Об’єм кулі та її частин

1338.

А) Нехай ABCDA1В1C1D1 – куб.

Оскільки куля вписана в куб з ребром а, то 2г = а,  Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм кулі  Обєм кулі та її частин

Б) Оскільки діагональ куба дорівнює двом радіусам кулі, то знайдемо діагональ

З ΔB1BD:  Обєм кулі та її частин

Отже, радіус, кулі  Обєм кулі та її частин

Об’єм кулі V дорівнює:  Обєм кулі та її частин

Відповідь: а)  Обєм кулі та її частин б)  Обєм кулі та її частин

1339.

Нехай SA – твірна конуса. ∠SAO = α.

З ΔSAO: AO = SA × cos α = l cos α.

 Обєм кулі та її частин class=""/>(оскільки AO1 – бісектриса кута KAO).,

З ΔAO1O:  Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм кулі V дорівнює:  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1340.

Нехай г – радіус кулі, вписаної в циліндр, тоді H – висота циліндра, H = 2г.

Отже, об’єм кулі  Обєм кулі та її частин об’єм циліндра V2 = πr2H = πr2× 2г = 2πr2.

 Обєм кулі та її частин Твердження доведено.

1341.

 Обєм кулі та її частин

Нехай ОО1 = KL = 2г. Об’єм циліндра V1 = πr2× 2г

= 2πг3.

Об’єм шара  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Отже, при виготовленні кулі сточено  Обєм кулі та її частинМатеріалу.

Відповідь: 33,3 %.

1342.

 Обєм кулі та її частин

Нехай ABCD – квадрат – осьовий переріз циліндра,

AB = BC = CD = DА = 10 см. Радіус циліндра  Обєм кулі та її частин

Vциліндра = π ×AE2× AB = π × 25 × 10 = 250π (см3).

Об’єм кулі  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин 750π = 4πг2,

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Відповідь: Обєм кулі та її частин

1343.

V1- об’єм свинцевої кулі,  Обєм кулі та її частин

V – об’єм циліндричного знака V2 = π × г2 × 3 = 3πг2.

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1344.

 Обєм кулі та її частин

Нехай SAB – осьовий переріз конуса, який вписано в шар з центом О,

AS = SB = l, ∠SAB = α.

З ΔSAB за теоремою синусів маємо:  Обєм кулі та її частин

Або  Обєм кулі та її частин звідси  Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм кулі  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1345.

 Обєм кулі та її частин

Куля розтинається гранями двогранного кута на дві частини: одна – четверта частина кулі, друга – три чверті кулі.

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин πг3.

1346.

 Обєм кулі та її частин

Нехай AO + OB, OB + ОС, ОС + AO.

Об’єм частини кулі, обмеженої площинами АОB, BOC, COA

Дорівнює  Обєм кулі та її частин об’єму кулі, отже,  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1347.

 Обєм кулі та її частин

Нехай АВ – діаметр кулі,  Обєм кулі та її частин Об’єм кулі  Обєм кулі та її частин

Площинами куля розбилася на два кульові сегменти і кульовий пояс.

Знайдемо V1 – об’єм сегмента:

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Об’єм кульового поясу:

 Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

1348.

 Обєм кулі та її частин

Нехай AO1 : O1B = 1 : 3, OA = OB = 12 см, AO1 = х; O1B = 3х, тоді х + 3х = 24;

4х = 24; х = 6. Отже, AO1 = 6 см, O1B = 18 см.

V1 – об’єм першого кульового сегмента;

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Відповідь: 360π см3; 1944π см3.

1349.

 Обєм кулі та її частин

Нехай OA = 17 см, S1 = 225π см 2, S2 = 264π см 2.

S1 = π × Ο,Α2; 225π = π × Ο1Α2;  Обєм кулі та її частин O1A = 15 (см).

S2 = π × O2B2; 264π = π × O2Β2;  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

3 ΔO1AO:  Обєм кулі та її частин

З ΔOBO2:  Обєм кулі та її частин

Знайдемо висоту першого сегмента: CO1 = CO – O1O = 17 – 8 = 9 (см)

І другого DO2 = OD – OO2= 17 – 5 = 12 (см).

Об’єм першого сегмента:

 Обєм кулі та її частин

Об’єм другого сегмента:

 Обєм кулі та її частин

Об’єм кулі.  Обєм кулі та її частин

Об’єм кульового шару:

 Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1350.

 Обєм кулі та її частин

При обертанні півкруга, розбитого на три частики, навколо діаметра утворяться два однакові кульові сектори і кульовий пояс, з якого витягнуто два конуси.

Об’єм кульового сектора  Обєм кулі та її частин

З ΔCOK: ∠COK = 60°;  Обєм кулі та її частин

KD = OD – OK = 9 – 4,5 = 4,5 (см).

Отже,  Обєм кулі та її частин

Об’єм кулі:  Обєм кулі та її частин

Тоді об’єм кульового поясу без двох конусів:

V2 = V – 2V1 = 972 – 2 × 243 = 486 (см3).

