Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

ФІЗИКА

Частина 1 МЕХАНІКА

Розділ 2 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

2.16. Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Розглядаючи рух твердого тіла, розрізняють поступальний і обертальний рухи. Поступальним рухом твердого тіла називають такий його рух, при якому будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається паралельною самій собі.

Обертальним рухом твердого тіла називають такий його рух, при якому всі точки, з яких складається тіло, описують кола, що лежать у паралельних площинах, а геометричне місце центрів цих кіл утворює пряму,

яку називають віссю обертання.

Розглянемо поступальний і обертальний рухи абсолютно твердого тіла.

Поступальний рух абсолютно твердого тіла можна описати рухом окремої його точки. Як зазначалося в підрозділі 1.1, абсолютно твердим називають тіло, яке не змінює своєї форми при будь-яких діях. Інакше кажучи, відстань між будь-якими точками абсолютно твердого тіла залишиться сталою за всіх умов. Звичайно, таких тіл у природі не існує. Це поняття є зручною ідеалізацією, справедливою лише тоді,

коли можна нехтувати деформацією тіл.

Якщо абсолютно тверде тіло переміщується поступально зі швидкістю υ, то й будь-яка його точка матиме таку саму швидкість. Умовно поділимо тіло А на n частин і знайдемо його кінетичну енергію як суму кінетичних енергій його частин:

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Де М – маса тіла; mі – маса його і-ї частини.

Отже, кінетичну енергію твердого тіла, яке поступально рухається, можна визначити з формули, аналогічної формулі для кінетичної енергії матеріальної точки.

Якщо тверде тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю ω, то лінійна швидкість окремих точок збільшуватиметься зі збільшенням відстані від осі обертання відповідно до формули (1.21). Підставивши (1.21) в (2.50), дістанемо

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла– момент інерції тіла.

Момент інерції будь-якого тіла є фізичною величиною, яка враховує масу і її просторове розміщення відносно осі обертання. Моментом інерції матеріальної точки називають добуток маси точки на квадрат відстані її від осі обертання:

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Для довільного тіла

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Скориставшись формулою (2.53), можна визначити моменти інерції різних тіл. Наприклад, момент інерції тонкого кільця відносно геометричної осі І = mr2, диска І = mr2/2, кулі І = =2mr2/5 тощо.

Розглянемо тіло, яке обертається з кутовою швидкістю ω (рис. 2.9) і під дією сили F, що прикладена до точки А на відстані r від осі обертання. Через проміжок часу dt тіло з точки А переміститься в точку А’, а радіус-вектор точки переміститься на кут dφ, який зв’язаний з кутовою швидкістю (dω = ωdt). При цьому точка А описуватиме дугу ds(ds = rdφ).

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Рис. 2.9

Виходячи із загального визначення роботи (2.38), для цього випадку запишемо

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії обертання  Поступальний і обертальний рухи твердого тілаТому можна записати  Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Після перетворень дістанемо

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Де М = Fr – момент сили. Врахувавши це, із (2.55) дістанемо

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Якщо I = const, і

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Якщо І ≠ const.

Добуток моменту інерції на кутову швидкість  Поступальний і обертальний рухи твердого тіла називають моментом імпульсу. Вираз (2.56) називають основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Запишемо його так:

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Якщо на систему не діють зовнішні сили або рівнодійна їх не створює моменту сил відносно осі обертання, то М = 0 і вираз (2.57) набере такого вигляду:

 Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Отже, якщо на систему не діють моменти зовнішніх сил, то момент імпульсу її залишається сталим. Це закон збереження моменту імпульсу.

Наведемо приклади, що ілюструють закон збереження моменту імпульсу. Кулька утримується на нитці, що намотується на палку. Із зменшенням довжини нитки зменшується момент інерції кульки і, отже, збільшується кутова швидкість. Гімнаст під час стрибка через голову притискує до тулуба руки й ноги. Цим він зменшує свій момент інерції, а оскільки добуток Iω має залишатися незмінним, то кутова швидкість обертання ω збільшується, і за короткий проміжок часу, поки гімнаст перебуває в повітрі, він робить повний оберт, а то й кілька.




Поступальний і обертальний рухи твердого тіла