Відрізок. Довжина відрізка

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА

3. Відрізок. Довжина відрізка

Якщо ви добре заточеним олівцем доторкнетеся до аркуша зошита, то залишиться слід, який дає уявлення про точку (рис. 3). Точки прийнято позначати великими латинськими буквами: А, В, С, D, … .

Відмітимо на аркуші паперу дві точки А і В. Ці точки можна сполучити всілякими лініями (рис. 4). А як сполучити точки А і В найкоротшою лінією? Це можна зробити за допомогою лінійки (рис. 5). Отриману лінію називають відрізком, а точки А і В – кінцями відрізка.

 Відрізок. Довжина відрізка src="/image/1/image010_88.jpg" class=""/>

Рис. З

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 4

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 5

Точка і відрізок – приклади геометричних фігур.

Існує єдиний відрізок, кінцями якого є точки А і В. Тому відрізок позначають, записуючи точки, які є його кінцями. Наприклад, відрізок на рисунку 5 позначають одним із двох способів: АВ або ВА. Читають: “відрізок АВ” або “відрізок ВА”.

На рисунку 6 зображено три відрізки. Довжина відрізка АВ дорівнює 1 см. Він уміщується

у відрізку MN рівно три рази, а у відрізку EF – рівно чотири рази.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 6

Будемо говорити, що довжина відрізка MN дорівнює З см, а довжина відрізка EF – 4 см.

Також прийнято говорити: “відрізок MN дорівнює 3 см”, “відрізок EF дорівнює 4 см”. Пишуть: MN = 3 см, EF = 4 см.

Довжини відрізків MN і EF ми вимірювали одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 см. Для вимірювання відрізків можна обрати й інші одиниці довжини, наприклад 1 мм, 1 дм, 1 км. На рисунку 7, а довжина відрізка РК дорівнює 17 мм. Його вимірювали одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 мм, за допомогою лінійки з поділками. Також за допомогою лінійки можна побудувати (накреслити) відрізок заданої довжини (рис. 7, б).

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 7

Узагалі, виміряти відрізок – це означає підрахувати, скільки одиничних відрізків у ньому міститься.

Довжина відрізка має таку властивість.

Якщо на відрізку АВ позначити точку С, то довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків АС і СВ (рис. 8).

Пишуть: АВ = АС + СВ.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис.8

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис.9

На рисунку 9 зображено два відрізки АВ і CD. Ці відрізки при накладанні сумістяться.

Два відрізки називають рівними, якщо вони суміщаються при накладанні.

Отже, відрізки АВ і CD рівні.

Пишуть: АВ = CD.

Рівні відрізки мають рівні довжини.

Із двох нерівних відрізків більшим вважатимемо той, довжина якого більша. Наприклад, на рисунку 6 відрізок EF більший за відрізок MN.

Довжину відрізка АВ називають відстанню між точками А і В.

Якщо кілька відрізків розмістити так, як показано на рисунку 10, то утвориться геометрична фігура, яку називають ламаною. Зауважимо, що всі відрізки, зображені на рисунку 11, ламану не утворюють. Вважають, що відрізки утворюють ламану, якщо кінець першого відрізка суміщається з кінцем другого, а інший кінець другого відрізка – з кінцем третього і т. д.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 10

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 11

Точки А, В, С, D, Е – вершини ламаної ABCDE (рис. 10), точки А і Е – кінці ламаної, а відрізки АВ, ВС, CD, DE – її ланки.

Довжиною ламаної називають суму довжин усіх її ланок.

На рисунку 12 зображено дві ламані, кінці яких суміщаються. Такі ламані називають замкненими.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 12

ПРИКЛАД 1 Відрізок ВС на 3 см коротший від відрізка АВ, довжина якого дорівнює 8 см (рис. 13). Знайдіть довжину відрізка АС.

