Об’єми і площі поверхонь геометричних тіл

289.

1) ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед.

AC = 5 см. A1C = 15 см.

ΔAA1C: ∠ A = 90°.

Відповідь:

2) V – ? Δ AD1CD: DC = 3, D1C = 5 → DD1 = 4.

V= 3 × 4 × 4 = 48см3.

Відповідь: 48 см3,

3) ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпед.

А1D = 4см.

290.

src="/image/2/image2304_1.jpg" class=""/>

ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпед.

1) PAA1B1B = 2(AB + AA1) = 10 см; РАВСD = 2(АВ + АВ) = 6 см.

РАA1D1D = 2(АА1 + АD) = 8 см. Нехай AB = х, AD = у, АА1 = z;

X – ? у – ? z – ?

2(х + y + z) = 12,

V= x × у × z = 1 × 3 × 2 = 6 см3.

Відповідь: V = 6 см2.

2) ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед.

A1C = 6 см. AA1 : AB : AD = 3 : 2 : 1.

V – ? AA = 3k, AB = 2k, AD = k.

Відповідь:

3) Q – центр симетрії паралелепіпеда.

Відстані до ребер AA1 дорівнює QF=9 см. V – ?

AD = QN = 8 см, DC = QM = 7 см. QF = OA = 9,

AB = x, AD=y, AA1 = z.

Маємо:

182 + 162 + 142 = 2(х2 + у2 + z2);

(х2 + у2 + z2) × 2 = 182 + 162 + 142;

182 + 162 + 142 = 2(х2 + у2 + z2) → 182 + 16s + 142 = 2 × 182 + 2z2 → 2z2 =

= 162 + 142 – 182 = 128: z = 8.

2(y2 + 162) = 182 + 162 + 142;

2у2 = 182 + 142 – 162 = 2 × 132;

2(х2 + у2 + z2) = 142 + 162 + 182;

2(х2 + 142) = 142 + 162 + 182; 2×2 = 162 + 182 – 142;

2х2 = 384; х2 = 192 = 4 × 48 = 4 × 16 × 3;

Відповідь:

4)

Діагональ прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнює d,

A1C = d. ∠A1CA = α, ∠A1CB = β. V – ?

ΔAA1C: ∠A = 90°, A1C = d, ∠A1CA = α. AA1 = A1C × sin α,

AC = A1C × cos α; AA1 = d sin α, AC = d cos α.

ΔA1CD: ∠A1DC = 90°, ∠A1CD = β. CD = A1C × cos β, CD = d cos β.

ΔACD: AD = 90°,

Відповідь:

291.

ABCA1В1С1 – правильна трикутна призма. AB = BC = AC.

1) V – ?

Відповідь: 18 см3.

2) AA1 = 3 см.

AC = 9,

3) H = 3а, тобто AA1 = 3АВ. V – ?

AB2 = 36, AB = 6 → H= 18 см.

Відповідь:

4) AC1 = a. ∠C1AC = α. V – ?

AC = AC1 cos α; C1C =AC1 sin α; AC = а cos α; H = a sin α.

Відповідь:

5) AA1C1C – квадрат, H = a, AB = a, V-?

Відповідь: 18 см3.

6) AA1 = BD. BD + AC в площині ABC. SDD1B1B = 12 см2. V-?

AA1 = BD.

Але

V = 24 см3. AB2 = 16. AB = 4.

Відповідь: 24 см3.

7) V-? H – ?

Якщо в призму можна вписати кулю, то висота призми удвічі більше радіуса кола, вписаного в основу призми. H = 2r,

Відповідь:

292.

ABCDA1B1C1D1 – правильна чотирикутна призма.

1) A1C = 13 см, BC =12 см. V – ?

Маємо:

132 = х2 + 122 → x2 = 25, х = 5 → 22 = 122 – 52 = 7 × 17;

Відповідь:

2) DC1 = 8 см, ∠C1DA1 = 60°. З умови DA = DC → DA1 = DC1.

ΔA1C1D: ∠D = 60° і DA1 = DC1 → A1C1 = C1D = A1D = 8 см.

