Паралелепіпеди

src="/image/2/image2057_1.jpg" class=""/>

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, виміри якого АВ = 3 см, ВС = 4 см,

ВВ1 = 5 см. Грань ABCD має найменшу площу. ∠D1BD – кут нахилу діагоналі паралелепіпеда до площини ABCD.

BDB1D1 – квадрат. Отже, ∠DBD1 = 45°, ∠DBB1 = 90°, BD1 – бісектриса прямого кута.

Відповідь: 45°.

752.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед. Його діагональний переріз – квадрат. BD = В1В = с, тоді а2 + Ь2 = с2.

Відповідь: а2 + b2 = с2.

753.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, у якого SABCD= 42 см2; SBB1C1C = 79 см2;

SAA1B1B = 84 см2·

Нехай виміри прямокутного паралелепіпеда АВ = а, ВС = b, ВВ1 = с.

За умовою маємо:

Відповідь: 6 см, 7 см, 12 см.

754.

Нехай дано прямий паралелепіпед, сторони його основи AD = 2,3 м; АВ = 1,1 м; ∠ВАD = 60°; АА1 = 1 м.

ABCD – паралелограм, BD2 = АВ2 + АD2 – 2АВ × АD × cos 60° (за теоремою косинусів).

AA1C1C – діагональний переріз.

ВВ1D1D – діагональний переріз.

Відповідь:

755.

Нехай дано прямий паралелепіпед, всі ребра якого дорівнюють а;

АВ = ВС = DС = АD = АА1 = а. ∠DАВ = 60°. Знайдемо діагоналі основи ABCD.

ΔABD – рівносторонній. АВ = AD = ВD = а.

ΔDD1В – прямокутний, ∠D1DB = 90°;

ΔАСС1 – прямокутний, ∠С1СА = 90°.

AC1 = 2а.

Відповідь:

756.

Нехай дано прямий паралелепіпед, сторони основи якого 6 см і 8 см, а одна з діагоналей основи Бічне ребро АА1 = 5 см,

Знайдемо діагональ АС основи.

AC2 + BD2 = AD2 + DC2 + BC2 + AB2

АС2 + 56 = 72 + 64 + 64; АС2 = 144; АС = 12.

ΔACC1 – прямокутний, ∠ACC1 = 90°;

АС1 = 13 см.

ΔBDD – прямокутний, ∠D1DB = 90°.

BD1= 9 см.

Відповідь: 9 см і 13 см.

757.

Нехай дано прямий паралелепіпед, основою якого є паралелограм зі сторонами АВ= 3 см, AD = 5 см, ∠DAB = 60°, SперерізуAA1C1C = 42 см2 – площа більшого діагонального перерізу. Знайдемо більшу, діагональ основи.

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2АВ × ВС × cos 120° (за теоремою косинусів).

SперерізуAA1C1C = AC × C 1C; 42 = C1C × 7; C1C = 6 см;

Sповне = 2Sосн. + Sбічн.

Sбічн. = Pосн. × АA1 = (3 + 5) × 2 × 6 = 96 (см2).

Відповідь:

758.

Нехай дано прямий паралелепіпед, в основі якого лежить ромб ABCD.

AB = ВС = CD = AD = a; SперерізуAA1C1C = 9 см2;

SперерізуDD1B1B = 12 (см ), Sбічн. парал. = PABCD × CC1,

Де = PABCD периметр ромба, CC 1 – висота паралелепіпеда.

Нехай АС = d1, BD = d2, d1 = Зх; d2 = 4х;

Δ ВОС – прямокутний. BO + ОС;

ВС = 5x; S бічне = P осн. × h = 20x × h; Saa1c1c = АС × C1C = 6x × h;

9 = 6х × h;

Відповідь: 30 см2.

759.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагоналі бічних граней утворюють з площиною основи кути 30° і 45°. Діагональ ВС1 утворює з площиною основи

∠C1 BC = 30°. Діагональ А1В утворює з площиною основи ∠Α1ΒΑ = 45°.

ΔΑ1АВ – прямокутний рівнобедрений.

