Множення одночленів. Піднесення одночленів до степеня

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 6. Множення одночленів. Піднесення одночленів до степеня

При множенні одночленів використовують властивості дії множення та правило множення степенів з однаковими основами.

Приклад 1.

Перемножити одночлени -3х3у7 і 5х2у.

Розв’язання.

-3х3у7 ∙ 5x2y = (-3 ∙ 5)(х3х2(у7у) = = -15х5у8.

Добутком будь-яких одночленів є одночлен, який зазвичай подають у стандартному вигляді. Аналогічно до прикладу 1 можна множити три і більше одночленів.

При піднесенні одночлена до степеня використовують властивості степенів.

Приклад

2.

Піднести одночлен: 1) -2х2у до куба;

2) – р7m2 до четвертого степеня.

Р о з в’ я з а н н я.

1) (-2x2y)3= (-2)3(x2)3у3 = 8х6у3;

2) (-р7m2)4 = (-1)4(p7)4(m2)4 – p28m8.

Результатом піднесення одночлена до степеня є одночлен, який зазвичай записують у стандартному вигляді.

Розглянемо ще декілька прикладів.

Приклад 3.

Спростити вираз

Р о з в ‘ я з а н н я.

∙ (х3 (y5)3 ∙ 18x5y = (- ) ∙ (x3x5) ∙ (y15у) = -5 х8у16.

Приклад 4.

Подати одночлен 16m8р10 у вигляді квадрата одночлена стандартного вигляду.

Р

о з в ‘ я з а н н я.

Оскільки 16 = 42, m8 = (m4)2, р10 = (р5)2, то 16m8р10 = 42 ∙ (m4)2 ∙ (р5)2 = (4m4р5)2.

Які правила та властивості використовують при множенні одночленів; піднесенні одночлена до степеня?

(Усно) Перемножте одночлени:

1) 2а і 4m;

2) – b і 3с;

3) 7а2 і -5b;

4) -2×2 і – у2.

Виконайте множення одночленів:

1) 1,5х ∙ 12у;

2) – р2 ∙ 9р7;

3)8a ∙ (-4a7);

4)-а ∙ (-12аb3);

5) 0,7mn2 ∙ (-m7n3);

6) -0,2m7p9 ∙ (-4m 4p);

7) -0,6аb2с3 ∙ 0,5а3bc7;

8) mn2 ∙ (-m) ∙ n7

Знайдіть добуток одночленів:

1) 20а ∙ (-0,5b);

2) – а2 ∙ (-3а7b);

3)5b ∙ (-b3)∙ 2c;

4) xy3 ∙ x2y5;

5) ab2 ∙ (- а3) ∙ 2b7;

6) – m2р ∙ m3p ∙ mp3.

Перемножте одночлени:

1) -13х2у і 12xy3;

2) 0,8 mn8 і 50m2n;

3) – аb2; 15а2р і – рb4;

4) 20xy2; -0,1 х2у і 0,2х2у2.

Знайдіть два різних записи одночлена -12m2 n5 у вигляді добутку двох одночленів стандартного вигляду. Знайдіть два різних записи одночлена 18m2n7 у вигляді добутку:

1) двох одночленів стандартного вигляду;

2) трьох одночленів стандартного вигляду.

(Усно) Піднесіть одночлен до степеня:

1) (-mn2)2;

2) (2a2b)3;

3) (-m3b2)4;

4) (-a3b5)7.

Піднесіть до квадрата одночлен:

1) 3а;

2) 2b2;

3) -4a3b7;

4) -0,1р9а4;

5) – m5;

6)p6m6.

Піднесіть до куба одночлен:

1) 2р;

2) 7m5;

3) -3a3b2;

4) -0,1a7b2;

5) – p6;

6) – mn4.

Виконайте піднесення до степеня:

1) (-xу3)3;

2) (-7a2bc3)2;

3) (р3m4q5)4;

4) (-2a2b)4;

5) ( p2c5)3;

6) (-c5m10a3)5.