AC = 8, 2х2 = 82 → x2 = 32,

ΔDC1C: ∠C = 90°, DC1 = 8,

Відповідь:

3)

ABCBA1B1C1B1 – правильна чотирикутна призма.

SAA1C1C = S. A1C = d. V – ? VAA1B1C1D1DCBA – ? AB = x,

AA1 = z.

ΔA1CA: ∠A = 90°, A1C = d, d2 = 2х2 + z2.

4×4 – 2x2d2 + S2 = 0; x – ? z – ?

Але X2 ≥ 0.

або

Відповідь:

293.

ABCDFKA1B1C1D1F1K1 – правильна шестикутна призма.

1) Всі ребра дорівнюють 1 м. V-?V=1см3.

2)AB = 1 м. AB = BC = CD = DF = FK = KA.

В призму можна вписати кулю. V – ?

BF = 2AB = 2. H = 2R = 2.

Відповідь:

3) AD1 = d. ∠D1AD = α. V – ?

ΔAD1D: ∠D = 90°, ∠A = α, AD1 = d = D1D = d sin α → H = d sin α.

Відповідь:

4) Переріз призми ABD1F1, ABD1F1 – прямокутник.

SABD1F1 =S. ∠F1AF = α. V – ?

S = AB × AF1, AF – ?

AF2 = 3AK2 = 3АВ2;

Відповідь:

294.

ABCA1B1C1 – пряма призма.

1) ΔABC – рівнобедреник, AB = BC = а.

∠ABC = a. V – ?

S ΔABC = 2 × S ΔABC × cos β;

B1B – ?

ΔАВС: a =AB = СВ,

ΔBB1E: ∠B = 90°,

Відповідь:

2)

ABCDA1B1C1D1 – пряма призма.

ABCD – трапеція, BC? AD. AB = CD, AC = BD = a. ∠C1AC = β, ∠CAD = α.

V – ? Sосн. – ? CD1? BD, CD1 =NAC, ∠D1AC = α.

ΔD1AC: ∠ACD1 = 180° – 2α, sin(180° – 2α) = sin 2α.

H-?

H = C1C = AC tg β = а tg β.

Відповідь:

3)

ABCDA1B1C1D1 – пряма призма. ABCD – ромб. ∠DAB = α.

A1C = l, ∠A1CA = β. Vпр. – ?

ΔА1СА: ∠A = 90°, ∠C = β, A1C = l → A1A = A1C × sin β = I sin β;

A1A = = I sin β. A1A = H; AC =A1C × cos β = I cos β. AC = I cos β.

ABCD – ромб. SABCD – ? AD – ?

V = A1A × SABCD.

Відповідь:

4)

ABCA1B1C1 – пряма призма.

AA1 = I. ∠AB1B = β, ∠ACB = 90°,

∠ABC = α. V – ? AB – ? CB – ?

ΔAB1B: ∠B1BA = 90°, B1B = I, ∠AB1B = β. AB = l tg β.

ΔΑ BC: ∠C = 90°, ∠ABC = α → CB =AB cos α = l tg β cos α.

Відповідь:

295.

Прямий круговий циліндр. O1A = I, O1O = H, ∠O1AO = φ. V – ?

O1A = l, O1O = Н, ∠O1AO = φ. V – ?

1)

SOCH = πR2 = 27π. V = 27π × 3 = 81π.

Відповідь: 81π см3.

2)

Відповідь:

3)

Відповідь:

296.

Прямий круговий циліндр. V – ?

1) AA1B1B – квадрат. SAA1B1B = AB2 = S,

Відповідь:

2) В циліндр вписана правильна чотирикутна призма AA1D1B1C1CBD.

ACBD – квадрат, AC = CB = BD =AD = a. AA1 = h. V-? V= a2h.

Відповідь: a2h куб. од.

3)

Циліндр вписаний в кулю радіусом її. V – ?

OA = R, O2A = r. г – ?

r = х.

Х – ? V найб. – ? х – ? V′ = 0,

V′ = 0, якщо

V′(х) > 0, якщо і V′(х) < 0, якщо

В т. приймає найбільше значення.

Відповідь:

4)

Прямий круговий циліндр.

