ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ПОВТОРЕННЯ

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ВИРАЗИ І ТОТОЖНОСТІ

Вирази

Числові

Буквені

Запис, в якому використовують тільки числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається числовим виразом.

Запис, в якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається виразом зі змінними.

24 : 4 + 5 або (12 – 2) ∙ 0,5

(2 + а) : 30 або  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІХ + 4 ,

Означення

Приклад

Цілий

вираз – це вираз, який не містить ділення на вираз зі змінними

4а – 3b, 12х + 17, 3c –  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Усі значення змінної, допустимі для певного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу.

Вираз

ОДЗ виразу

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Х ≠ -12

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Х – будь-яке число

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Х ≠ -7 і х

≠ 3

Два вирази називаються тотожно рівними, якщо вони набувають відповідно рівних значень за будь-яких значень їх змінних.

Означення

Приклад

Тотожність – це рівність, ліва і права частини якої є тотожно рівними виразами

10х – (6y – 3х) = 7х – 6y,

А2 – b2 = (а + b)(а – b)

Довести тотожність означає довести рівність її лівої і правої частин.

Способи доведення тотожностей

Назва способу

Сутність способу

Приклад

Перетворення лівої частини рівності

Перетворити вираз у лівій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині

(a – 2b)(a + 2b)(a2 + 4b2) = а4 – 16у2

(а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) =

(а2 – 4b2)(a2 + 4b2) = а4 – 16y2

Перетворення правої частини рівності

Перетворити вираз у правій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її лівій частині

(а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) =

А4 – 16y2

А4 – 16у2 =

= (а2 – 4b2)(а2 + 4b2) =

= (а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2)

Перетворення обох частин рівності

Перетворити вирази в обох частинах даної рівності так, щоб вони набули одного й того самого вигляду

(а – 2b)(a + 2b)(а2 + 4b2) = а4 – 16y2

(а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) = (а2 – 4b2)(a2 + 4b2)

А4 – 16у2 = (а2 – 4b2)(a2 + 4b2)

Різницеве

Порівняння

Перевірити, чи дорівнює нулю різниця виразів у лівій і правій частинах даної рівності

(а – 2b)(а + 2)(а2 + 4b2) = а4 – 16у2

(а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) – (а4 – 16) =

(а2 – 4b2)(а2 + 4b2) – (а4 – 16y2) = (а4 – 16у2) – (а4 – 16у2) = 0

СТЕПЕНІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Будь-який натуральний степінь числа 1 дорівнює 1

1n = 1

12016 = 1

Будь-який натуральний степінь числа 0 дорівнює 0

0n = 0

02016 = 0

Будь-який натуральний степінь додатного числа – число додатне

Аn >0, якщо а >0, n – натуральне число

48 > 0

Парний натуральний степінь від’ємного числа – число додатне

Аn > 0, якщо а < 0, n = 2k, k – натуральне число

(-4)8 > 0

Непарний натуральний степінь від’ємного числа – число від’ємне

Аn < 0, якщо а < 0, n = 2k – 1,

K – натуральне число

(-4)9<0

Дії першого ступеня зі степенями

Переставна властивість

Аn + аm- = аm + аn

52 + 53 = 53 + 52

150 = 150

Аn + bn = bn + an

52 + 42 = 42 + 52

41 = 41

Для віднімання переставна властивість виконується не завжди

52 – 53 ≠ 53 – 52

– 100 ≠ 100

52 – 42 ≠ 42- 52

9 ≠ -9

Сполучна властивість

(an + am ) + аk = аn + (аm + аk )

(52 + 53) + 54 = 52 + (53 + 54)

150 + 625 = 25 + 750

775 = 775

(аn + bn) + сn = аn + (bn + сn)

(32 + 42) + 52 = 32 + (42 + 52)

25 + 25 = 9 + 41

50 = 50

(аn – аm) – аk = аk – (аm + аk)

(52 – 53) – 54 = 52 – (53 + 54)

-100 – 625 = 25 – 750

-725 = -725

(аn – bn) – сn = аn – (bn + сn)

(32 – 42) – 52 = 32 – (42 + 52)

