більшою, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо через 2 год відстань між ними становила 300 км. На якій відстані один від одного будуть знаходитись автомобілі через 4,5 год після виїзду?
1450°. Два автобуси одночасно в протилежних напрямках виїхали із сіл, відстань між якими становить 30 км. Швидкість першого автобуса на 10 км/год менша від швидкості другого. Знайдіть швидкість кожного автобуса, якщо через 2 год відстань між ними була 250 км.
1451. Мама купила 6 кг цукерок двох видів за ціною 20 грн 124 грн. Скільки кілограмів цукерок кожного виду купила мама, якщо покупка коштує 136 грн?
1452. Купили 15 зошитів. З них кілька зошитів у лінійку за ціною 2 грн, а решта -у клітинку за ціною 3 грн. Скільки купили зошитів у лінійку і скільки в клітинку, якщо за покупку заплатили 38 грн?
1453. Мотоцикліст за 4 год проїжджає ту саму відстань, що автомобіліст за 2 год. Знайдіть швидкість мотоцикла і швидкість автомобіля, якщо відомо, що швидкість автомобіля на 40 км/год більша, ніж швидкість мотоцикла.
1454. Велосипедист за 2 год проїжджає ту саму відстань, що турист проходить за 6 год. Знайдіть швидкість велосипедиста і швидкість туриста, якщо відомо, що швидкість велосипедиста на 8 км/год більша, ніж швидкість туриста.
1455. На двох полицях – 39 книжок. Якщо з першої полиці переставити на другу 4 книжки, то на першій полиці книжок стане у 2 рази більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?
1456. На двох полицях – 30 книжок. Якщо з першої полиці переставити на другу 2 книжки, то на першій полиці книжок стане у 2 рази менше, ніжна другій. Скільки книжок на кожній полиці?
1457. Під час виконання письмової роботи з математики в 6-А класі 15 % учнів зовсім не справились із задачею, 25 % учнів допустили помилки підчас розв’язування, а решта, 18 учнів, розв’язали її правильно. Скільки учнів 6-А класу виконували письмову роботу?
1458. На олімпіаді з математики 17 % учнів правильно розв’язали лише 3 задачі, 35 % учнів – 4 задачі, а решта, 12 учнів, – усі 5 задач. Скільки учнів брали участь в олімпіаді з математики?
1459. Туристи мандрували 3 дні. За перший день вони пройшли 
усього шляху, за другий 
решти, а за третій – останні 32,5 км. Який шлях подолали туристи за три дні?
1460. Автобус їхав із пункту А до пункту В. За першу годину він 
Проїхав – всього шляху, за другу 
решти, а за третю – останні 100 км. Знайдіть відстань між пунктами А і В.
1461. У школі три шості класи. У 6-А класі навчаються 30 % загальної кількості шестикласників, у 6-Б – на 6 учнів більше, ніжу 6-А, а кількість учнів 6-В класу становить 1 кількості учнів 6-А і 6-Б класів разом. Скільки всього шестикласників у цій школі?
1462. У трьох шостих класах школи навчається 81 учень. Кількість учнів 6-Б класу становить 80 % кількості учнів 6-А класу, а кількість учнів 6-В класу становить 50 % кількості учнів 6-А і 6-Б класів разом. Скільки учнів у кожному класі?
1463. Тарасик прочитав книжку за три дні. За перший день він прочитав 0,2 всієї книжки та ще 6 сторінок, за другий – 0,3 книжки і ще 8 сторінок, а за третій – решту 16 сторінок. Скільки сторінок у книжці?
1464. Оленка прочитала книжку за три дні. За перший день вона прочитала 
всієї книжки і ще 4 сторінки, за другий день – 
книжки і ще 2 сторінки, а за третій день – решту 8 сторінок. Скільки сторінок у книжці?
1465. Сашко прочитав книжку за чотири дні. За перший день він прочитав 0,2 всієї книжки та ще 8 сторінок, за другий – 0,3 решти і ще 6 сторінок, за третій – 0,5 нової решти і ще 1 сторінку, а за четвертий день – останні 10 сторінок. Скільки сторінок у книжці?