Переріз CA1B1D, A1E1 = E1B1, CO = OD, CA1 = DB1, V – ?

A1B1 ? CD. CA1B1D – трапеція, A1B1 ? CD, CA1 = DB1. AKB = α, ∠AOB = α. AB = а. ΔАОВ: OA = OB = R. OE + AB, AE = ЕВ.

∠AOB = α,

ΔOE1E: ∠E = 90°, E1E – ? ∠B = φ.

Відповідь:

297.

Цистерна має форму, циліндра, H = 4,8 м, 2R= 1,4 м

Відповідь: 1,764π куб. од.

298.

R1 = 0,65 см. R2 = 0,65 см + 0,4 см = 1,05 см.

V = πR22 × L – πR21 × L = Πl(R22 – R21) = 2500π(1,052 – 0,652) = 2500π(1,05 – 0,65) х × (1,05 + 0,65) = 2500π × 0,4 × 1,7= 1700π.

М = ρ × V = 11,4 × 1700π (г) = 16 кг.

299.

Знайдемо об’єм дроту. M = ρ × V,

300.

V = πR2 × Η. 15 = π × 0,0752 ×

301.

302.

V – ? V1- ? H = 4,5 м, 2 R = 1,6 м. V = π × 0,82 = 4,5.

V1 – ? H1 = 1,5 м, 2R = 0,8 м. V1 = π × 0,42 ? 1,5.

Відповідь: 12 бочок.

303.

V1 = 1,4 × 0,8; V = 2,4 × 3 × 4,2.

n = 27.

Відповідь: 27.

304.

Припустимо, що V діам = V. Ціна його Ц = kV2. Розділимо цей діамант на 2 частини

але тому вигідніше продавати діамант цілим.

305.

1) S – ? ΔABC: BA = 4 см, BC = 3 см, ∠ ABC = 45°.

Відповідь:

2)

ABCD – паралелограм, AC = 12 см, BD = 10 см, ∠ DOC = 30°.

SABCD = 30 (см2).

Відповідь: 30 см2.

3)

ABCD – трапеція, BC? AD, AB = CD = 10 см, BC = 4 см, AD = 16 см.

CF – ? FD – ?

FD = 4.

Δ CDF: ∠ F = 90°, CD = 10,

Відповідь:

306.

1)

2)

3)

307.

A) S = 1 – x2,

Б)

В)

308.

1)

V – ?

Відповідь: πR2Η.

2)

V – ?

Відповідь:

3)

V-?

Відповідь:

309.

Куля (О, R). Переріз (O1, K1), OO1 = 4 см.

Sперер. = 9π см2 → πR12 = π × 9 → π × 9 → R1 = 3.

О1A = 3, OO1 =4 → ОА = 5, R = OA = 5.

Відповідь:

310.

V – ? R1 = 8 см, R2 = 4 см.

1 см3 = 0,000 001 м3. V= 597 × π × 10 -6 м3.

Mкулі = 597 × 3,7 × 10-6 × 73 × 102 = 597 × 73 × 3,7 × 10-4 ≈ 13,7 (кг).

Відповідь: ≈ 13,7 кг.

311.

Півкулі і циліндр з тим самим радіусом.

H – ? R = 14дм.1л = 1 куб. дм.

π = 3,14.

H ≈ 10,2 дм.

Відповідь: = 10,2 дм.

312.

Vц = πR2H. R1 = R = 2 см,

R × H = 64 → 2 × H = 64 → H = 32 см.

Vц = π × 22 × 32 = 128π см 3.

313.

ΔOBM. OB = 6, BM = 2.

314.

ABCDA1B1C1D1 – похилий паралелепіпед, основа – квадрат.

ABCD – квадрат. AB = а, AA1 = l, ∠A1AF = α,

A1F = H. V – ?

A1F = AA1 × sinα,

H = l × sin α, V = Sосн × H = а2 ×I sin α.

Відповідь: a2l sin α куб. од.

315.

ABCA1B1C1 – похила трикутна призма.

1)

AABC – правильний. AB = 4 см, AA1 = 6 см,

A1F + ABC, ∠ A1AF = 30°. V – ?