Подайте у вигляді одночлена стандартного вигляду:

1)(-5x)2;

2) (p4)3 ;

3) (-0,2a2b3)4;

4) ( – ab7c5)6;

5) (-10a11b)5;

6) (a8c10)7.

Подайте вираз:

1) x6; 0,25m6p10; 121a18b2c4 у вигляді квадрата одночлена;

2) 0,001a9; -125p3b12; c6m15a21 у вигляді куба одночлена.

Який одночлен стандартного вигляду треба записати в дужках замість пропусків, щоб одержати правильну рівність:

1) ( … )2 = 4m6;

2) ( … )2 = 0,36p8q10;

3) ( … )3 = -8с9;

4) ( … )3 = 1000с8m12;

5) ( … )4 = 16a4 b8;

6) ( … )5 = с15р45?

Який одночлен стандартного вигляду потрібно записати замість зірочки, щоб одержати правильну рівність:

1) * ∙ 4m2n = 12m7n12;

2) 5аb ∙ * = а3b7;

3) * ∙ (-2m2р) = 24m3р2;

4) * ∙ (-9а2b) = а3b;

5) 5m2а3 ∙ * = -5m2а3;

6) 4m2n ∙ * = – m2n8?

Який одночлен стандартного вигляду треба записати замість зірочки, щоб одержати правильнy рівність:

1) * ∙ 3m2n3 = 15m3n8;

2) -7р2х3 ∙ * = 21р2×9;

3) * ∙ (-3а3b9) = а6b10;

4) 12р3m ∙ * =- р3m?

Спростіть вираз:

1) 15m2 ∙ (4m3)2;

2) -0,5m5 ∙ (2m3)4;

3) (-3а3b4)4-(- ab3);

4) (- ac4)3∙ 18а5с.

Подайте у вигляді одночлена стандартного вигляду:

1) 6а3 ∙ (2а5)2;

2) -0,8а4 ∙ (5а7)3;

3) (-25а7)4 ∙ (- a3b);

4) (- mn4)3 ∙ 25m4 n.

Подайте вираз у вигляді добутку числа 5 і квадрата деякого виразу:

1) 5а4b2; 2) 20c4d2m8; 3)р12.

Запишіть вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:

1) (8аb3)2 ∙ (0,5а3b)3;

2) ( m2n8)3 ∙ (-4m7)2;

3) -(-m2n3)4 ∙ (7m3n)2;

4) (-0,2x3c7)5 ∙ (10хс3)5.

Спростіть вираз:

1) (10m2n)2∙ (3mn2)3;

2)(- ab3)3 ∙ (4a5)2;

3) -(3а6m2)3 ∙ ( – а2m)4;

4) (-5xy6)4 ∙ (0,2х6у)4.

Подайте одночлен у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює 4аb2:

1) 8а2b2;

2)- ab4;

3)-7,8 а3b5;

4)1 а3b2.

Подайте одночлен у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює 3mn2:

1)12m2n2;

2) – mn5;

3) -6,9m7n8;

4)1 m8n2.

Залишіть у вигляді одночлена стандартного вигляду (n – натуральне число):

1) (-0,2аn+5 bn+2) – (0,5аn-2bn+3), n > 2;

2) (2а2nb5)3 ∙ ( 3а3b3n)2;

3) (а2b3)n ∙ (а2nb)3 ∙ (а2b3n)5;

4) (х2n-1y3n +1)2 ∙ (x3n-1y2n+1)3.

Відомо, що 3аb2 = 7. Знайдіть значення виразу:

1) ab2; 2) 5 аb2; 3) -9а2b4; 4) 27а3b6.

181. Відомо, що 5ху2= 9. Знайдіть значення виразу:

1) xу2; 2) 7xy2; 3) -25x2y4; 4) 125x3y6.

