Числові і буквені вирази. Формули

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 2. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

9. Числові і буквені вирази. Формули

Як знайти периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 3 см і 5 см (рис. 70)?

Рис. 70

Відповідаючи на це запитання, ви, скоріше за все, зробите такий запис: 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5.

Цей запис являє собою числовий вираз.

Наведемо ще кілька прикладів числових виразів:

12 : 4 – 1, (5 + 17) + 11, (19 – 7) ∙ 3.

Ці вирази складені з чисел, знаків арифметичних дій і дужок. Зауважимо, що не будь-який

запис, складений з чисел, знаків арифметичних дій і дужок, є числовим виразом. Наприклад, запис +) + 3 – (2 – це набір символів, який не мас сенсу.

Завершивши розв’язання задачі про периметр прямокутника, отримаємо відповідь 16 см. У таких випадках говорять, що число 16 є значенням виразу 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5.

Л чому дорівнює периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 3 см і а см? Відповіддю буде вираз 2 ∙ 3 +2 ∙ а.

Запис 2 ∙ 3 + 2 ∙ а являє собою буквений вираз.

Наведемо ще кілька прикладів буквених виразів: (а + b) + 11, 5 + 3 ∙ х, n : 2 + k ∙ 5. Ці вирази складені з чисел, букв, знаків арифметичних дій і дужок.

Як

правило, у буквених виразах знак множення пишуть тільки між числами. У решті випадків його опускають. Наприклад, замість

5 ∙ у, m ∙ n, 2 ∙ (а + b) відповідно пишуть 5у, mn, 2 (а + b).

Нехай сторони прямокутника дорівнюють а см і b cм. У цьому разі буквений вираз для знаходження його периметра матиме такий вигляд: 2а + 2b.

Підставимо в цей вираз замість а і b відповідно числа 3 і 5. Отримаємо числовий вираз 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5, який ми вже записували для знаходження периметра прямокутника на початку цього пункту. Якщо ж замість а і b підставити, наприклад, числа 4 і 9, то отримаємо числовий вираз для знаходження периметра іншого прямокутника – із сторонами 4 см і 9 см. Узагалі, з одного буквеного виразу можна отримати безліч числових виразів.

Позначимо периметр прямокутника буквою Р. Тоді рівність

Р = 2а + 2b

Можна використати для знаходження периметра будь-якого прямокутника. Такі рівності називають формулами.

Наприклад, якщо сторона квадрата дорівнює а, то його периметр обчислюють за формулою

Р = 4а

Рівність

S = ⱱt,

Де s – пройдений шлях, ⱱ – швидкість руху, a t – час, за який пройдено шлях s, називають формулою шляху.

ПРИКЛАД 1 Зібрані у своєму саду яблука Барвінок розклав у п’ять ящиків по а кг і в b ящиків по 20 кг. Скільки кілограмів яблук зібрав Барвінок? Обчисліть значення отриманого виразу при а = 18, b = 9.

Розв’язання. У п’яти ящиках міститься 5а кг яблук, а в b ящиках – 20b кг. Разом Барвінок зібрав (5а + 20b) кг яблук.

Якщо а = 18, b = 9, то отримуємо: 5 ∙ 18 + 20 ∙ 9 = 90 + 180 = 270 (кг).

Відповідь: (5а + 206) кг, 270 кг.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть, користуючись формулою шляху, швидкість, з якою поїзд пройшов 324 км за 6 год.

Розв’язання. Оскільки s = ⱱt, то ⱱ = s : t. Тоді можна записати:

ⱱ = 324 : 6 = 54 (км/год).

Відповідь: 54 км/год.

ПРИКЛАД 3 Петрик купив т булочок по 4 грн і торт за 30 грн. Складіть формулу для обчислення вартості покупки та обчисліть цю вартість, якщо: 1) m = 4; 2) m = 12.

Розв’язання. За т булочок Петрик заплатив 4m грн. Позначивши вартість покупки буквою k, отримаємо формулу k = 4m + 30.

1) Якщо m = 4, то k = 4 ∙ 4 + 30 = 46;

2) якщо m = 12, то k = 4 ∙ 12 + 30 = 78.

Відповідь: k = 4m + 30, 46 грн, 78 грн.

1. Яке число стоїть у кінці ланцюжка обчислень?

2. Яке число потрібно додати до 18, щоб отримати 64?

3. Від якого числа потрібно підняти 36, щоб отримати 16?

4. Яке число потрібно підняти від числа 82, щоб отримати 24?

5. Дві черепахи повзуть зі швидкістю 6 м/хв і 4 м/хв. З якою швидкістю вони віддаляються одна від одної, якщо повзуть:

1) у протилежних напрямках;

2) в одному напрямку?

6. Спочатку книга подешевшала на 24 грн, а потім подорожчала на 16 грн. Як змінилася, збільшилася чи зменшилася, порівняно з початковою ціна книги і на скільки?

Вправи

245.° Прочитайте дані числові вирази, використовуючи терміни “сума”, “різниця”, “добуток”, “частка”:

1) 12 + 16; 5) (238 + 124) – 95;

2) 39 – 24; 6) 39 ∙ 16 + 48 ∙ 2;

3) 18 ∙ 19; 7) 204 : 6 – 102 : 3;

4) 98 : 14; 8) (53 + 38) ∙ (53 – 38).

246.° Знайдіть значення виразу:

1) 56 + 42 : 14 – 7; 3) (56 + 42) : 14 – 7;

2) (56 + 42) : (14 – 7); 4) 56 + 42 : (14 – 7).