Нехай А1А = АВ = а. ΔС1СВ – прямокутний, ∠C1BC = 30°.

С1C = а; ΔABD – прямокутний.

BD2 = АВ2 + AD2 = а2 + 3а2 = 4а2; BD = 2а.

Розглянемо ΔDD1В,

∠DBD1 = arcctg2.

Відповідь: arcctg2.

760.

Нехай дано прямий паралелепіпед, у якого сторони основи дорівнюють

АВ = 7 см, ВС = 17 см. Діагональ BD1 утворює з площиною основи ∠D1BD = 30°.

Діагональ А1С утворює з площиною основи кут ∠A1CA = 45°,

ΔA1AC – прямокутний. ∠A1AC = 90°. АС = А1А = a.

ΔDD1В – прямокутний. DD1 = a; BD1 = 2а; BD2 = 4а2 – а2 = 3а2;

За властивістю діагоналей паралелограма маємо: АС2 + DB2 = 2AD2 + 2АВ2;

А2 + 3а2 = 172 + 172 + 72 + 72; 4а2 = 289 × 2 + 49 × 2; 4а2 = 578 + 98; 4а2 = 676;

А2 = 169; а = 13. BD1 =2 × 13=26см;

Відповідь: 26 см і

761.

Нехай рано прямокутний паралелепіпед, діагональ основи якого дорівнює

АС = l і утворює зі стороною основи ∠CAB = α, а з діагоналлю паралелепіпеда АС1 ∠C1AC = β. Sбічн. пар. = Росн. × h, де Росн. = 2АВ + 2АС. h = CC1.

ΔАВС – прямокутний. АВ = l × cos α; ВС = l sin α;

Росн. = 2l cos α + 2l sin α = 2l(sin α + cos α).

ΔACC1 – прямокутний, СС1 = l × tg β. S бічн. = 2l2 tg β(sin α + cos α).

Відповідь: 2l 2 tg β(sin α + cos α).

762.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якого

DB1 = 6 см, DB = 5 см, ВС1 = 4 см.

ΔDBB1 – прямокутний. ∠DBB1 = 90°;

ΔCC1B – прямокутний, ∠BCC1= 90°;

ABDC – прямокутний, DC2 = ВD2 – ВС2 = 25 – 5 = 20;

Відповідь: 10 см2.

763.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, d 1 – діагональ грані A1B1C1D1; d2- діагональ грані ВВ1С1C; d3- діагональ грані АА1В1В; d – діагональ прямокутного паралелепіпеда.

Нехай АВ = а, ВС = b, ВВ1 = с.

D2 = а2 +b2 + с2, звідки d2 = 0,5(d12 + d22 + d32), що й треба було довести.

764.

а) ні; б) ні.

765.

767.

Прямокутний паралелепіпед не можна перетнути площиною так,

Щоб у перерізі утворився прямокутний трикутник.

768.

ABCDA1B1C1D1 – правильна призма, у якої АА1 = 15 см, АВ = 5 см.

ΔΜ1Μ2Μ – прямокутний. М2М = 15; М1М 2 = 10.

Μ1М2 = 152 + 102 = 225 + 100 = 325;

769.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого дорівнює d,

BD1 = d і утворює з площиною основи кути

∠DBD1 = α, а з площиною бічної грані – кут β.

ΔDD1B – прямокутний, ∠D1DB = 90°, DD1 = d × sin α; BD = d × cos α.

ΔD1С1В – прямокутний, ∠D1C1B = 90°, D1C1 = d × sin β. ΔABD – прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: AD2 = BD2- AB2= d2 cos2 α – d2 sin β.

Sбічної поверхні = Pосн × h, де Pосн = 2AB + 2BC, h = CC1;

770.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого BD утворює з бічними гранями кути α і β. ∠C1BD = α, ∠DBA1 = β.

∠BD1B1 = x, кут, який ця діагональ утворює з площиною основи.

Нехай ВВ1 = d.

ΔBC1B1 – прямокутний; B1C1 = d × sin α.

ΔΑ1Β1Β – прямокутний; A1D1 = d × sin β.