Відповідь: 243 см3; 486 см3.

1351.

Маса тіла обчислюється за формулою: m = р × V, де ρ- густина свинцю, V – об’єм тіла.

Знайдемо об’єм шматка свинцю: 1 = 11,4 × V, звідси  Обєм кулі та її частин

Знайдемо об’єм кульки:  Обєм кулі та її частин

Отже, зі шматка свинцю масою 1 кг відлили  Обєм кулі та її частин

Відповідь: ≈ 778 кульок.

1352.

Нехай радіус першого кавуна г, а другого – 2г.

Тоді об’єм першого кавуна  Обєм кулі та її частинДругого –  Обєм кулі та її частин

Густина кавунів однакова і дорівнює ρ,

Тоді  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Отже, один кавун у 8 разів важчий за другий.

Відповідь: у 8 разів.

1353.

Знайдемо об’єм півкулі:  Обєм кулі та її частин

Знайдемо об’єм конуса:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм півкулі у 2 рази більший від об’єму конуса,

Результат експерименту відповідає теорії.

Відповідь: так.

1354.

Знайдемо об’єм чавунної кулі:  Обєм кулі та її частин

Нехай г – внутрішній діаметр кулі, тоді  Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм порожнистої кулі

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

4,71 ≈ 0,0073 × 4π(125 – г3);

0,092г3 ≈ 6,751; г3 ≈ 73,38; г ≈ 4,2.

Відповідь: ≈ 4,2.

1355.

Об’єм космічного апарата  Обєм кулі та її частин

Для того, щоб космічний апарат не тонув у воді, треба щоб його маса була менша ніж 4,18 т.

Відповідь: менша ніж 4,18 т.

1356.

Знайдемо масу краплі мильного розчину діаметром 6 мм:  Обєм кулі та її частин

Знайдемо зовнішній об’єм видутої кулі:

 Обєм кулі та її частин

Знайдемо внутрішній об’єм видутої кулі:  Обєм кулі та її частин

Тоді маса видутої кулі буде

 Обєм кулі та її частин

Оскільки маса кулі не змінилася, то маємо:

 Обєм кулі та її частин

27 ≈ 3 375 000 – г3 ≈ 3 374 974; г ≈ 149,9999.

Отже, товщина плівки бульки: 150,0000 – 149,9999 ≈ 0,0001 (нм).

Відповідь: 0,0001 нм.

1357.

Оскільки густина води 1 кг/дм3, то для того, щоб куля занурилася в воду тільки на половину, вона мати густину матеріалу 0,5 кг/дм3.

Відповідь: 0,5 кг/дм3.

1358.

 Обєм кулі та її частин

Нехай R – радіус кулі, OO1 = Н. Тоді висота одного сегмента R – Н,

Другого R + Н. Отже, маємо:

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Додамо до першого рівняння друге, отримаємо: 4R3 = 2916; R3 = 729; г = 9, звідси H = 3.

Отже, O1B = R + H = 9 + 3 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

1359.

 Обєм кулі та її частин

Нехай SABC – правильний тетраедр, в який вписано кулю з центром в точці О. SO1+ (ABC).

З ΔАВС:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

З ΔSO1B:  Обєм кулі та її частин

З ΔASD:  Обєм кулі та її частин

Враховуючи, що Обєм кулі та її частин

Отримаємо:  Обєм кулі та її частин

Оскільки ΔSDO – ΔSOK, то

 Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм кулі Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1360.

 Обєм кулі та її частин

Нехай MABCDN – октаедр, KO = OL = г кулі.  Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм кулі  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1361.

 Обєм кулі та її частин

Нехай SABCD – задана піраміда, AB = BC = CD = DA = a,

Vsabcd = V, ∠SAO = α.

Позначимо радіус кулі г, висоту SO = Н.

 Обєм кулі та її частин

З ΔABD:  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

З ΔBSO:  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

SK = 2r; SO + OK = 2г; OK = 2г = H.

ΔSCK – прямокутний. CO + SK,

За властивістю перпендикуляра маємо: CO2 = SO × OK.

 Обєм кулі та її частин

Отримаємо систему:  Обєм кулі та її частин

Піднесемо перше рівняння до квадрата і підставимо в друге.

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

H2 ctg2α = H(2 г – H); H ctg2 α = 2г – H; 2 г = H ctg2α + H;

 Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм V кулі дорівнює:

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1362.

 Обєм кулі та її частин

Нехай SABC – задана піраміда, ∠CSA = α

SO = H, AB = BC = CA = а, SO1 = O1A = R.

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

З ΔSOK: SK2 = SO2 + KO2,  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

З ΔAO1O:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

 Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1363.

 Обєм кулі та її частин

Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1- правильна зрізана піраміда.

A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1 = 3 см,

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4 см,

O1O2 = = 7 см, O1O = х, OA = R = ОВ.

Оскільки в основах зрізаної піраміди лежать правильні шестикутники,

То О, А = 3 см, O2B = 4 см.

З ΔO1AO: OA2 = O1O2 + O1A2, г2 = x2 + 9.