-7 – 25 = 9 – 41

– 32 = -32

Дії другого ступеня зі степенями

Переставна властивість

An ∙ am = am∙ an

22 ∙ 23 = 23 ∙ 22

32 = 32

Аn ∙ bn= bn ∙ аn

22 ∙ 42 = 42 ∙ 22

64 = 64

Для ділення переставна властивість виконується не завжди

22 : 23 ≠ 23 : 22

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ≠ 2

22 : 42 ≠ 42 : 22

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ≠ 4

Сполучна властивість

(аn ∙ аm) ∙ аk = аn ∙ (аm ∙ аk)

(22 ∙ 23) ∙ 24 = 22 ∙ (23 ∙ 24)

32 ∙ 16 = 4 ∙ 128

512 = 512

(an ∙ bn) ∙ cn = an ∙ (bn ∙ cn)

(32 ∙ 42) ∙ 22= З2 ∙ (42 ∙ 22)

144 ∙ 4 = 9 ∙ 64

576 = 576

Для ділення сполучна властивість виконується не завжди

(22 : 23) : 24 ≠ 22 : (23 : 24)

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ : 16 ≠ 4 :  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ≠ 8

(32 : 42) : 22 ≠ 32 : (42 : 22)

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ : 4 ≠ 9 : 4

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ≠ 2 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Розподільна властивість

(an + am) ∙ ak = anak + amak

(22 + 23) ∙ 24 = 22 ∙ 24 + 23 ∙ 24

12 ∙ 16 = 64 + 128

192 = 192

(аn + bn) ∙ сn = аnсn + bnсn

(32 + 42) ∙ 22 = 32 ∙ 22 + 42 ∙ 22

25 ∙ 4 = 36 + 64

100 = 100

(an + am) : ak = an : ak + am : ak,

(a ≠ 0)

(22+23) : 24 = 22 : 24 + 23 : 24

12 : 16 =  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ +  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ =  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

(an + bn) : сn = аn : cn + bn : cn,

(c ≠ 0)

(32 + 42) : 22 = 32 : 22 + 42 : 22

25 : 4 =  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ + 4

6 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ = 6 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Властивість степенів із рівними основами

Аn ∙ аm = аn+m

23 ∙ 22 = 23+2 =

= 25=

= 32

Аn : аm = аn-n ,

(n > m, a ≠ 0)

23 : 22 =

= 23-2 =

= 21 =

= 2

Властивість степенів із різними основами і рівними показниками

Аn ∙ bn = (аb)n

32 ∙ 42= (3 ∙ 4)2=

= 122=

= 144

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ = ( ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ)n , (b ≠ 0)

62 : 32 = (6 : 3)2=

= 22 =

= 4

Дія третього ступеня зі степенями

(am)n = аmn

(32)3 = 32 ∙ 3=

= 36 = 729

ОДНОЧЛЕНИ

Цілий вираз, що є добутком чисел, змінних та їх натуральних степенів, називається одночленом.

Одночлен

Стандартний вигляд одночлена

Коефіцієнт

Одночлена

Степінь

Одночлена

X

X

1

1

3,5х3y

3,5х3у

3,5

3 +1 = 4

-x5y8ax

-ax6y8

-1

1 + 8 + 6 =15

6x5y8∙ 0,5y2

3х5y10

3

5 + 10 = 15

5

5

5

0

Дії першого ступеня з одночленами

Переставна властивість

12х5 + у2 = у2 + 12х5

12х5 – у2 ≠ у2 -12х5

Сполучна властивість

(12х5 + у2) + 6х = 12х5 + (у2 + 6х)

(12х5 – у2) – 6х ≠ 12х5 – (y2 – 6х)

(12х5 – у2) – 6х = 12х5 – (у2 + 6х)

Дії другого ступеня з одночленами

Переставна властивість

12х5 ∙ у2 = у2 ∙ 12х5

12х5 : у2 ≠ у2 : 12х5

Сполучна властивість

(12х5 ∙ у2) ∙ 6х = 12х5 ∙ (у2 ∙ 6х)

(12х5 : у2) : 6х ≠ 12х5 : (y2 : 6х)

(12х5 : у2) : 6х = 12х5 : (у2 ∙ 6х)

Дія третього ступеня з одночленами

Правило

Приклад

Щоб піднести одночлен до n-го степеня, треба піднести до цього степеня кожний множник даного одночлена та обчислити коефіцієнт отриманого одночлена

(0,5a7c2)2=

= 0,52a7∙ 2c2 ∙ 2 =

= 0,25а14с4

МНОГОЧЛЕНИ

Вираз, що є сумою кількох одночленів, називається многочленом.