ΔA1D1B1 – прямокутний;

ΔD1Β1Β- прямокутний.

771.

Нехай дано прямий паралелепіпед, основою якого є ромб ABCD.

BD1 – діагональ паралелепіпеда, BD1 = l, ∠DBD1 = α – кут між діагоналлю l і площиною основи. ∠D1BC1 = φ – кут між діагоналлю l і площиною бічної грані. ΔDB1B – прямокутний. ∠D1DB = 90°. DD1 = l × sin α; BD = l × cos α.

ΔBD1C1 – прямокутний. ∠BC1D1 = 90°; D1C1 = І × sin φ.

ΔABD – прямокутний; AD2 = BD2 – AB2; AD2 = l cos2 α – l sin2 φ;

Відповідь:

772.

Нехай дано прямий паралелепіпед, з основою ABCD, сторони якого AB = 8 см, ВС = 10 см. Діагональ BD1 = 14 см, діагональ A1C = 16 см, АС і BD – діагоналі основи паралелепіпеда.

За властивістю діагоналей паралелограма:

АС2 + BD2 = 2АВ2 + 2ВС2; АС2 + ВВ2 = 2 × 64 + 2 × 100;

АС2 + ВВ2 – 128 + 200 = 328.

ΔАА1С – прямокутний;

ΔDD1B – прямокутний;

АС12 – BD12 = 256 – 196;

АС2 – BD2 = 60.

АС2 = 194;

194 = BD2= 60; ВD2 = 134;

Sбічн. = PABCD× H, де AA1.

Відповідь:

773.

Нехай дано прямий паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, в якому

DA1 = 15 см, DC1 = 13 см. ВК + AD; В1K + AD;

H2 + BC; BF + DC; B1F + DC;

H1 і h2 – висоти паралелограма ABCD.

Нехай AA1 = х, AD = у, DC = z.

Х2 + у2 = 225 ; х2 + z2 =169 .

ΔΒΒ1F:

ΔΒ1BK:

SABCD = ВK × AD = BF × DC ;

H1× y = h2 × z,

У2 = 225 – х2;

(225 – x2 )(224 – х2) = (468 – х2) (169 – х2);

54900 – 225х2 – 244х2 + х4 = 79092 – 468х2 – 169х2 + х4 – 225х2 – 244х2 +

+ 468х2 + 169х = 79092 – 54900;

168х2 = 24192; х2 = 144; х = 12;

122+ y = 225; у2 =225 -144 = 81; y = 9;

144 + z2 = 169; z2 = 25; z = 5.

S бічн. ABCDA1B1C1D1 = Pосн. × H; H = СС 1 = х = 12 см,

Де Pосн.= 2(z + y) = 2(9 + 5) = 28 (см).

Sбічн. =28 × 12 = 336 (см2).

Відповідь: 336 см2.

774.

Нехай дано прямий паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.

Проведемо переріз AB1C1D. SABCD =12 см2; SAB1C1D = 20 см2;

SABC = AD × AB; AD × AB = 12; SAB1C1D = AD × AB1; AD × АВ1 = 20;

AB1 = 5x, AB = 3x, тоді ВВ1 = 4х, BC = AD.

А)

Б) AD : DC = 2 : 1. SΔA1B1C;

775.

Основою паралелепіпеда є квадрат зі стороною 4 см.

АВ = ВС = CD = AD = 4 см.

Одна з вершин основи В1 рівновіддалена від вершин другої основи.

В1B = B1D = В1C = В1A; АА1 = ВВ1 = С1С = D1D = 3 см.

BD і АС – діагоналі квадрата зі стороною 4 см.

ΔBB1O – прямокутний.

Β1Ο = 1 см;

Відповідь:

776.

Нехай дано паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якого основа – квадрат ABCD.

AB = BC = CD = AD = AA1=BB1= CC1 = DD1 = а.

∠A1AB = ∠A1AD = 60°

AA1 ? BB1 ? DD1 ? CC1.

ABCD – квадрат. BD + АС. О – точка перетину діагоналей квадрата ABCD.

Проведемо OK + А В, A1K + АВ за теоремою про три перпендикуляри.

