ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Розділ 5 ВИРАЗИ І РІВНЯННЯ

§ 33. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Ви знаете, що пряма – це геометрична фігура. Дві прямі можуть по-різному розмішуватись на площині. У 6 класі ви дізнаєтеся про перпендикулярні та паралельні прямі.

1. Перпендикулярні прямі

Подивиться на перехрестя доріг на малюнку 143. Вибачите, що дороги нагадують прямі, які перетинаються, утворюючи чотири прямі кути. У цьому випадку говорять, що прямі перетинаються під прямим кутом. У зошиті з математики

Клітинки утворюються перпендикулярними прямими

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ src="/image/1/image1022_0.jpg" class=""/>

Мал. 143

Запам’ятайте!

Дві прямі на площині називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

На малюнку 144 зображено прямі АВ і CD у які перетинаються в точці О під прямим кутом, тобто є перпендикулярними.

Записують: АВ ⊥ CD, а на малюнку ставлять знак прямого кута ⏋ (див. мал. 144). Говорять: “Пряма АВ перпендикулярна до прямої CD”.

Якщо пряма АВ перпендикулярна до прямої CD у то і пряма CD перпендикулярна до прямої АВ. Інакше кажуть:

прямі АВ і CD – взаємно перпендикулярні.

? Чи бувають перпендикулярними відрізки? промені? Так, якщо вони є частинами відповідних перпендикулярних прямих (мал. 145-146).

Для побудови перпендикулярних прямих використовують транспортир або косинець. На малюнку 147 ви бачите, як будували пряму CD, перпендикулярну до прямої АВ, за допомогою транспортира, а на малюнку 148 – за допомогою косинця.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 144

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 145

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 146

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 147

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 148

2. Паралельні прямі

Подивиться на малюнок 1 49. Ви бачите рейки трамвайної колії, які нагадують прямі, що лежать в одній площині і не перетинаються. Це приклад паралельних прямих.

Навколо нас багато інших прикладів паралельних прямих.

Так, у зошиті в клітинку горизонтальні лінії паралельні. Те саме можна сказати і про вертикальні лінії. Протилежні краї парти, протилежні сторони віконної рами, тролейбусні штанги також паралельні.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 149

Запам’ятайте!

Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

На малюнку 150 зображено паралельні прямі AS і CD.

Записують: AS || CD. Говорять: “Пряма АВ паралельна прямій CD”.

Якщо пряма AВ паралельна прямій CD, то і пряма CD паралельна прямій AВ. Проте для паралельних прямих термін “взаємно паралельні” не застосовують.

? Чи бувають паралельними відрізки? промені? Так, якщо вони є частинами відповідних паралельних прямих.

На малюнку 151 ви бачите, як за допомогою лінійки і косинця через точку С провели пряму CD, паралельну прямій AИ.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 150

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 151

Дізнайтеся більше

1. Назва “перпендикулярний” походить від латинського слова “perpendiculars”, яке означає “прямовисний”. Знак 1 запропонував П’єр Ерігон (1530-1643) – французький математик й астроном.

2. Назва “паралельний” походить від грецького слова “paralelos” – “що поряд йде”. Символ паралельності || відомий з античних часів. Його використовували Герон і Папп, Олександрійський. Спочатку символ був схожий на нинішній знак рівності, але з появою останнього, щоб уникнути плутанини, символ було повернуто вертикально Вільямом Отредом у 1677 році.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Які прямі називаються перпендикулярними? а відрізки? промені?

2. Як позначають перпендикулярні прямі в записах? на малюнку?

3. Як побудувати пряму, перпендикулярну до даної прямої за допомогою: 1) транспортира і ліній ки; 2) ко синця?

4. Які прямі називаються паралельними? а відрізки? промені?

5. Як записати, що дані прямі паралельні?

6. Як побудувати пряму, паралельну даній прямій?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1485′. Чи правий Миколка, коли стверджує, що при перетині двох прямих завжди утворюються рівні кути?

1486′. За малюнком 152 визначте перпендикулярні прямі: 1) “на око”; 2) за допомогою косинця.

1487′. Тетянка зобразила в зошиті два відрізки, які не перетинаються. Чи можуть бути паралельними прямі, частинами яких є дані відрізки?

1488′. За малюнком 153 визначте паралельні прямі: 1) “на око”; 2) за допомогою лінійки і косинця.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 152

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 153

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 154

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 155

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 156

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 157

1489°. На малюнку 154 зображено прямокутник ABCD. Запишіть усі пари перпендикулярних відрізків.

1490°. На малюнку 155 зображено квадрат MNPK. Запишіть усі пари перпендикулярних відрізків.

1491°. Побудуйте в зошиті пряму АВ (мал. 156). Проведіть за клітинками три прямі, перпендикулярні до прямої АВ.

1492°. Побудуйте в зошиті пряму CD (мал. 157). Проведіть за клітинками дві прямі, перпендикулярні до прямої CD.

1493°. Проведіть пряму CD. Побудуйте пряму MN, перпендикулярну до прямої CD, за допомогою: 1) транспортира; 2) косинця.

1494°. Проведіть пряму АВ. Побудуйте пряму КР, перпендикулярну до прямої АВ, за допомогою: 1) транспортира; 2) косинця.