H = A1F = 3,

Відповідь:

2)

ABCA1B1C1 – похила трикутна призма.

Основа – трикутник ABC, ∠C = 90°,

CA = CB = α, CC1 = l, BB1 = CC1 = l, ∠CC1A = α,

C1CB = α. Vпр. – ? V = Sосн. × H, H -?

H – ?

B1Q + ABC, H = B1Q. C1M + ABC, C1M = B1Q = Н,

B1K + CB, ∠B1BK = 180° – α.

B1K = B1B × sin(180° – α) = l × sin α,

B1L + CA.

За умовою, CB = CA, паралелограми BCCiB1 i ACC1A1 рівні,

Тому: якщо B1L + CA і B1K + СВ, то B1L = B1K,

AKB1L – рівнобедрений, у нього B1Q – висота, медіана.

За умовою ∠CC1B = ∠C1CA і B1Q + ABC,

Тоді т. Q належить бісектрисі кута ∠ACB,

Звідси CL = CK → B1K = B1L = I sin α.

KB = B1B cos(180°- α) = – l cos α →

→ CK = a – (-l cos α) = a + l cos α,

→

AB1QK: ∠Q = 90°, B1K = l sin α,

Відповідь:

3)

ABCA1B1C1 – похила трикутна призма.

Трикутник ABС – прямокутний, рівнобедрений,

∠ACB = 90°, CA.= CB = α, C1C = A1A = B1B = I, CF + AB,

C1F1 + A1B1, CF = h. Vпр. – ? Vпр. = Sосн. × H, Socн. – ? H – ?

H – ? C1D + ABC1, C1D = H.

318.

Дано прямий круговий конус.

V – ? FA = 6 см, FO + ABC, FO = H.

AO = 3, AO = R = 3.

1)

Відповідь:

2) Rкулі – ? Vкулі = Vконуса

Відповідь:

3)

В конус вписана правильна чотирикутна піраміда

FANBL, V піраміди – ?

ANBL – квадрат, AO = 3, OL = 3,

Soсн = AL2 = 9 × 2 = 18,

Відповідь:

4)

Прямий круговий конус. FA= 6 см, ∠FAO = 60°.

В конус вписано прямий круговий циліндр, OO1 = 3 см.

Vц – ? Vц = πr2, r – ? CO = r, r = C1O1.

За умовою ∠FAO = 60°, ∠AOF = 90°,

FA = 6 → AO = 3,

OO1 = 3. ΔFC1O1 ∞ ΔFAO,

Відповідь:

5)

В косинус вписана куля. (О1, r). Vк – ?

AF = 6 см, AO = 3 см,

Точка Z – точка дотику кулі і конуса.

O1O = r, O1Z = r. r – ? AO = AZ = 3 → FZ = 3.

ZO1 + AF,

Відповідь:

6)

Куля (О1, R1) oписана навколо конуса.

Vк – ? R1 – ? FO1 = R1,

AO = 3, R1 = x.

ΔAO1О: ∠O1OA = 90°;

AO1 = х, AO = 3.

Відповідь:

319.

Дано прямий круговий конус, твірна SA = І, ∠ASB = α.

Переріз ASB – осьовий переріз.

1) Vк – ?

ΔSAO: ∠SOA = 90°, AS = l,

Відповідь:

2) куля (O1, R).

Відповідь:

3)

В конус вписана трикутна піраміда, правильна піраміда SACD.

Vпір – ? a = AC.

AC – ?

Відповідь:

4)

В конус вписана куля (O1, R1). Vкулі -?

Точка K – точка дотику конуса і кулі.

ΔASB – осьовий переріз. OK1 + AS, OK1 = R1

R1 -?

SA = l,

ΔSO1K ∞ ΔSAO. R1 = x,

Відповідь:

5)

Куля (О1, R1) описана навколо конуса. V кулi – ?

SO1 = R1 = x – ?

ΔAO1O: ∠O = 90°,

AO1 = х, x – ?

Відповідь:

320.

Конус.

SA = 5 м, SO + ABC,

H = SO = 3;

V = 50 (м3). M = 100 т. n = 100 : 3 = 33,3 (ходок).