З ΔO2ΒΟ: OB2 = OO22 + O2B2; г2 = (7 – x)2 + 16.

Отримуємо систему:

 Обєм кулі та її частин x2 + 9 = 49 -14х + x2 + 16; 14x = 56; х = 4. Отже, O1O = 4 (см),

 Обєм кулі та її частин

Об’єм кулі, описаної навколо правильної шестикутної піраміди,

 Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1364.

 Обєм кулі та її частин

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда,

 Обєм кулі та її частин OF + SB,  Обєм кулі та її частин SO = R.

З ΔSOF:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

ΔSOF – ΔSO1В (∠O1SB – спільний).  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин R2- BO21 = 12R2 – 36;  Обєм кулі та її частин

З ΔBKO1:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

З ΔОВК: OK2 = OB2 + BK2;  Обєм кулі та її частин

R4= 6R2 – 18 + 5R2; R4 – 11R2 + 18 – 0; R2 = 2,

 Обєм кулі та її частин R2 = 9, R = 3.

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

 Обєм кулі та її частин або  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин або 36π м3.

1365.

 Обєм кулі та її частин

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано кулю з центром в точці O1. SSCD = = SABCD, AB = BC = CD = DA = а.

ASCD – рівнобедрений, SL + DC.

 Обєм кулі та її частин SABD =AD × DC = а2;  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

З ΔSOL:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

(як дотичні, проведені з однієї точки до кулі);

 Обєм кулі та її частин

ΔSOL – ΔSO1P. З подібності трикутників маємо:

 Обєм кулі та її частин звідси  Обєм кулі та її частин

Об’єм кулі V1 дорівнює  Обєм кулі та її частин

Об’єм піраміди V2дорівнює:  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1366.

 Обєм кулі та її частин

Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса, в який вписано кулю з центром в точці О, AK = у, DL = x. AK = AM = у (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). DL = DM = х (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). ΔAOD – прямокутний, OM + AD. За властивістю висоти, проведеної з прямого кута MO2 = AM × MD = y × х. DN = DL = NL = х – у.

З ΔADN:  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

За умовою  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

(1 + cos φ)2+ 1 – cos2φ + (1 – cos2φ) = 2m(1 – cos2φ);

1 + 2 cos φ + cos2 φ + 1 – cos2φ + 1 – 2 cos φ + cos2φ = 2m(1 – cos2φ);

3 + cos2φ = 2m – 2m cos2φ; cos2φ(1 + 2m) = 2m -3.

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1367.

 Обєм кулі та її частин

Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса., в який вписано кулю радіуса R, BK = х, AL = у. BK = х, AL = у.

Нехай V1- об’єм зрізаного конуса, V2 – об’єм кулі.

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

З ΔABD:  Обєм кулі та її частин

Нехай  Обєм кулі та її частин тоді  Обєм кулі та її частин 1 – t = = (1 + t) × cos φ;

1 – cos φ = (1 + cos φ) × t;  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

1 – 2 cos φ + cos2φ + 1 – cos2φ + 1 + 2 cos φ + cos2φ = 2k – 2k cos2φ;

3 + cos2φ = 2k – 2k cos2φ; cos2φ(1 + 2k) = 2k – 3;

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Отже,  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

Відповідь:

 Обєм кулі та її частин

1368.

Нехай H – висота частини кулі, яка виступає над водою,

Тоді  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин Обєм кулі та її частин

90πH2 – 5πH3 = 1296р; 5H2 – 90H2 + 1296 = 0,

Розв’язавши це рівняння, отримаємо H ≈ 4дм.

Відповідь: ≈ 4 дм.

1369.

Нехай ребро куба дорівнює а. Якщо шар дотикається двох прямих, що перетинаються, то центр його лежить на площині, яка перпендикулярна до площини цих прямих і проходить через їх бісектрису. Звідси зрозуміло, що центр кулі лежить в центрі куба.

Цей куб виступає з куба шістьома сегментами, кола основи яких вписані в квадрати граней куба.

Звідси маємо радіус кулі  Обєм кулі та її частин висота сегмента  Обєм кулі та її частин радіус

Кола основи сегмента  Обєм кулі та її частинОтже, об’єм сегменту:

 Обєм кулі та її частин

Отже, об’єм спільний кулі і куба, дорівнює:

 Обєм кулі та її частин

Об’єм куба  Обєм кулі та її частин Обєм кулі та її частин

Відповідь:  Обєм кулі та її частин

1370.

 Обєм кулі та її частин Обєм кулі та її частин

Нехай ABCDA1B1C1D1- куб. Розглянемо переріз куба, який проходить через точки O1, E, F. Нехай сторона куба дорівнює а, радіус кулі R, тоді O1O2 = а,

ОО2 = а – R.

3 ΔOFO: OF2 = OO2 + O2F2;  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

4R2 = 4а2 – 8аR + 4R2 + а2; 8аR = 5а2;

 Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин  Обєм кулі та її частин

 Обєм кулі та її частин

Відповідь: 384 : 125π.




Об’єм кулі та її частин