247.° Знайдіть значення виразу:

1) 374 + х, якщо х = 268;

2) 374 – х, якщо х = 268;

3) а + b + 988, якщо а = 714, b = 569;

4) а – 314 + 625 – с, якщо а = 836, с = 442.

259.° Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 476 + а + 224, якщо а = 221;

2) х + 246 – 46, якщо х = 137;

3) 973 – 243 – у, якщо у = 258.

260.° Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 2318 + b + 6682, якщо b = 5195;

2) 829 – 329 + m, якщо m = 700.

261.° На першій ділянці росло 67 кущів смородини. Потім х кущів пересадили на другу ділянку, а на першу посадили у нових кущів. Скільки кущів стало на першій ділянці? Обчисліть значення отриманого виразу, якщо х = 18, у = 25.

262.° У Вінні-Пуха було m горщиків меду. П’ятачок подарував йому ще 24 горщики, і вони разом з’їли n горщиків меду. Скільки горщиків меду після цього залишилось у Вінні-Пуха? Обчисліть значення отриманого виразу, якщо m = 56, n = 12.

263.° Буратіно купив т олівців по 24 сольдо і 5 зошитів по п сольдо, заплативши за зошити більше, ніж за олівці. На скільки більше заплатив Буратіно за зошити, ніж за олівці? Обчисліть значення отриманого виразу при m = 6, n = 32.

264.° Мальвіна купила 8 цукерок по а сольдо і b тістечок по 65 сольдо, заплативши за цукерки менше, ніж за тістечка. На скільки менше заплатила Мальвіна за цукерки, ніж за тістечка? Обчисліть значення отриманого виразу при а = 14, b = 4.

265.° У Карлсона було 712 тістечок. Щогодини він з’їдав 18 тістечок. Складіть формулу для обчислення кількості тістечок, що залишились у нього через t год, та обчисліть цю кількість, якщо:

1) t = 4; 2) t = 12.

266.° Пончик поклав у 6 коробочок по m тістечок у кожну і ще 12 тістечок у нього залишилося. Складіть формулу для обчислення кількості тістечок, що були у Пончика, та обчисліть цю кількість, якщо:

1) m = 18; 2) m = 36.

Вправидля повторення

267. Точки А, В і С лежать на одній прямій. Відстань між точками А і В дорівнює 30 см, а між точками В і С – 10 см. Знайдіть відстань між точками А і С.

268. Наталка придбала художній альбом за 63 грн і кілька збірок поезій по 6 грн кожна. Скільки збірок купила Наталка, якщо за всю покупку вона заплатила 99 грн?

269. Маса повного ящика з яблуками складає 25 кг. Після того як продали половину яблук, маса ящика з рештою яблук склала 15 кг. Яка маса порожнього ящика?

Задача Від Мудрої Сови

270. Кабінки розважального атракціону “Колесо огляду” послідовно пронумеровано числами 1, 2, 3 і т. д. Скільки всього є кабінок, якщо відомо, що коли кабінка з номером 24 займає найвищу позицію, то кабінка з номером 10 – найнижчу?

Коли Зроблено уроки

Мова, яка зрозуміла всім Речення “Сума чисел два і три дорівнює п’яти” російською мовою перекладається так: “Сумма чисел два и три равна пяти”; французькою: ” La somme des nombres deux et trois est egale sinq”; англійською: “The sum of the numbers two and three is equal to five”; німецькою: “Die Summe der Zahlen zwei und drei ist gleich funf”.

Але це речення можна записати таким чином, що воно буде зрозумілим вашим одноліткам, які живуть у будь-якій країні. Ось цей запис: 2 + 3 = 5. Його зрозуміє кожний, оскільки переклад зроблено математичною мовою, а ця мова – міжнародна.

Як і будь-яка мова, вона має свій алфавіт. Його букви прийнято називати математичними символами (знаками). Наприклад, десять цифр – це букви, з яких можна складати слова і речення, тобто числа і числові вирази.

Цікаво, що математичний алфавіт включає букви латинського та грецького алфавітів.

Важливий етап у формуванні математичної мови настав, коли для позначення чисел почали використовувані букви. Уже в І ст. грецький учений Герон Александрійський позначав буквами невідомі величини.

Будь-яка мова розвивається. Так, українська мова до появи “Енеїди” та “Наталки-Полтавки” І. П. Котляревського значно відрізнялася від сучасної. Так само п відомі вам математичні символи за часів Середньовіччя мали зовсім інший вигляд.

Наприклад, у XIV ст. для позначення дії додавання використовували букву Р – першу букву латинського слона plus.

Існує кілька гіпотез походження сучасного знака “+”. Наприклад, вірогідним здається пояснення, що цей знак є скороченим записом латинського слова et, що в перекладі українською мовою означає “і”. Спочатку писали et, потім t і, нарешті, “+”.

Цікаво, що знак “=”, хоча й з’явився у XVI ст., але міцно укріпився лише у XVIII ст. Це пов’язане з тим, що деякі математики використовували знак рівності для позначення різниці. У XVII ст., наслідуючи французького вченого Рене Декарта, знак рівності

Зображували так:

В українському алфавіті 33 букви, у грецькому – 24, в англійському – 26. Вивчаючи іноземну мову, ви вже на початкових етапах знайомитеся зі всіма її буквами. Щодо математики, то вам поки що відома лише невелика частина математичного алфавіту. Але, вивчаючи цей предмет, ви ознайомитеся з новими символами. Якщо ж оберете професію математика, то, можливо, і самі колись придумаєте нову “математичну букву”.