Відповідь: 34 ходки.

321.

Косинус, твірна SA = 0,2 км, ∠SAO = 46°, V – ? M – ?

R =AO=AS × cos 46° = 0,2 cos 46°; R = 0,2 × cos 46° = 0,2 × 0,68,

R = 0,136 (км); H = SO = AS × sin 46° = 0,2 × 0,72 = 0,144, H = 0,144 (км);

V= 2800 м3 × 1000 = 28 × 106 м3. M = 56 × 106 т.

Відповідь: 56 млн. м.

322.

Vцил. = Vкон. = π × 0,052. H = 0,06 × 0,014π.

323.

Циліндр і конус, основа – спільна. Rц = Rк =BO.

HЦ = SO = 4 м. Hц = OO1 = 2,2 м.

V – ? M – ? ρ = 0,03 г/м3.

M = (20,5)2 × 201672 × 0,03 = 2542580 г = 2542,58 кг ≈ 2,5 т.

Відповідь: ≈ 2,5 т.

324.

ΔAΟΗ:

325.

SABCD – правильна чотирикутна піраміда.

AB = BC = CD =AD = 8 см. SA = SB = SC = SD = 9 см.

1) V пір. – ? SOCH = AB2 = 82 = 64;

SO + ABC, SO = H – ?

SO = 7.

Відповідь:

2) V кулі = Vпір., Rкулі – ?

Відповідь:

3)

Переріз A1B1CD1 з центром в точці O1,

A1 = 2.

Відповідь:

326.

SABC – правильна трикутна піраміда SA = SB = SC = b. ∠SCB = α.

1) Vпір. – ?

AB -? AB = BC = AC = а – ? H = SO -? ΔSCE, SE + CB.

В ΔCSB SC = SB, CE = EB.

CE = b cos α, CB = 2b cos α, a = 2b cos α. SE = b sin α.

ΔSOE: ∠O = 90°, SO2 = SE2 – OE2;

Відповідь:

2)

В піраміду вписано прямий круговий конус. Vкoн – ?

Відповідь:

3)

Знайти відношення об’єму вписаного в піраміду прямого кругового конуса до об’єму описаного навколо цієї піраміди прямого кругового конуса.

Відповідь:

4)

Переріз KFM? CSB, KF? CS, FN? SB, KN? CB. VANFK -?

H1 – ?

Відповідь:

327.

Піраміда SABCD, основа – прямокутник ABCD,

AB = 6 см, AB = 8 см, SA = SB = SC = SD = 13 см.

1) V пір. – ?

SO = H, SO + ABC. ABCD – прямокутник.

SD = 13. ΔOSD: ∠O = 90°, OD = 5, SD = 13 → SO = 12, H = 12.

Відповідь: 192 см3.

2) V пp. = V пip. H – ?

H пp. = 12.

Відповідь: 12 см.

3) ABCDA1B1C1D1 – зрізана піраміда A1B1C1 ? АBС,

OO1 = 9 → SO1 = 12 – 9 = 3, SO 1 = 3, SO1: SO = 3 : 12 = 1 : 4.

VABCDA1B1C1D1 = 189 куб. од.

4)

H 1 = H × k, a1 = а × k,

B1 = bk,

Відповідь:

328.

ΔABC – рівносторонній.

1)

Трикутник обертається навколо сторони АС. Утворюється 2 конуса,

У них спільна основа з радіусом R = OB і висотою H = ОС.

V = 2 CM3.

Відповідь: 2 см3.

2)

ΔАВС, АB = ВС = АС = 6 см.

Трикутник обертається навколо лінії l, де l? AB.

Утворюється два конуса,

Однакові, R = OB, H = ОС.

H = 3.

2Vк = 54π,

Утворився циліндр з висотою AB і радіусом основи OB = EB, AB = 6,

Vтіла об. = Vц – 2Vк = 27 × 6π – 54π = 54 × 2π = 108π.

Відповідь: 108π куб. од.

3) ABCD – ромб.

Ромб обертається навколо більшої діагоналі.

Утворилися два конуса, у них спільна основа з радіусом

R = OB і висотою AO = CO = H.

V= 75 см3.