Якщо многочлен подано в стандартному вигляді, то степенем цього многочлена називається степінь його старшого члена.

Многочлен

Стандартний вигляд

Многочлена

Вільний член

Многочлена

Старший

Член многочлена

Степінь

Многочлена

X2 – 7x – 2

Х2 – 7Х – 2

-2

X2

2

-х + 3 + 2х

Х + 3

3

X

1

5х2 – 1 + 5у – 3

5х2 + 5у – 4

-4

5х2

2

Дії першого ступеня з многочленами

Переставна властивість

0,3х + (y2 + 2) = (у2 + 2) + 0,Зх

(12 – х) + (у2 + 2) = (у2 + 2) + (12 – х)

0,3х -(у2 + 2) ≠ (у2 + 2) – 0,3х

(12- х) + (y2 + 2) = (у2 + 2) + (12 – х)

Сполучна властивість

(0,3х + (у2 + 2))+ у2=

= 0,3х + ((у2 + 2) + у2)

((х + 3) + (у2 + 2)) + (1 – х) =

(x + 3) + ((y2 + 2) + (1 – х))

(0,3х – (у2 + 2)) – у2=

= 0,3х -((у2 + 2) + y2)

((х + 3) – (у2 + 2)) – (1 – х)=

= (х + 3) – ((1 – х) + (y2 + 2))

Множення многочленів

Одночлен

Означає скласти вираз, що є сумою добутків

Кожного

Члена

Многочлена

І даного одночлена

Та спростити його, якщо це можливо

Помножити

Многочлен

На

Многочлен

На кожен член іншого многочлена

Формула множення одночлена на двочлен

Формула множення двочленів

С(а + b) = са + сb

(а+ b)(c + d) – ac + ad + bc + bd

12х5 – (у2 + 2)=

= 12х5 – у2 + 12х5 ∙ 2 =

= 12х5y2 + 24х5

(12×5 – х) ∙ (у2 + 2)=

= 12х5 ∙ y2 + 12х5 ∙ 2 – х ∙ у2 – х ∙ 2 =

= 12х5у2 + 24х5 – ху2 – 2х

Властивості множення многочленів

Переставна властивість

12х5 ∙ (у2 + 2) = (у2 + 2) ∙ 12х5

(12х5 – х) ∙ (у2 + 2) = (у2 + 2) ∙ (12×5 – х)

Сполучна властивість

((у2 + 2) ∙ 12х5) ∙ 6х =

= (у2 + 2) ∙ (12х5 ∙ 6х)

((х + 3) ∙ (у2 + 2)) ∙ (1 – х)=

= (х + 3) ∙ ((у2 + 2) ∙ (1 – х))

Дія третього ступеня з многочленами

Правило

Приклад

Щоб піднести многочлен до n-го степеня, треба помножити цей многочлен на себе п разів

(а + b)2 = (а + b)(а + b)

(а + b)3 = (а + b)(а + b)(а + b)

Формули скороченого множення

Формула

Приклад

Квадрат двочлена:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2

(а – b)2= а2 – 2аb + b2

(2а + 3b)2=

= (2а)2 + 2 ∙ 2а ∙ 3b + (3b)2 =

= 4а2 + 12аb + 9b2

(5 – 6bс)2 =

= 52 – 2 ∙ 5 ∙ 6bс + (6bс)2 =

= 25 – 60bс + 36b2с2

Різниця квадратів:

А2 – b2 = (а + b)(а – b)

4х2 – 9у2 = (2х + 3у)(2х – 3у)

Сума і різниця кубів:

А3 + b3 = (а+ b)(а2 – ab + b2)

