Розділ 5 ВИРАЗИ І РІВНЯННЯ
§ 34. КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА
Ви вже знаєте, що таке координатна пряма (мал. 162). На ній точка О – початок відліку, стрілка показує напрямок зростання чисел, а ціна поділки становить одну одиницю.
Мал. 162
Проте на практиці часто доводиться користуватися орієнтирами не тільки вздовж прямої, а й на площині.
Ви знаєте, що у грі “Морський бій” положення корабля визначають за допомогою “координат” із цифр і “координат” із літер (мал. 163). Залежно від обраної букви пересуваються
Щоб визначити місце в залі кінотеатру, теж треба знати дві “координати”: номер ряду та номер крісла в цьому ряді (мал. 164). Причому порядок “координат” у такій парі є строго визначеним. Справді, наприклад, пари чисел 3 і 12 та 12 і 3 спрямують нас у зовсім різні місця залу: в 3-й ряд на 12-те місце чи в 12-й ряд на 3-тє місце. На відміну від попереднього прикладу, для орієнтування в залі кінотеатру порядок
Мал. 163
Maл. 164
Мал. 165
Мал. 166
Отже, щоб охарактеризувати розміщення точки на площині, треба задати дві координатні прямі з рівними одиничними відрізками, одна з яких задає напрямок праворуч-ліворуч, а друга – вгору-вниз. Для цього координатні прямі зображають перпендикулярно одна до одної й так, щоб початки відліку на них збігалися (мал. 165). Одну із цих прямих (як правило горизонтальну) вважають першою, а іншу – другою. Така пара координатних прямих утворює прямокутну систему координат.
Першу координатну пряму називають віссю абсцис. Її позначають ОХ Другу координатну пряму називають віссю ординат. Її позначають OY. Спільний початок відліку координатних прямих називають початком координат (мал. 166).
Площину з уведеною на ній системою координат називають координатною оскільки площиною.
Кожній точці на площині можна поставити у відповідність пару чисел, взятих у певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел відповідає єдина точка координатної площини. Така упорядкована пара чисел називається координатами точки в даній системі координат. Координату за віссю абсцис називають абсцисою точки, а координату за віссю ординат – ординатою точки.
Коротко записують: М (х; у), А (В; 2). Читають: “Точка М з координатами х і у”, “Точка А з координатами В і 2” або “В – абсциса точки А, 2 – її ордината”.
Задача 1 . На координатній площині побудуйте точку:
1)5(3; 2); 2) А(5; 0).
Розв’язання. Уведемо прямокутну систему координат на площині (мал. 167).
1. У точки В (3; 2) абсциса дорівнює З, а ордината – 2. На осі абсцис позначимо точку, що відповідає числу 3, а на осі ординат – точку, що відповідає числу 2. Через точки, побудовані на осях координат, проведемо дві прямі, паралельні осям (мал. 167). Точка перетину побудованих прямих – шукана точка В (3; 2).
2. Оскільки ордината точки А(5; 0) дорівнює 0, то ця точка лежить на осі абсцис і відповідає числу 5 на цій осі.
Maл. 167
Зверніть увагу:
Точка лежить на осі абсцис, якщо її ордината дорівнює нулю, і навпаки;
Точка лежить на осі ординат, якщо її абсциса дорівнює нулю, і навпаки;
Початок координат – точка О, має координати (0; 0).
? Як визначити координати точки, побудованої на координатній площині, наприклад, точки А на малюнку 168? Для цього треба через дану точку провести прямі, паралельні осям координат.
Мал. 168
Пряма, паралельна осі ординат, перетинав вісь абсцис у точці, що відповідає числу 5.
Отже, першою координатою даної точки А є число 5. Пряма, паралельна осі абсцис, перетинав вісь ординат у точці, що відповідає числу -4. Отже, другою координатою точки А є число -4. Тоді точка А має координати 5 і -4, тобто А (5; -4).
Координатні осі розбивають координатну площину на чотири частини. їх називають координатними чвертями і позначають так: І чверть, IIчверть, III чверть, IV чверть (мал. 169).
Точки І чверті мають додатну абсцису і додатну ординату. І навпаки, якщо абсциса й ордината точки додатні, то вона лежить у І чверті, як, наприклад, точка В (3; 2). Аналогічно міркуючи, можна з’ясувати, що точки II чверті мають від’ємну абсцису й додатну ординату, точки III чверті – від’ємну абсцису й від’ємну ординату, а точки IV чверті – додатну абсцису й від’ємну ординату.