Відповідь: 75 см3.

4)

Трикутник ABC, ∠C = 90°, BC = 6 см, ∠CAB = 30° → AВ = 12.

Трикутник обертається навколо гіпотенузи BA,

Утворюються два конуса, у них спільна основа з радіусом

R = CD і висоти H1 = AD і H1 = ВD.

V тіла обер. = V 1 + V – ?

BC = 6, BD = 3,

CD2 = BD × AD, 27 = 3 × AD, AD = 9.

Відповідь: 108π см3.

5)

Трапеція ABCD, BC? AD, обертається навколо BC,

BC < AD, BC = 6 см, AD = 12 см, BF = 6 см. BF + AD.

Відповідь: 360π.

6)

Рівнобедрений трикутник ABC, AB = BC, AC = 12 см,

∠ABC = 120°, EF – середня лінія, EF? АС.

Трикутник обертається навколо середньої лінії EF,

Утворюються циліндр і 4 конуса, у них радіус основи

R = OB, висота H = EO. OB – ? OE – ?

EO = 3.

Утворився циліндр з висотою OO1 = 6 і радіусом основи

Vтіла об. = 2 × (Vц – Vκ) = 2(18π-3π) = 30π.

Відповідь: 30πсм3.

329.

1) ABCD – прямокутник, AB = 3 см, AD = 2πR = 2R × π = 5π см,

2) OA = см; AKB = 2π × 2 = 4π.

330.

Відповідь: (1200 + 112,5 × π) кв. од.

331.

ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпед.

ABCD – паралелограм, AB = a, BC = b, b > a.

∠BAD = α, AA1 = І.

1) Sб. пов. -?

S б. пов. = 2 × (a + b) × l.

Відповідь: 2 × (a + b) × l.

2) Sп. пов – ?

Sп. пов = 2(а + b) × l + 2 × а × b × sin α.

Відповідь: 2((а + b)l + аb sin α).

3) SAB1C1D -?

AD = b.

Відповідь:

332.

ABCDA1B1C1D1 – правильна чотирикутна призма.

1) A1B = 5 м. Sп. п. – ?

ΔA1CB: ∠B = 90°,

BC = 3. AB = BC = CD = AD = 3; a = AB = 3.

ΔA1AB: ∠A1AB = 90°; A1B = 5, AB = 3 → A1A = 4, H = A1A = 4.

2) Sп. п. = 2Sосн. + 4SABB1A1 = 2 × 32 + 4 × 3 × 4 = 2

Sп. п. = 2 × 9 + 48 = 18 + 48 = 66, Sп. п. =66 (м2).

Відповідь: 66 м2.

3) Sп. п. -?

AB = 3 м. A1B = 5м. Sn. п. =66 м2.

4) Sп. п. -?

SAA1C1C = S,

Відповідь:

333.

ABCA1B1C1 – пряма призма.

1)

ΔABC – правильний.

AB = 12 см, ∠ B1AB = 60° → AB = 6 см,

Sп. п. – ?

Відповідь:

2)

Δ ABC: ∠ C = 90°, BC = 3 см, AC = 4 см → AB = 5 см.

SA1B1B = 10 см 2, 10 = 5 × AA1, H = AA1 = 2 (см). Sп. п. – ?

Відповідь: 57 см2.

334.

S б. = 2 × (13 × 10 + 13 × 37) = 26 × 47 (м2).

Кількість розчину M = 20 × 26 × 47 кг = 24,44 кг.

335.

SABC – правильна трикутна піраміда.

AS = BS = CS = 12 см.

1)

Sп. п. – ? SO =H. ∠ ASO = 30°.

З умови маємо AO = 6,

ΔABC:

OE1 = 3.

Відповідь:

2)

Sп. п. -? SE1 = 6 см, ∠ SE1A = 45°.

Відповідь:

3)

Δ ABC: AB = BC = AC = b. Sп. п. – ?

Відповідь:

4)

∠SAE1 = α, OE = r. Sп. п. – ?

AE1 = BE = 3r.

ΔSAO: ∠O = 90°, ∠SAO = α,

AO = 2r → SO=AO × tg α, SO = 2r tg α.