А3 – b3 = (а – b)(a2 + ab + b2)

125а3b3 + с3 =

= (5аb + с) ∙ (25а2b2 – 5аbс + с2)

8х3 – 27у3 =

= (2х – 3у) ∙ (4х2 + 6ху + 9y2)

Розкладання многочленів на множники

Спосіб

Приклад

Винесення спільного множника за дужки

6х2y3 – 24х4у 3 + 18х3у2 =

= 6х2у2(у – 4х2у + 3х)

Застосування формул скороченого множення

64х6y6 – х3y3=

= х3у3(4ху – 1)(16x2y2 + 4ху + 1)

Спосіб групування

2х2у2 – 3ху + 4х3у3 – 6х2y2 =

= ху((2ху – 3) + 2ху(2ху – 3)) =

= ху(2ху -3)(1 + 2ху)

Означення

Приклад

Правило, згідно з яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної, називають функцією

У = f(x), наприклад, у = х2 + 5

У = F(х), наприклад, у = 2 – 5х

2 = g(t), наприклад, z = 3t3 + 1

X = ф(t), наприклад, х = 4,1 t – 2,7

Незалежну змінну називають аргументом функції, а залежну змінну – функцією

У = f(x) : х – аргумент, у – функція

У = F(х): х – аргумент, у – функція

Z = g(t) : t – аргумент, z – функція

Х = ф(t) : t – аргумент, х – функція

Усі можливі значення аргументу утворюють область визначення функції, а відповідні значення залежної змінної – область значень функції

У = х2 – 2x + 3:

Область визначення – будь-які числа, область значень – будь-які числа у = |x|:

Область визначення – будь-які числа, область значень – будь-які невід’ємні числа

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ФУНКЦІЇ

Функція вважається заданою, якщо:

1) задано область її визначення;

2) указано правило, згідно з яким для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення залежної змінної (функції).

Способи задания функції:

1) аналітичний;

2) описовий;

3) табличний;

4) графічний.

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах + b = 0 , де х – змінна, a і b – деякі числа

4х – 2 = 0,

-12х + 48 = 0,

7х = 0

Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною

Значення

А і b

Вигляд рівняння

Розв’язання

Кількість

Коренів

Приклад

A ≠ 0, b ≠ 0

Aх + b= 0

Ах = – b,

Х= –  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1 корінь

4х – 8 = 0,

4х = 8,

Х = 2

A ≠ 0, b = 0

Ах = 0

Х= 0 : а, х = 0

1 корінь

5х = 0,

Х = 0

А = 0, b ≠ 0

0 ∙ х + b = 0

0 ∙ х = – b

Немає

Коренів

0х + 7 = 0,

0х = -7,

Коренів немає

A = 0,

B = 0

0 ∙ x = 0

0 ∙ х = 0

Безліч

Коренів

0х = 0,

Безліч коренів

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням із двома змінними називається рівняння виду ax + by + c = 0, де х і у – змінні, a, b і с – деякі числа

2х – у + 6 = 0,

Х + 3у – 7 = 0,

5х – 2у = 0

Гpафіком рівняння із двома змінними називається зображення на координатній площині всіх точок, координати яких задовольняють дане рівняння.

Побудова графіка рівняння із двома змінними

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Гpафік лінійного рівняння із двома змінними ax + by + с = 0:

– є прямою, якщо або а ≠ 0, або b ≠ 0;

– є всією площиною, якщо а = 0, b = 0 і с = 0;

– не містить жодної точки координатної площини, якщо а = 0, b = 0 і с ≠ 0.

Розміщення на координатній площині прямої, що є графіком лінійного рівняння з двома змінними

Ах + bу + с = 0

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Розв’язком системи двох лінійних рівнянь із двома змінними називають таку пару чисел (х; у), яка одночасно є розв’язком кожного рівняння системи.

Розв’язати систему рівнянь – означає знайти всі її розв’язки або встановити, що розв’язків немає.

Види розв’язків системи двох лінійних рівнянь із двома змінними  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними:

1) графічний;

2) підстановки;

3) додавання.

Способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ




ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