Множення одночлена на многочлен

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 9. Множення одночлена на многочлен

Помножимо одночлен 5х на многочлен 3х – 7, використовуючи розподільну властивість множення:

Отже, добутком одночлена 5х і многочлена 3х – 7 с многочлен 15х2 – 35х, який одержали, помноживши одночлен на кожний член многочлена і додавши знайдені результати. Маємо правило множення одночлена на многочлен:

Добуток будь-якого одночлена на будь-який многочлен завжди можна подати у вигляді многочлена.

Приклад 1. Виконати множення: -3аb(5а2 – 2ab + b2).

Р о з в ‘ я з а

н н я.

-3аb(5а2 – 2ab + b2) = -3аb ∙ 5а2 – 3аb ∙ (-2аb) -3аb ∙ b2 = -15а3b + 6а2b2 – 3аb3.

Записати це множення можна коротше, пропустивши проміжні результати:

3ab(5a2 – 2аb + b2) = -15а3b + 6а 2b2 – 3аb3.

Приклад 2. Спростити вираз:

5m(m2 – 2) – 2(m3 – 5b).

Р о з в ‘я з а н н я.

5m(m2 – 2) – 2(m3 – 5m) = 5M310M2M3 + 10M = 3m3.

Приклад 3. Розв’язати рівняння

2х – – 3х + = х -.

Р о з в ‘ я з а н н я. Помножимо обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник

дробів, тобто на 12:

12 (2х – – 3х + ) = 12 ∙ х -).

Маємо:

– =

4(2х – 1) – 3(3х + 2) = х – 14;

8х – 4 – 9х – 6 = х – 14;

8х – 9х – х = -14 + 4 + 6;

-2х = -4; х-2.

Відповідь: 2.

Сформулюйте правило множення одночлена на многочлен.

(Усно) Виконайте множення:

1) m(а – b);

2) р(4 + а);

3) а(b + с – 4);

4) – а(b – с + 2).

Виконайте множення:

1) а(b – 2);

2) m(а + с);

3) р(а – b – 3);

4) – b(а – с + 3).

Виконайте множення одночлена на многочлен:

1) 7а2 (3 – а);

2) -5х2(х3 + 4х);

3) -3с3(с – 2с2);

4) 2а4(а5 – а3 – 1);

5) (3х2 – 5х – 3) ∙ 2х;

6) (с3+ с – 4) ∙ (-3с).

Перетворіть добуток на многочлен:

1) 4ху(х2 – 2ху – у2);

2) – a2b(ab2 – b2 + а2);

3) (2mn – 3mn – 5n2) ∙ (-4m2);

4) ( 2х2y + 3хy – х2) ∙ ху2;

5) (2,8а2b – 3,7а3b – 0,8b) ∙ 10аb2;

6) -1,8а2b6(5а2b – 1,5а – 2b3).

Подайте у вигляді многочлена:

1) 4а (а2 – 2а + 3);

2) -3b2(4b3 – 2b2 + 3b – 8);

3) (3х2 – 4х + 12) ∙ (-0,1х3);

4) (р2 – 9р3 + 7р -1) – 3р4;

5) 7аb(2а2b – 3аb2 – 3а3);

6) -6m2n (m2n – 3mn2 – 4n3);

7) (9а2b – 8аb3 – а2b2) ∙ (-3а2b3);

8) (p2q3 – 2pq4 + 3р3) ∙ 5p3q2.

Виконайте множення:

1) a2b(1,4a2 – 2,1b3);

2) – x2y3(1,2y5 – xy);

3) (1 mn2 – 1 m2) ∙ (- m2n);

4) (1 m – n) ∙ 2 m2n7).

Виконайте множення.

1) m2n (2,4mn – 2,8m2);

2) – ab2(1,5ab – b2);

3) (1 x2y – xy4) ∙ xy3);

4) (1,5 – b) ∙ (- a2b5).

Подайте у вигляді многочлена:

1) 5(х – 3) – 2(х – 3);

2) 5(7a – 1) – 7(5а + 3);

3) 2b(b – 3) – 5b(b + 7);

4) 7у2(3у – 2) + 4у2(у + 5).

Спростіть вираз:

1) 5(3 – 2a) + 7(3a – 1);

2) 3(2x – 8) – 3(2x – 5);

3) 3m(m – 2) – 5m(7 – m);

4) 2a2(3a – 5) + 4a2 (a + 3).

Перетворіть вираз на многочлен:

1) 5m(m – n) + 3n(n – m);

2) 2а (2b – 3а) – 3а(5b -7а);

3) a(3a2 – 2b) – b(5а2 – 2а);

4) 0,2mn(m2 – n2 + 3) – 0,5m(mn2 – n3).

Виконайте дії:

1) 3a(a – b) + 5b(а + b);

2) 3у(х – у) + у(2у – 3х);

3) р(р2 – 2а) – а(а2 – 2р);

4) 3ху(х2 – у2 + 7) – 5ху(у2 + х2).

Розв’яжіть рівняння:

1) 6 + 2(5х + 4) = 24;

2) 3(5х – 1) = 4(4х – 8);

3) 7 – 4(у – 1) = (3у – 2) ∙ (-2);

4) 3(у – 2) – 5(у + 7) = -7(у – 1).

Розв’яжіть рівняння:

1) 5(2х – 1) = 3(4х + 5);

2) 9 – 5(у + 2) – (7у – 5) ∙ (-3).

Знайдіть корінь рівняння:

1) х(х – 3) – 9 = 12 + х2;

2) 3х – 2х2 = 2х(5 – х) + 14.