ΔSOЕ1: ∠O = 90°, OE1 = r,

Відповідь:

5) ΔABC – правильний, AB = BC = AC = a.

Vnip = V. Sп. п. – ?

Sп. п. = Socн. + 3SΔBCS, SЕ1 – ? SO – ?

ΔABC: AB = a,

ΔSOЕ1:

Відповідь:

6) Vпір. = V, ∠ASO = α →

Позначимо AB = a, тоді

336.

SABC – трикутна піраміда.

1)

ΔABC – прямокутний рівнобедрений, ∠ACB = 90°, АВ = 5 см.

Всі бічні ребра SA, SB, SC нахилені до площини основи під кутом 60°,

∠SAO = ∠SBO = SCO = 60° → SO = Н, де т. Н – центр кола, описаного навколо ΔABC, т. О? АВ, AO = ОВ = ОС = R. АВ = 5, АО = 2,5, R = 2,5. Sб. піраміди – ?

ΔABC: ∠C = 90°, АС = ВС,

ΔASO: ∠O = 90°,

AS = 5 → BS = 5.

ΔASB:

ΔASC: SA = SC = 5,

Відповідь:

2)

Піраміда SABCD, ABCD – ромб,

BD = 6 м, AC = 8 м, SO = H, AC BD = 0. SO + ABC. SO = 1 м. Sб. п. – ?

Δ DOC: ∠O = 90°, OC = 4, OD = 3 → DC = 5 = AD. OQ + DC, DC – ?

DO × OC = DC × OQ,

Sб. п. = 26M2.

Відповідь: 26 м2.

337.

CD = 1,8 (за умовою).

ΔOSK:

OS = 1,2 (за умовою). Sб. = 2 × 1,8 ×1,5 = 5,4.

Площа заліза: Sб. +10 % × Sб. = 5,4 + 0,54 = 5,94 ≈ 6 м.

338.

Циліндр прямий круговий. AA1B1B – осьовий переріз.

SAA1B1B =8 см2, АО = R = 2 cм.

1) S б. п. – ? S б. п. = 2πR × H – ?

SAA1B1B = AA1 × AB = H × 2R = 2RH = 8. S б. п. = 8π.

Відповідь: 8π см2.

2) S п. п. – ? Sп. п. = S б. п. + 2Sосн. – ?

Sосн. = πR2 = π × 4 = 4π, S п. п. = 8π + 8π = 16π.

Відповідь: 16π см2.

3)

В циліндр вписана правильна чотирикутна призма з основою FKNL – квадратом. Sп. пр.- ? Н = FF1 – ?

Н = AA1 = FF1 = 2.

Біля даного циліндра описана правильна чотирикутна призма, її основа – квадрат ZMPT. сторона квадрата ZT = 2R = 4, Sосн. = 42 = 16, 2Sосн. = 32.

Sб. пр.= 4 × АА1 × ZT = 4 × 2 × 4 = 32. S п. пр. = 32 + 32 = 64.

Відповідь: 64 см2.

339.

Прямий круговий циліндр. AA1B1B – осьовий переріз,

SAA1B1B = p. Vп = 3.

1) Sп, п, – ?

Відповідь:

2)

Відповідь:

340.

Sматер. = 106 – 102 × π + 0,1 × 108 × π = 107 × π × (10 + 1) = 11π × 107 см 2 =

= 1,1π × 104 M2 = 11 000π м 2.

341.

S = 2πR × H.

∠ AOBC = 2π – 1,23); ACB = 2(π – 1,23)R.

Sб. = (2π – 2,26) RH = 3,82RH м – обсяг роботи.

Кількість краски M = 3,82ρHR кг, де ρ – кг/м2 – кількість краски на 1 м2.

342.

V=πR2 × H =104 см3,

S = πR2 + 2πRH = πR(R + 2Н) = 2091 см2.

Кількість матеріалу: 2091 + 209 = = 2300 см2 = 0,23м2.

343.

Прямий круговий конус.

Sосн.= S. SO + ABC, SO = H. OA = R, ∠ FAO = α.

1) Sб. к. – ?

Sб. к. = πRl, l = FA.

L – ?