Вправи для повторення

Для перевезення школярів до літнього оздоровчого табору використали 3 мікроавтобуси марки “Газель” та 2 мікроавтобуси марки “Богдан”. У кожній “Газелі” розмістилося по x учнів, а у кожному “Богдані” по у учнів. Скільки всього учнів прибуло вказаним транспортом до табору на відпочинок? Запишіть відповідь у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо х – 20; у – 22. Замініть зірочку таким виразом, щоб рівність стала тотожністю:

1) (b3)2 ∙ * = b10:

2) (m2)3 ∙ * = – m14;

3) (а ∙ а4)2 : * = а3;

4) n6 ∙ (n ∙ n2)2 = * ∙ (-n4).

Обчисліть значення виразу – , де n – натуральне число.

Цікаві задачі для учнів неледачих

Видатні українці. Запишіть по горизонталях прізвища видатних українців (за потреби використайте додаткову літературу та Інтернет) та прочитайте у виділеному стовпчику одне з фундаментальних понять математики, з яким ви познайомитеся в наступному розділі. Видатний письменник, пост, учений, публіцист. Перший президент незалежної України. Видатний пост і художник, літературна спадщина якого вважається основою української літератури та сучасної української мови. Один з найвідоміших у світі авіаконструкторів. Видатна актриса, яка першою в Україні здобула звання Народної артистки Української РСР. Видатний футболіст і тренер, володар “Золотого м’яча” як найкращий футболіст Європи 1975 року. Автор “Енеїди” – першого твору нової української літератури, написаного народною мовою, один із засновників нової української драматургії.

Домашня самостійна робота № 1

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть варіант правильної відповіді.

Який з виразів тотожно рівний виразу b + b + b + b?

А) b4;

Б) 4 + b;

В) 4b;

Г).

Який з виразів є одночленом?

А) 7х – у;

Б) 7х + у;

В) ;

Г) 7ху.

А6 : а3 = …

А) а3;

В) а2;

В) а;

Г) 1.

(-2)3 = …

А) 8;

Б) -8;

В) -6;

Г) 6.

Запишіть у вигляді виразу квадрат суми чисел m і 3а.

А) (m – 3а)2;

Б) m2 + (3а)2;

В) (m + 3а)2;

Г) (m ∙ 3а)2.

Обчисліть значення виразу 2,5а2, якщо а = -4.

А) – 40;

Б) 40;

В) 100;

Г) -100.

При якому значенні а значення виразів 5а + 6 і – а + 7 рівні між собою?

А) 6;

Б) – ;

В) ;

Г) а – будь-яке число.

Обчисліть

А) 3;

Б) 9;

В) 27;

Г) 1.

(4mp3)2∙ (0,5m7р)3 = …

А) m23р9;

Б) 2m8р4;

В) 2m23р9;

Г) 2m12р.

Якого найбільшого значення може набувати вираз 1 – (а – 3)2?

А) 1;

Б) -1;

В) -3;

Г) -8.

Яке із чисел 2300; З200; 7100; 2580 є найбільшим?

А) 2300;

Б) З200;

В) 7100;

Г) 25 50.

Знайдіть значення виразу 8х2у4, якщо 2xy2 = -5.

А) 25;

Б) -50;

В) 50;

Г) 100.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО & 1 – & 6

Чи є тотожно рівними вирази:

1) 35 + 4b і 7b;

2) а + а + а і а3;

3) m + 2а і 2а + m;

4) 3(x – 2) і 3x – 2?

Подайте у вигляді степеня добуток:

1) 4 ∙ 4 ∙ 4;

2) -3 ∙ (-3) ∙ (-3) ∙ (-3) ∙ (-3).

Виконайте дії:

1) х5х4; 2) х7 : х2.

Знайдіть значення виразу:

1) 0,4 ∙ (-5)4;

2) 25 – 43 + (-1)5.

Подайте у вигляді степеня вираз:

1) (m3)4 ∙ m7;

2) (а2)7 : (а3)2.

Запишіть вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:

1) -0,3m2np3 ∙ 4mn2р7;

2) (- p7а)3 .

Спростіть вираз:

1) 0,2а2b ∙ (-10аb3)

2) (- m2n3)4 ∙ (4m5n)3.