ΔAA1K – прямокутний, ∠Α,ΑΚ = 60°;

Отже, проекцією точки А1 буде точка О.

A1O + ABCD.

ΔDD1B – рівнобедрений, за умовою OD = ОВ.

DO – медіана; ОС + BD, отже D1O + BD,

D1O – висота; DD1 = BD1 = a.

Відповідь: BD1 = а.

777.

Нехай дано паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 , бічне ребро

І утворює зі сторонами рівні кути: ∠A1AB = ∠A1AD.

Висота А1K + АС; A1K = 2 см;

ABCD – ромб із діагоналями АС = 20 см; BD = 15 см.

Sповн. ABCDA1B1C1D1 = Sбічне + Sосн.

ΔΑΑ1Κ: ΑΚ2+ Α21K2 = Α1Α2;

ΑΚ = 8,

ΔΑΟΒ – прямокутний,

AB2 =AO2 + OB2= 100 + 56,25 = 156,25 ; ΑΒ = 12,5 см.

ΔAFK ~ ΔAOB; FK = 4,8;

Α1F = 5,2 см.

S бічн. = PABCD × A 1F = 4 × 12,5 × 5,2 = 260 (см 2).

S повн. = S6ічн.+2Sоснов. = 260 + 2 × 150 = 560 (см 2).

Відповідь: 560 см 2.

778.

Нехай дано прямий паралелепіпед, в основі якого лежить ромб зі стороною

2 см.

АВ = ВС = DC = AD = 2a;

∠DAB = 30°.

Через сторону основи прямого паралелепіпеда проведено січну площину

ABKN під кутом 60° до площини основи. ∠NFD = 60°.

Відповідь: 4а2.

779.

Нехай дано прямий паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.

Діагональ Β 1Ο утворює з бічним ребром В1В кут ∠ΟΒ1Β = 60°.

В1D і AA1 мимобіжні прямі. Β1D віддалена від AA1 на АО = 3 см.

AО + ВD; AО + площині DВ1В; AO + DB.

DВ1 і АС – мимобіжні прямі. Β1D віддалена від прямої АС

На відстань ОР = 2 см. ОР + АС; OP + Β1Ο.

ΔDΒ1Β – прямокутний, В1В + ВD, ∠DΒ1Β = 60°; ∠Β1DΒ = 30°;

Δ DPO – прямокутний, ∠PDO = 30°;

ΔAOD – прямокутний, AD2 = OD2 + AO2; AD2 = 16 + 9 = 25; AD = 5 см.

ABCD – ромб, BD + AС; BD = 20D = 8 см; AO × 2 = AC = 6 см.

Площа повної поверхні дорівнює:

Sповн. = 2S осн. + S бічн. ABCDA1B1C1D1

ΔΒ1ΒD – прямокутний;

Відповідь:

780.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагональ BD1

Утворює з його ребрами кути α, β, γ.

A1D1 = х; D1C1 = у; DD1 = z; BD1 = d.

Z = d × cos α; у = d × cos γ; x = d × cos β; d2 = x2 + y2 + z2;

D2 = d2 cos2α + d2 cos2β + d2 cos2γ.

Поділимо на d2

1 = cos2α + cos2β + cos2γ, що й треба було довести.

781.

Нехай діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з трьома його ребрами кути α, β, γ. а, β, γ – гострі кути прямокутного трикутника, α + β + γ < 180°.

782.

Нехай кожна грань паралелепіпеда – ромб зі стороною а і кутом 60°.

Діагоналі ромба: BD = АВ = AD = а;

У паралелепіпеда чотири діагоналі: AC1; BD1; DB1; А1С;

Відповідь:

783.

Нехай дано паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 .

О – точка перетину діагоналей паралелепіпеда.

Сфера має центр О – у точці перетину його діагоналей,

Радіус сфери ОK = r; сума квадратів усіх ребер паралелепіпеда σ.

4a2 + 4b2 + 4с2 = σ.

Нехай М – будь-яка точка сфери.

–

Сума квадратів відстаней від будь-якої точки сфери

До всіх вершин паралелепіпеда.