Відповідь:

2)

Відповідь:

3)

В конус вписана правильна n-кутна піраміда і описана правильна n-кутна піраміда. Знайти відношення площ бічних поверхонь цих пірамід.

344.

Дано прямий круговий циліндр, АА1В1В – осьовий переріз.

А1В = 16 см. ∠А1ВА = 60°. ОО1 = Н.

1) Sп. п. – ? АВ – ? АА1 = H – ?

Δ A1AB: ∠ А = 90°, АВ = 60°, А1В = 16.

АВ = 8 → В = 4. Sосн. = πR2 = 16π. 2Sосн. = 32π.

Відповідь:

2) Sб. к. – ? Hк. = Hц. Sосн. к. = Sосн. ц. Sб. к. = πRl, l – ?

Відповідь:

345.

1) Sповн. пір. = Sосн. + Sб.

ΔOSD: 2OS2 = SD2, OS2 = 18.

ΔABD: 2a2 = BD2, a = 6. ΔADS – правильний.

S осн. = a2 = 36;

2)

3)

346.

Sповна пірам. = Sосн. + S б.. Sосн. = 144.

S повна пірам. = 144 + 288 = 432 дм2.

1) S б. = 288 дм2.

2) Sкуба = 6а2 = 432 =

3) Sкон = πR2 + πRL = 36π + 72π = 108π дм2.

R = 6, L = SK = 12.

4)

AOSK:

347.

348.

S б. = πRL. ΔSBO.

Sматер. = 34 + 3,4 = 37,4 м2. S1 листа = 0,98 м2.

Кількість листів:

349.

S = π(r2 + L(R + r)). ΔBB1K.

350.

1) OO1 = 4 (з умови), CO1 = 18 → 2πr = 18;

ΔA1O1O:

Площа поверхні кулі

2)

3) ОH = ВH (з умови). ΔОВH:

4) S опис. цил. = 2πR2 + 2πR × 2R = 6πR2.

351.

1) Радіус сфери, вписаної в куб з ребром а, дорівнює

І поверхня сфери

2) Радіус сфери, вписаної в циліндр з радіусом основи R і висотою 2R,

Дорівнює R і поверхня сфери S = 4πR2.

3)

Розглянемо ΔSHE, ОЕ – бісектриса

SH = h,

Властивість бісектриси:

Властивість пропорції

І поверхня сфери

352.

1) Нехай радіус кулі, описаної навколо куба ОС1 = Е,

А ребро куба АВ = ВС = … АА1 = А,

Тоді і із Δ OH1C1:

Радіус кулі, вписаної в куб, дорівнює

І поверхня цієї кулі

S опис. = 4πR2;

2)

Нехай АА1 = АВ = а,

Тоді

Із ΔОH1B1:

Sкулі опис. = 4πR2 = 2π2; Sкулі опис.= 4πr2 = πа2,

353.

AO = OB = 2 см (з умови).

SAA1B1B = AB × AA1 = 4AA1 = 64 см2 → АА1 = 16 см.

Циліндр:

SПов. = 2π × АО2 + 2π × АО × АА1 = 2π × АО(АО +АА1) = 4π × 18 = 72 см2. Півкуля. Sпов. = 2π × АО2 + π × АО2 = 3π × AO2 = 12π см2.

Куб із півкулі:

Нехай ребро куба СЕ = DE = … = СС1 = а,

Тоді з ΔCDE

З ΔОСС1 (OC1 – радіус півкулі, ОС1 = 2).

Звідси а поверхня куба

Sкулі = 6 × а2 = 16см2. Це буде найбільший куб, який можна вирізати із півкулі.

354.

Куб об’ємом V має площу поверхні

V = а3,

Куля об’ємом V має площу поверхні

Тобто Sкуба. >S кулі..

Куб охолоне швидше, ніж куля.

355.

Розглянемо ΔO1MC і ΔO2МС.

2О2 – OC2 = 132 – (21 – O1C) → O1C = 16 і O2C = 5(O1C + O2C = 21).

Тоді AС = 4(AС = O2C – О2А = 5 – 1 = 4) і BС=BO2 – СО2 =13 – 5 = 8.