Доведіть тотожність: 2(а + b – с) + 3(а – с) – 2b = 5(а – с). Порівняйте вирази:

1) 512 і 256; 2) 230 і З20.

Додаткові вправи

Доведіть, що сума трьох послідовних непарних чисел ділиться на 3. Якого найменшого значення може набувати вираз:

1) m4 – 12; 2) (а + 2)8 + 7?

Відомо, що 4m2n = 9. Знайдіть значення виразу:

1) 12m2n;

2) 4m4n2.

З історії математичного олімпіадного руху України

Математичні змагання є досить популярними серед школярів України. Це й індивідуальні змагання – математична олімпіада, і командні – турнір юних математиків або математичні бої. Участь у цих змаганнях надає можливість школярам долучитися до прекрасною світу цікавих і нестандартних задач, перевірити свої знання з математики повірити у власні сили або віднайти в собі хист до математики.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики проходить щорічно в чотири етапи. Перший – це шкільні олімпіади, другий – районні й міські (дім міст обласного підпорядкування), третій – обласні олімпіади, олімпіади міст Києва і Севастополя та Автономної Республіки Крим. Четвертий – це заключний етап, який з призерів третього етапу визначає переможців Всеукраїнської олімпіади.

Саме за підсумками четвертого етапу складається перелік кандидатів до складу команди України для участі в Міжнародній математичній олімпіаді. Щоб увійти до команди, переможці четвертого стану беруть участь у відбірково-тренувальних зборах, за підсумками яких і формується остаточний склад команди. Кожного року кількість представників України на Міжнародній олімпіаді визначається залежно від її рейтингу серед інших країн-учасниць. Що вищий рейтинг, то більше учасників увійдуть до команди. Рейтинг команди залежить від результатів її виступу на Міжнародній олімпіаді, причому на рейтинг виливає та кількість балів, яку вибороли учасники за всі розв’язані на олімпіаді конкурсні задачі.

Історія математичного олімпіадного руху України розпочалася з Київського математичних олімпіад. Перша в Україні олімпіада пройшла в Києві в приміщенні Київського державного університету (нині Київський національний університет імені Тараса Шевченка) у 1935 році з ініціативи видатного українського математика Михайла Пилиповича Кравчука (1892-1942). Наступного року в Київській олімпіаді взяли участь й учні інших міст України. Зокрема, у 1936 році серед переможців олімпіади був харківський десятикласник Олексій Погорєлов, який згодом пов’язав свою наукову діяльність з геометрією, ставши видатним геометром, академіком Національної академії наук України та Російської академії наук, автором шкільного підручника з геометрії, за яким кілька десятиліть успішно навчалися й радянські школярі, й українські школярі після здобуття Україною незалежності. У тому ж 1936 році було започатковано районні олімпіади та проведено першу Всеукраїнську олімпіаду.

У 1938 році М. П. Кравчука було репресовано, але небайдужі до математики молоді вчені зберегли традицію щорічно проводити Київську математичну олімпіаду. У 1942-1945 рр. під час Великої Вітчизняної війни олімпіади не проводились, а потім їх проведення поновили. Важливу роль у поновленні Київської математичної олімпіади відіграв Микола Миколайович Боголюбов, що на той час був молодим професором фізико-математичного (інші механіко-математичний) факультету Київського державного університету. У післявоєнні роки до організації Київських математичних олімпіад школярів за пропозицією М. М. Боголюбова долучилася відомий педагог то історик математики Любов Миколаївна Граціанська. На той час учні 7-10 класів, що цікавилися математикою, мали можливість щонеділі відвідувати математичні гуртки при Київському державному університеті, організацією яких керувала Л. М. Граціанська. Заняття гуртка проводили студенти механіко-математичного факультету, які згодом і очолили математичний олімпіадний рух України. Серед них А. В. Скороход, М. Й. Ядренко, В. А. Вишенський, В. І. Михайловський та інші. Гуртківці традиційно брали участь у Київських математичних олімпіадах. Зазначимо, що тоді учасниками Київської олімпіади могли стати як школярі Києва, так й учні з інших міст України, бо до 1961 року олімпіада проводилася лише в Києві. І нині, за традицією, у Київській математичній олімпіаді можуть брати участь усі охочі школярі.