Знайдіть корінь рівняння:

1) 7 – х(х – 2) = 5 – х2;

2) 3х(х – 5) = 3х2 – 5х + 20.

Запишіть замість зірочки такий одночлен, щоб виконувалася рівність:

1) (а + b) ∙ * = am + bm;

2) * ∙ (х – у) = – nх + nу;

3) * ∙ (а – b + с) = ах2 – bх2 + cх2;

4) * ∙ (с – n + р) = – abc + abn – аbр;

5) * ∙ (х2 – ху) = x2y2 – xy3;

6) (р – 1) ∙ * =p2q3 – рq2.

Доведіть, що при будь-якому значенні а вираз а(3а + 1) – а2(а + 2) + (а3 – а2) – (а + 1) набуває одного й того самого значення. Доведіть, що значення виразу x(5×2 – х + 2) – (5х – 2 + 4х3) – x(x2 – х – 3) не залежить від значення змінної. Доведіть, що вираз тотожно дорівнює нулю:

1) а(b – с) + b(с – а) + с(а – b);

2) а(b + с – bc) – b(c + а – ас) + с(b – а).

Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) -7+ аbа – 3а2b6 + а3b7);

2) (3х3 + 5х2 – 2а – 3а2)хау;

3) -4рm3(m4 – 2р3m + 7р6m7 + 11p7m3);

4) (-a2b9 + ab7 – a3b6) (-12a3b7).

Доведіть, що при будь-якому значенні змінної а вираз 2а2(а – 5) – а(- 6а + 2а2 + 3а3) – 4 набуває від’ємних значень. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної m вираз 5(m2 – 3m + 1) – 3m(m – 5) набуває лише додатних значень. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 4а – 2(5а – 1) + (8а – 2), якщо а = -3,5;

2) 10(2 – 3х) + 12х – 9(х + 1), якщо х = -;

3) а(3а – 4b) – b(3b – 4а), якщо а = -5, b = 5;

4) 3ху(5х2 – у2) – 5ху(3х2 – у2) якщо х = у = -2.

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 7а(2а – 0,1) – 0,1а(10а – 7), якщо а = ;

2) 4х(2х – 5у) – 2у(4у – 10х), якщо х = -15, у = 15.

Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) 3а(5а2 – 3аb + ab3 – b2) ∙ b;

2) – ху ∙ (х2у – 2х2у2 + 3ху3 + х3) ∙ х2.

Розв’яжіть рівняння:

1) + = 1;

2) – = -2;

3) + = 2х;

4) – =

Розв’яжіть рівняння:

1) – = 0;

2) – = 1

3) + = х;

4) = –

При якому значенні змінної:

1) значення виразу 2(3у + 1) у 4 рази більше за значення виразу 3у -2;

2) добуток виразів 3х і 2х + 1 дорівнює сумі виразів х(4х – 1) і 2(х2 – 3)?

Для виготовлення одного тістечка потрібно на 4 г цукру більше, ніж для виготовлення одного пиріжка або одного пончика. За день у кондитерському цеху було виготовлено 80 тістечок, 50 пончиків і 50 пиріжків. При цьому на всі тістечка пішло на 80 г цукру більше, ніж на всіпончики і пиріжки разом. Скільки грамів цукру йде на виготовлення одного тістечка? За 8 олівців, 4 ручки і блокнот заплатили 26 грн 50 коп. Олівець на 1 грн 75 коп. дешевший за ручку і на 3 грн 25 коп. дешевший за блокнот. Скільки коштують окремо олівець, ручка і блокнот? Човен плив 3,5 год за течією річки і 2,5 год проти течії. Відстань, яку він проплив за течією річки, на 30 км більша за відстань, яку він проплив проти течії. Знайдіть швидкість човна, якщо швидкість течії 2 км/год. Одна котушка бавовняних ниток коштує 2 грн 70 коп., а льняних – 3 грн 25 коп. Бабуся для плетіння скатертини придбала бавовняних ниток на 6 котушок більше, ніж льняних, витративши на всю покупку 87 грн 60 коп. Скільки котушок бавовняних і скільки котушок льняних ниток придбала бабуся? Якими одночленами треба замінити зірочки, щоб одержати тотожність:

1) 5ах2 ∙ (* + *) = 5ах3 + 35ах2;

2) (9а2 + *) ∙ 3а = * + 18а3;

3) (* – 4mс2) ∙ * = 3m3с2 – 12m2c4;

4) (* – *) ∙ х2у3 = 5x2y3 – 7x2y4?

Які одночлени треба вписати в клітинки, щоб одержати тотожність: Спростіть вираз (n – натуральне число):

1) xn+3(xn+4 – х) – х2n + 7;

2) yn(yn+2 – yn – y2) – у2(у2n – yn);

3) zn(z2 – 1) – z2(zn + 2) – 2(zn – z2).

Вправи для повторення

У яких координатних чвертях розташовуються точки А(-5; -7), В(4; -8), С(1; 17), D(-9; 8)? Спростіть:

1)(-3a2b3)2 ∙( ab2)3;

2)(0,1mn7)2 ∙ (-10m2n3)3.

Використовуючи властивості степенів, знайдіть значения виразу:

1) ;

2)

Цікаві задачі для учнів неледачих

Відомо, що при деяких натуральних значеннях а і b значення виразу 6а + b кратне числу 7. Доведіть, що при тих самих значеннях а і bзначення виразу 6b + а також кратне числу 7.




Множення одночлена на многочлен