Розв’язання. Маємо: ВС = 8 – 3 = 5 (см). Скориставшись властивістю довжини відрізка, можна записати: АС = АВ + ВС. Звідси АС = 8 + 5 = 13 (см). Відповідь: 13 см.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 13

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 14

Приклад 2. Відомо, що МК = 24 см, NP = 32 см, МР = 50 см (рис. 14). Знайдіть довжину відрізка NK.

Розв’язання. Маємо: MN = МР – NP.

Звідси MN = 50 – 32 = 18 (см).

Маємо: NK = МК – MN.

Тоді NK = 24 – 18 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

Розв’язуємо усно

1. Яке число більше за число 46 на 9? Яке число менше від числа 72 на 15? Яке число більше за число 21 у 7 разів? Яке число менше від числа 65 у 13 разів?

2. Назвіть усі двоцифрові числа, сума цифр яких дорівнює 6.

3. Назвіть усі двоцифрові числа, різниця цифр яких дорівнює 7.

4. Назвіть три послідовних натуральних числа, найменшим з яких є найбільше чотирицифрове число.

5. Назвіть три послідовних натуральних числа, найбільшим з яких є найменше чотирицифрове число.

6. Виразіть у сантиметрах:

1) 7 дм 4 см; 3) 2 м 6 дм;

2) 4 м 1 см; 4) 1 м 2 дм 5 см.

7. Виразіть у дециметрах і сантиметрах:

1) 72 см; 3) 450 мм;

2) 146 см; 4) 8 м 40 мм.

Вправи

44.° Назвіть усі відрізки, зображені на рисунку 15.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 15

45.° Запишіть усі відрізки, зображені на рисунку 16.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 16

46.° Позначте в зошиті точки А, В, С і D та сполучіть їх попарно відрізками. Скільки відрізків утворилось? Скільки відрізків мають своїм кінцем точку А?

47.° Накресліть відрізки MN і АС так, щоб MN = 6 см 3 мм, АС = 5 см 3 мм.

48.° Накресліть відрізки EF і ВК так, щоб EF = 9 см 2 мм, ВК = 7 см 6 мм.

49.° Накресліть відрізок АВ, довжина якого дорівнює 8 см 9 мм. Позначте на ньому точку С так, щоб СВ = 3 см 4 мм. Обчисліть довжину відрізка АС.

50.° Накресліть відрізок ТР, довжина якого дорівнює 7 см 8 мм. Позначте на ньому точку Е так, щоб ТЕ = 2 см 6 мм. Обчисліть довжину відрізка ЕР.

51.° Порівняйте на око відрізки АВ и CD (рис. 17). Перевірте свій висновок вимірюванням.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 17

52.° Знайдіть усі ламані, зображені на рисунку 11. Які з них мають найбільшу кількість ланок?

53.° Назвіть ланки ламаної, зображеної на рисунку 18, і виміряйте їх довжини (у міліметрах). Обчисліть довжину ламаної.

54.° Запишіть ланки ламаної, зображеної на рисунку 19, і виміряйте їх довжини (у міліметрах). Обчисліть довжину ламаної.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 18

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 19

55.° Позначте у вузлі клітинок зошита точку А; точку В позначте на 4 клітинки лівіше і на 5 клітинок вище від точки А; точку С – на 3 клітинки правіше і на 1 клітинку вище від точки В; точку D – на 3 клітинки правіше і на 3 клітинки нижче від точки С; точку Е – на 1 клітинку правіше і на 2 клітинки нижче від точки D. Сполучіть послідовно відрізками точки А, В, С, D і Е. Яка фігура утворилася? Запишіть її назву та вкажіть кількість ланок.

56.° Обчисліть довжину ламаної ABCDE, якщо АВ = 8 см, ВС = 14 см, CD = 23 см, DE = 10 см.

57.° Обчисліть довжину ламаної MNKPEF, якщо MN = 42 мм, NK = 38 мм, КР = 19 мм, РЕ = 12 мм, EF = 29 мм.