У 1961 році організатори Московської математичної олімпіади запросили до участі в ній школярів з різних республік тодішнього СРСР. Так відбулася перша математична олімпіада, учасники якої були з різних республік СРСР, а олімпіаду назвала Всесоюзною. Участь у пій взяли й представники України. Щоб і падалі щорічно змагатися, необхідно було відбирати сильну команду учасників, збираючи талановитих школярів по різних куточках України. Це завдання могла вирішити Республіканська математична олімпіада, у якій мали між собою змагатися переможці українських обласних олімпіад, міст Києва і Севастополя та Автономної Республіки Крим, тобто школярі з усіх регіонів України. Саме 1961 рік вважають роком заснування Республіканської олімпіади – заключного етапу математичної олімпіади в Україні, який став прототипом четвертого етапу нинішньої Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики. Отже, у 1961 році Республіканська олімпіада з математика стола освітянською подією загальнодержавного значення. Само з її переможців надалі й формувалася команда юних математиків для участі у Всесоюзних олімпіадах.

Значну роль у виявленні математично обдарованої учнівської молоді та залучення її до математичних змагань у радянські часи відіграла Республіканська заочна фізико-математична школа (РЗФМШ). Її заняття демонструвалися щочетверга о 16 годині українським телебаченням. Школярі слухали цікаві лекції провідних математиків, знайомилися із завданнями контрольних робіт, які мали розв’язати та надіслати до організаторів РЗФМШ на перевірку, а також брали участь у заочній олімпіаді, завдання якої оголошувалися в цій програмі. За результатами заочних олімпіад і контрольних робіт виявляли математично обдарованих школярів України, залучали їх до участі в очному етані олімпіади РЗФМШ, а випускників шкіл – до навчання у провідних вишах України, зокрема і на механіко-математичному факультеті Київського державного університету. Ниві багато вчених старшого покоління тепло відгукуються про РЗФМШ, наголошуючи, що саме завдяки їй вони зацікавилися математикою та прийшли в науку.

Не останню роль у підвищенні цікавості учнів до математики, залучення до її багатогранного світу задач відігравав і щорічний збірник науково-популярних статей для школярів “У світі математики”, що почав виходити друком у 1968 році. Серед авторів матеріалів збірника були і відомі професори механіко-математичного факультету Київського державного університету, і його студенти й аспіранти. А в редакційну колегію збірника увійшли відомі українські математики А. Г. Конфорович, М. Я. Лященко, М. Й. Ядренко, А. Я. Дороговцев та інші. Професор Київського державного університету Микола Йосипович Ядренко до останніх своїх днів був відповідальним редактором цього видання. Збірник “У світі математики” виходить друком і нині, трохи змінивши свій формат, але но змінивши свого змісту й мети: популяризувати математику серед школярів.

Також М. Й. Ядренко понад 30 років (до 2004 р.) очолював журі Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики, включаючи й 1991 рік, коли учнівські математичні олімпіади в Україні посіли чільне місце у світовій мережі математичних змагань школярів.

У 1992 році непересічною подією для українського математичного олімпіадного руху стала участь команди України в Міжнародній математичній олімпіаді (ММО), хоча в цей рік за регламентом вона мала лише статус спостерігача. А з 1993 року Україна стає офіційним учасником Міжнародної математичної олімпіада. Школярі України гідно представляють свою країну, щороку виборюючи золоті, срібні та бронзові медалі. Загалом з 1993 до 2014 року Україна на Міжнародній математичній олімпіаді виборола 118 медалей (31 золоту, 50 срібних та 37 бронзових) і має високий рейтинг з-поміж 125 команд-учасниць з інших країн світу.

Логотип ММО

цифрами, ділиться на 4.




Множення одночленів. Піднесення одночленів до степеня