На малюнку 170 показано знаки координат точок, які лежать у відповідних чвертях.
Мал. 169
Мал. 170
Положення будь-якої точки на поверхні Землі визначається двома координатами: географічною широтою та географічною довготою.
Географічні координати ввів давньогрецький вчений Гіппарх у ІI ст. до н. е. Географічні координати застосовують для визначення положення точок земної поверхні відносно екватора та початкового (нульового) меридіана. Наприклад, Київ має такі географічні координати: 30°30′ східної довготи, 50°27′ північної широти.
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Поясніть, як побудувати прямокутну систему координат на площині.
2. Які назви мають осі координат? точка їх перетину?
3. Що називають координатною площиною?
4. Як визначити координати точки в прямокутній системі координат.
5. Які координати має початок відліку?
6. Які особливості мають координати точок, що лежать на осях координат? Наведіть приклади.
7. На скільки координатних чвертей розбивають площину координатні осі? Які знаки мають координати точок у кожній з них?
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
1521′. Скільки координатних прямих треба задати, щоб визначити розміщення точки на площині:
1) одну; 2) дві; 3)три?
1522′. Чи правильно, що в прямокутній системі координат на площині:
1) дві осі координат;
2) осі координат не перетинаються;
3) осі координат взаємно перпендикулярні;
4) на осях координат обрано рівні одиничні відрізки;
5) першою вважають вісь ординат?
1523′. Чи правильно, що абсциса точки А (-4; 9) дорівнює:
1)4; 2)9; 3) -4; 4)-9?
Мал. 171
1524′. Чи правильно, що ордината точки А (-4; 9) дорівнює:
1)4; 3) -4;
2)9; 4)-9?
1525′. Яка точка лежить одночасно і на осі ординат, і на осі абсцис?
1526′. Чи правильно Денис визначив координати точки (мал. 171):
1) М (3; 0);
2) N(0; -1);
3) Р (-2; 0);
4) К (0; 4)?
1527°. Накресліть у зошиті таблицю 24 і запишіть координати точки М.
Таблиця 24
1528°. Накресліть у зошиті таблицю 25 і запишіть абсцису й ординату точки М.
Таблиця 25
1529°. Накресліть систему координат. На осі ОХ позначте точку з абсцисою: 1) 2; 2) -2; 3) 4,5; 4) -4,5. Назвіть позначену точку. Яка в неї ордината? Запишіть координати цієї точки.
1530°. Накресліть систему координат. На осі OY позначте точку з ординатою: 1) 2; 2) -2; 3) 4,5; 4) -4,5. Назвіть позначену точку. Яка в неї абсциса? Запишіть координати цієї точки.
1531°. Які з точок А (-45; 0), В (8; 1), С (0; 30), D (1; -1), Е (3,1; 0), F (0; -3), К (0; 0) лежать на осі: 1) абсцис; 2) ординат?
1532°. Задайте прямокутну систему координат на площині та побудуйте в ній точки:
1) А (2; 4), В (3; -2), С (-2; 7), D (2; 2);
2) А(3; 5), В (5; 3), С (-3; -5). D(-5; -3);
3) А(-7; 7), В (-4; 4), С (-3; 3), D (-5; 5).
Мал. 172
Мал, 173
1533°. Задайте прямокутну систему координат на площині та побудуйте в ній точки:
1)А(1; 1),В(1; -1), С (-1; -1), D (-1; 1);
2)А(1; 2), В (1; -2), С (-2; -1), D (-2; 1).
1534°. Накресліть систему координат. За одиничний відрізок прийміть З клітинки зошита. Побудуйте точки:
1535°. Накресліть систему координат. За одиничний відрізок прийміть 5 клітинок зошита. Побудуйте точки: А(-1; -0,2),
1536°. Визначте координати точок, зображених на малюнку 172.
1537 . Визначте координати точок, зображених на малюнку 173.
1538°. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, у якій координатній чверті міститься точка: А (-15; 20), В (3,9; -4,2), С (218; 30), D (-19; -47), E (-71; 8), F (2; 23), К (3; -12), L (-401; -477).
1539°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 26.
