Ознаки подільності на 9 та 3

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

§3. Ознаки подільності на 9 та 3

Запишемо кілька перших чисел, кратних числу 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …

Очевидно, що число, яке кратне числу 9, може закінчуватися будь-якою цифрою. Тому робити висновок про подільність на 9 за останньою цифрою запису не можна.

Знайдемо суму цифр кожного з кількох чисел, які діляться на 9, і суму цифр кожного з кількох чисел, які не діляться на 9. Результати подамо у вигляді таблиці (див. с. 12) та з’ясуємо, як пов’язана подільність самого числа на 9 із подільністю

суми його цифр на 9.

Число

Чи ділиться число на 9?

Сума цифр

Чи ділиться сума цифр на 9?

1908

Так

18

Так

78 957

Так

36

Так

405

Так

9

Так

58 464

Так

27

Так

1205

Ні

8

Ні

15 478

Ні

25

Ні

5840

Ні

17

Ні

256

Ні

13

Ні

Сформулюємо

ознаку подільності на 9:

– на 9 діляться всі ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9. Якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то це число не ділиться на 9.

Подібною до цієї ознаки є ознака подільності на 3:

– на 3 діляться всі ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3. Якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то це число не ділиться на 3.

Приклад. З’ясувати, чи ділиться на 3 число:

1) 2571; 2) 14 021.

Розв’язання. 1) Сума цифр числа 2571 дорівнює 2 + + 5 + 7 + 1 = 15, сума цифр ділиться на 3, тому число 2571 ділиться на 3.

2) Оскільки сума цифр числа 14 021, що дорівнює 1 + + 4 + 0 + 2 + 1 = 8, не ділиться на 3, то і число 14 021 не ділиться на 3.

Як за записом натурального числа визначити, ділиться воно на 9 чи ні? Як за записом натурального числа визначити, ділиться воно на 3 чи ні?

47. (Усно) Які із чисел 42, 217, 35, 1002, 8109 діляться: 1) на 3; 2) на 9?

48. Заповни в зошиті таку таблицю:

Число

12 352

45 981

2568

2583

15 875

Сума цифр

Чи ділиться на 3?

Чи ділиться на 9?

49. Знайди суму цифр кожного із чисел: 135, 207, 396, 1086, 12 002, 576. Які з них діляться: 1) на 3; 2) на 9?

50. Із чисел 180, 2109, 541, 4590, 111 102, 7891 випиши ті, які:

1) діляться на 3; 2) діляться на 9;

3) діляться на 2 і на 3; 4) не діляться на 3;

5) діляться на 3, але не діляться на 9.

51. Із чисел 582, 509, 450, 3105, 2017 випиши ті, які:

1) діляться на 3; 2) діляться на 9;

3) діляться на 3 і на 2; 4) діляться на 9 і на 5.

52. Чи можна скласти трицифрове число, яке не містить однакових цифр і ділиться на 3, із цифр:

1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 5; 3) 1, 0, 8?

53. Чи можна з даних цифр скласти чотирицифрове число, що не містить однакових цифр, яке ділиться на 9:

1) 4, 6, 0, 9; 2) 9, 1, 2, 6?

54. Яку цифру потрібно підставити замість зірочки, щоб отримати число, яке ділиться на 9:

1) 2*00; 2) *375; 3) 8*19?

55. Яку цифру потрібно підставити замість зірочки, щоб отримати число, яке ділиться на 3:

1) 28*1; 2) 4*5; 3) 1111*?

56. Запиши значення х, які кратні числу 3, при яких нерівність 45 < х < 57 буде правильною.

57. Запиши значення у, які кратні числу 3, але не кратні числу 9, при яких нерівність 116 < у < 145 буде правильною.

58. З даних цифр утвори, якщо це можливо, одне трицифрове число, яке ділиться на 3, і одне трицифрове число, яке ділиться на 9 (цифри в числі можуть повторюватися):

1) 5, 8; 2) 3, 6; 3) 1, 8.

59. Підстав замість зірочок такі цифри, щоб число:

1) 5*7* ділилося на 3 і на 10;

2) 10 0* ділилося на 9 і на 10;

3) *0 00* ділилося на 5 і на 9;

4) 71* ділилося на 3, на 5 і на 2.

60. Підстав замість зірочок такі цифри, щоб число:

1) 2*7* ділилося на 3 і на 5;

2) 20* 06* ділилося на 2 і на 9.

61. Запиши найменше чотирицифрове число, яке ділиться:

1) на 2 і на 3; 2) на 5 і на 9;

3) на 3 і на 10; 4) на 2, на 3 і на 5.

62. Підстав замість зірочок такі цифри, щоб число 1*2* ділилося на 15. (Знайди всі можливі розв’язки.)

63. Учень прочитав 150 сторінок, що становить  Ознаки подільності на 9 та 3 книжки. Скільки сторінок у книжці?

64. Знайди градусну міру кута між стрілками годинника, коли вони показують:

1) 5 год; 2) 6 год; 3) 11 год; 4) 14 год.

65. На столі лежать 25 сірників. Двоє гравців по черзі беруть 1 або 2 сірники. Переможе той, хто візьме останній сірник. Як має діяти перший гравець, щоб виграти?




Ознаки подільності на 9 та 3