58.° Накресліть у зошиті ламану, зображену на рисунку 20. Виміряйте довжини ланок (у міліметрах) і знайдіть довжину ламаної.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 20

59.° Відомо, що відрізок SK у 3 рази більший за відрізок RS (рис. 21). Знайдіть довжину відрізка RK, якщо RS = 34 см.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 21

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 22

60.° Відомо, що відрізок DB у 5 разів менший від відрізка AD (рис. 22). Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо AD = 135 см.

61.° Відомо, що АС = 32 см, ВС = 9 см, CD = 12 см (рис. 23). Знайдіть довжини відрізків АВ и BD.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 23

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 24

62.° Відомо, що MF = 43 см, ME = 26 см, КЕ = 18 см (рис. 24). Знайдіть довжини відрізків МК и EF.

63.° Дано дві точки. Скільки можна провести відрізків, що сполучають ці точки? Скільки можна провести ламаних, що сполучають ці точки?

64.° Накресліть відрізок МК і позначте на ньому точки А і С. Запишіть усі відрізки, що утворилися.

65.° Довжина відрізка АВ дорівнює 28 см. Точки М і К належать цьому відрізку, причому точка К лежить між точками М і В, AM =12 см, ВК = 9 см. Знайдіть довжину відрізка МК.

66.° Точка С належить відрізку АВ, відрізок АС дорівнює 15 см, а відрізок АВ на 5 см більший за відрізок АС. Чому дорівнює довжина відрізка ВС? Чи є в умові задачі зайві лані?

67.° Відрізки МТ и FK рівні (рис. 25). Порівняйте відрізки MF і ТК.

68.° Побудуйте ламану ACDM

Так, щоб АС = 15 мм, CD = 24 мм, DM = 32 мм. Обчисліть довжину ламаної.

69.° Побудуйте ламану CEFK так, щоб ланка СЕ дорівнювала 8 мм, ланка EF була на 14 мм більша за ланку СЕ, а ланка FK – на 7 мм менша від ланки EF. Обчисліть довжину ламаної.

70.° Обчисліть довжини ламаних, зображених на рисунку 26.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 25

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 26

71.° Відомо, що АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 2 см (рис. 27). Знайдіть довжину відрізка AD.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 27

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 28

72.° Відомо, що MF 30 см, ME = 18 см, KF = 22 см (рис. 28). Знайдіть довжину відрізка КЕ.

73.° Відомо, що КР = PE = EF = FT = 2 см (рис. 29). Які ще рівні відрізки є на цьому рисунку? Знайдіть їх довжини.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 29

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 30

74.°° На першому відрізку позначили сім точок так, що відстань між сусідніми точками дорівнює 3 см, а на другому – десять точок так, що відстань між сусідніми точками дорівнює 2 см. Відстань між якими крайніми з позначених точок більша: тими, що лежать на першому відрізку, чи тими, що лежать на другому?

75.° Відомо, що АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = МС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Знайдіть довжину відрізка QR.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис.30

76.° Яку найменшу кількість точок треба позначити на відрізках, зображених на рисунку 31, щоб на кожному з них, крім кінців відрізка, було по дві позначені точки?

77.° У Михайлика є лінійка, на шкалі якої позначено лише 0 см, 5 см і 13 см (рис. 32). Як, користуючись цією лінійкою, він зможе побудувати відрізок завдовжки: 1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 32

Вправидля повторення

78. Обчисліть:

1) 258 ∙ 75; 5) 104 ∙ 904; 9) 3328 : 52;

2) 280 ∙ 70; 6) 868 : 7; 10) 904 1 : 38;

3) 6409 ∙ 48; 7) 81 225 : 9; 11) 14 196 : 48;

4) 685 ∙ 293; 8) 896 : 28; 12) 37 592 : 74.

79. Виконайте дії:

1) 38 ∙ 17 – 4832 : 16;

2) 3596 – 3596 : (2314 – 2256).