1466. Петрик з’їв 
всіх цукерок і ще 2 цукерки, Сашко з’їв 
всіх цукерок і ще 1 цукерку, а Миколка – половину решти. Після
Цього залишилася 
початкової кількості цукерок. Скільки цукерок було спочатку?
1467. Знайдіть дріб, який дорівнює дробу 
, якщо різниця між знаменником та чисельником цього дробу дорівнює 21.
1468. Знайдіть дріб, що дорівнює дробу 
, якщо сума його чисельника і знаменника дорівнює 39.
1469. Якщо турист проще відстань між селищами А і В на велосипеді, то він витратить на 2 год 30хв менше часу, ніж якщо пройде цей шлях пішки. Яка відстань між селищами А і В, якщо на велосипеді турист їде зі швидкістю 12 км/год, а пішки йде зі швидкістю 4 км/год?
1470. Автомобіль їхав із пункту А до пункту В. Якщо він буде рухатися зі швидкістю 60 км/год, то запізниться на 1 год, а якщо зі швидкістю 80 км/год, то прибуде на годину раніше, ніж треба. Знайдіть відстань між пунктами А і В.
1471. Два туристи рухалися з однаковою швидкістю. Перший пройшов 8 км, а другий – 12 км. Перший турист перебував у дорозі на 40 хв менше, ніж другий. Скільки часу знаходився в дорозі перший турист?
1472. Кількість книжок на першій полиці удвічі менша, ніж на другій. Якщо з першої полиці взяти 9 книжок, а на другу – поставити 12, то на першій полиці стане у 7 разів менше книжок, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?
1473. На чотирьох полицях – 180 книжок. На першій полиці книжок у 2 рази більше, ніж на другій, а кількість книжок на третій полиці становить 60 % кількості книжок на другій та 
кількості книжок на четвертій полиці. Скільки книжок на кожній полиці?
1474. Кількість книжок на першій полиці утричі більша, ніж на другій. Якщо з першої полиці взяти 8 книжок, а на другу поставити 2 книжки, то на першій полиці книжок стане у 2 рази більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?
1475*. Два учні купили собі по книжці. Перший витратив на це 
своїх грошей, а другий – 
своїх грошей. До покупки в першого
Було на 12 грн менше, ніжу другого, а після покупки грошей стало порівну. Скільки грошей було в кожного хлопця спочатку?
1476*. Юрко взяв книжку в бібліотеці на 3 дні. За перший день він прочитав половину книжки, за другій – третину сторінок, що залишилися, а за третій – кількість сторінок, яка дорівнює половині сторінок, прочитаних за перші два дні. Чи встиг Юрко прочитати книжку за 3 дні?
1477*. Старовинна задача. Дехто має чай двох сортів: цейлонський по 5 монет за фунт та індійський по 8 монет за фунт. У яких частинах потрібно змішати ці два сорти, щоб отримати чай вартістю 6 монет за фунт?
1478*. Тетянка взяла з коробки спочатку 4 цукерки, а потім – ще четверту частину тих цукерок, що залишилися. Після цього в коробці залишилося 
початкової кількості цукерок. Скільки цукерок було в коробці спочатку?
1479*. Мотузку завдовжки 4,9 м розрізано на 3 частини так, що довжина другої частини становить 75 % довжини першої, а довжина третьої – 75 % довжини перших двох частин разом. Знайдіть довжини усіх трьох частин мотузки.
1480*. Сума двох чисел дорівнює 
а подвоєне перше число дорівнює потроєному другому Знайдіть ці числа.
ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ
1481. Складіть і розв’яжіть задачу про свій вік та вік інших членів вашої родини.
1482. Складіть і розв’яжіть задачу про кількість хлопців і дівчат у вашому класі.
ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ
1483. Яке число треба вписати в останню клітинку ланцюжка?
1484. Знайдіть значення у, якщо 
(1 votes, average: 5,00 out of 5)