1495°. На малюнку 155 зображено квадрат MNPK. Запишіть усі пари паралельних відрізків.

1496°. На малюнку 154 зображено прямокутник ABCD. Запишіть усі пари паралельних відрізків.

1497°. Побудуйте в зошиті пряму CD (мал. 157). Проведіть за клітинками три прямі, паралельні прямій CD.

1498°. Побудуйте в зошиті пряму АВ (мал. 156). Проведіть за клітинками дві прямі, паралельні прямій АВ.

1499°. Проведіть пряму АВ. За допомогою лінійки і косинця побудуйте пряму КР, паралельну прямій АВ.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 158

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 159

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 160

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

Мал. 161

1500°. Проведіть пряму CD. За допомогою лінійки і косинця побудуйте пряму MN, паралельну прямій CD.

1501. Побудуйте в зошиті прямі АВ і CD (мал. 158). Через точку їх перетину проведіть за клітинками пряму MN перпендикулярно до прямої АВ.

1502. Побудуйте в зошиті прямі АВ і CD (мал. 158). Через точку їх перетину проведіть за клітинками пряму MN перпендикулярно до прямої CD.

1503. Побудуйте кут АОВ, градусна міра якого дорівнює 80°. Позначте точку С на стороні ОА. Проведіть через точку С пряму:

1) перпендикулярну до сторони ОА,

2) перпендикулярну до сторони ОВ.

1504. Побудуйте кут COD, градусна міра якого дорівнює 120°. Позначте точку А на стороні ОС. Проведіть через точку А пряму:

1) перпендикулярну до сторони ОС;

2) перпендикулярну до сторони OD.

1505. Прямі АВ і CD на малюнку 159 – перпендикулярні. Знайдіть градусну міру невідомого кута.

1506. Прямі MN і РК на малюнку 160 – перпендикулярні. Знайдіть градусну міру невідомого кута.

1507. Побудуйте в зошиті паралельні прямі АВ і CD так, як показано на малюнку 161. Через точку К проведіть пряму MN, паралельну прямій АВ. За допомогою лінійки і косинця перевірте, чи є паралельними прямі MN і CD.

1508. Побудуйте в зошиті паралельні прямі АВ і CD так, як показано на малюнку 161. Через точку О проведіть пряму PL, паралельну прямій CD. За допомогою лінійки і косинця перевірте, чи є паралельними прямі PL і AB.

1509. Накресліть пряму CD і позначте точку М поза прямою. Побудуйте пряму паралельну прямій CD, яка; 1) проходить через точку М\ 2) не проходить через точку М.

1510. Накресліть пряму АВ і позначте точку С поза прямою. Побудуйте пряму, паралельну прямій АВ, яка: 1) проходить через точку С; 2) не проходить через точку С.

1511. Побудуйте кут COD, градусна міра якого дорівнює 110°. Позначте точку А на стороні ОС. Проведіть через точку А пряму, паралельну стороніOD.

1512. Побудуйте кут АО В, градусна міра якого дорівнює 80°. Позначте точку С на стороні ОВ. Проведіть через точку С пряму, паралельну стороні ОА.

1513*. Побудуйте кут АО В, градусна міра якого дорівнює 90°. Позначте точку С всередині цього куга. Проведіть через точку С прямі, перпендикулярні до сторін кута. Яка фігура утворилася внаслідок перетину цих прямих і сторін кута?

1514*. Побудуйте перпендикулярні прямі АВ і CD. Побудуйте ще дві перпендикулярні прямі MN і РК за умови, що MN || АВ, РК || CD. Яка фігура утворилася внаслідок перетину цих прямих?

1515*. Побудуйте чотири прямі так, щоб: 1) вони не перетиналися;

2) утворилося 2 точки перетину; 3) утворилося 4точки перетину;

4) утворилося 5 точок перетину.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1516. Наведіть приклади предметів довкілля, які нагадують:

1) перпендикулярні прямі; 2) паралельні прямі.

1517. Вулиця Благовісна, на якій мешкає Ганнуся, проходить у напрямку з півдня на північ. У якому напрямку проходить вулиця Квіткова, на якій мешкає Тетянка, якщо вона паралельна вулиці Благовісній? У якому напрямку проходить вулиця Молодіжна, на якій мешкає Сергійко, якщо вона перпендикулярна до вулиці Благовісної? Зробіть відповідні малюнки можливого розміщення цих вулиць, вважаючи верхній край аркуша в зошиті напрямком на північ.

1518. Під час прогулянки Тарасик і Петрик пройшли від свого будинку спочатку 200 м прямо вулицею, на якій стоїть їх будинок. Потім повернули ліворуч під прямим кутом і пройшли 200 м, а потім повернули праворуч і пройшли ще 200 м. Визначте, на якій вулиці зараз перебувають хлопці: тій, що перпендикулярна до вулиці, на якій вони мешкають, чи тій, що паралельна їй?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1519. Розв’яжіть рівняння:

1) 4,8 : 0,4 = 12 : (0,4 + 3х); 2)-18 ∙ (х + 2,5) = 18,54.

1520. Сторони прямокутника відносяться, як 2 : 4. Знайдіть їх довжину, якщо периметр прямокутника дорівнює 60 см.




ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТА ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