80. Видатний український педагог В. О. Сухомлинський (1918-1970) почав педагогічну діяльність у 1935 p., а з 1947 р. до кінця життя очолював Павлишську середню школу на Кіровоградщині. У якому віці Василь Олександрович почав учителювати? Скільки років він присвятив навчанню дітей? Скільки років В. О. Сухомлинський керував школою?

81. Дитячому садку подарували 4 ящики цукерок по 5 кг у кожному і 6 ящиків печива по 3 кг у кожному. На скільки кілограмів більше подаровано було цукерок, ніж печива?

82. На зиму Вінні-Пух заготовив 7 діжок меду по 12 кг у кожній і 8 діжок по 10 кг у кожній. Скільки всього кілограмів меду заготовив Вінні-Пух?

83. До магазину завезли 240 кг бананів і 156 кг апельсинів. Третину завезених фруктів продали першого дня, а решту – другого. Скільки кілограмів фруктів продали другого дня?

84. Барвінок зібрав у своєму саду 246 кг яблук і 354 кг груш. Шосту частину всіх фруктів Барвінок віддав друзям з дитячого садка, п’яту частину всіх фруктів – друзям зі школи, а решту – у лікарню. Скільки кілограмів фруктів віддав Барвінок у лікарню?

Задача від Мудрої Сови

85. Укажіть найменше натуральне число, сума цифр якого дорівнює 101.

Колизроблено уроки

Від ліктів та долонь до метричної системи Для вимірювання довжини відрізка кожний учень вашого класу може на свій розсуд узяти за одиничний відрізок будь-якої довжини. Однак у цьому разі спільно користуватися результатами вимірювань буде досить складно. Набагато зручніше узгодити свій вибір, тобто вказати відрізок, яким вимірюватимуть усі. Приблизно так і виникли одиниці виміру довжини. Споконвіку люди користувалися такою природною мірою довжини, як крок. Багато народів застосовували як міру довжини дальність польоту стріли. Великі відстані вимірювали денними переходами. Також використовували “вимірювальні прилади”, які були напохваті: п’ядь, лікоть, долоня, фут, дюйм, косовий сажень (рис. 33) тощо.

Зрозуміло, що такі “еталони” довжини зручні, але дуже неточні. Крім того, їх різноманітність та неузгодженість стояли на перешкоді у спілкуванні, розвитку торгівлі й виробництва. Так, у XVIII ст. майже кожне німецьке місто, більшість держав, що знаходилися на території сучасної Італії, вводили свої міри, які нерідко мали однакові назви, але не були рівними. У Франції дійшло навіть до того, що кожний феодал установлював у своїх володіннях власні міри.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 33

У 1790 р. до Національних зборів Франції надійшла пропозиція про створення нової системи мір, і в 1791 р. було введено одиницю довжини – метр. Слово “метр” походить від грецького слова “метрон”, що означає “міра”. У 1799 р. виготовлено еталон метра у вигляді платинового стержня. Але тільки через 100 років метрична система мір зайняла в Європі міцні позиції.

Назви інших одиниць довжини, пов’язаних з метром, утворені за допомогою префіксів деци-, санти-, мілі-, що означає зменшення метра відповідно в 10, 100, 1000 разів. Наприклад, дециметр – десята частими метра, міліметр – тисячна частина метра. Префікс ifi. no означає збільшення в 1000 разів, тому кілометр дорівнює 1000 метрів.

Метрична система мір упроваджена практично в усьому світі, але панує вона не в усіх країнах. Наприклад, в Англії поряд з метричною системою досі користуються такими середньовічними мірами довжини, як миля, ярд, фут, дюйм. На стіні обсерваторії в Гринвічі зображено ці еталони довжин (рис. 34).

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 34

У 1889 р. зі сплаву платини та іридію було виготовлено більш точний міжнародний еталон метра (рис. 35). Він зберігається в Міжнародному бюро мір і ваги в передмісті Парижа Севрі.

 Відрізок. Довжина відрізка

Рис. 35




Відрізок. Довжина відрізка