Таблиця 26
1540°. Побудуйте точки та з’єднайте їх послідовно;
1) а) (-1; 2), (7; 2), (7; -5), (-1; -5), (-1; 2); б) (0; 1), (2; 1), (2; -2), (0; -2), (0; 1); в) (4; 1), (6; 1), (6; -2), (4; -2), (4; 1); г) (-1; 2), (3; 5), (7; 2); г) (7; -2), (8; -1), (9; -2), (9; -5), (7; -5); д) (9; -2), (10; -1), (11; -2), (11; -5), (9; -5); е) (-10; -5), (-7; -2), (-9; -2), (-6; 1), (-8; 1), (-6; 3), (-4; 1), (-6; 1), (-3; -2), (-5; -2), (-2; -5), (-10; -5);
2) а) (-1; -4), (-1; 6), (1; 9), (3; 6), (3; -4), (-1; -4); б) (-1; -3), (- 3; -5), (-3; -7), (-2; -6), (-1; -4); в) (3; -3), (5; -5), (5; -7), (4; -6), (3; -4); г) (1; -4), (0; -6), (2; -6), (1; -4); г) (0; 5), (1; 6), (2; 5), (1; 4), (0; 5);
3) а) (4; 13), (8; 15), (9; 17), (10; 10), (16; 10), (18; 12), (16; 0), (14; 0), (15; 6), (11; 6), (12; 0), (10; 0), (8; 12), (5; 11), (4; 13);
Б) (8; 14); в) (4,5; 11,5), (7; 13).
1541. Запишіть координати точок, які розміщені на координатних осях і знаходяться від початку координат на відстані:
1)2 одиниці; 2) 7 одиниць; 3)45 одиниць.
1542. Запишіть координати точок, які розміщені на координатних осях і знаходяться від початку координат на відстані:
1)3 одиниці; 2) 2,5 одиниці.
1543. Запишіть координати точки В, якщо з точкою А (3; 4) вона має: 1) рівні абсциси, але протилежні ординати; 2) рівні ординати, але протилежні абсциси; 3) протилежні абсциси і протилежні ординати; 4) рівні абсциси і рівні ординати.
1544. Дано точку А (3; 4). Запишіть координати точки В, якщо її абсциса й ордината:
1) відповідно дорівнюють ординаті й абсцисі точки А;
2) удвічі більші за абсцису й ординату точки А;
3) на 3 менші від абсциси й ординати точки А.
1545. Запишіть координати точок, які розміщені на осі ОХ і знаходяться від точки А(-6; 0) на відстані:
1)3 одиниці; 2) 2,5 одиниці.
1546. Запишіть координати точок, які розміщені на осі OY і знаходяться від точки А (0; 5) на відстані:
1) 1,5 одиниці; 2) 10 одиниць.
1547. Через точку А (3; 2) проведіть пряму, паралельну осі:
1) абсцис; 2) ординат. З’ясуйте, чи лежать на цій прямій точки В (-3; 2), С (2; 3), D (3; -2).
1548. Дано три вершини прямокутника А (0; 0), В (2; 0), D (0; 3). Побудуйте прямокутник ABCD. Знайдіть координату точки С. Обчисліть площу і периметр прямокутника.
1549. Дано три вершини квадрата А (0; 0), В (2; 0), D (0; 2). Побудуйте квадрат ABCD. Знайдіть координату точки С. Обчисліть площу і периметр квадрата.
1550. Побудуйте пряму АВ, якщо А (-2; 2), В (4; -4). Визначте координати ще трьох точок цієї прямої.
1551. Знайдіть площу квадрата, знаючи координати двох сусідніх його вершин: 1) (3; 5), (8; 5); 2) (4; -3), (1; -3).
1552. Дано вершину А(0; 4) квадрата ABCD. Абсциса вершини В дорівнює абсцисі точки А, а ордината точки В в 1,5 раза більша за ординату точки А. Знайдіть координати вершин квадрата й побудуйте його. Скільки розв’язків має задача? Обчисліть площу і периметр квадрата.
1553. У якій чверті може лежати точка М (х; у), якщо:
1)х < 1, у ≤ 2; 2) х = -4, у ≥ 2,6?
1554*. Побудуйте множину точок М (х; у), якщо -3 ≤ х ≤ 1, |у|≤2, а х i у:
1) цілі числа;
2) натуральні числа;
3) раціональні числа.
1555*. Побудуйте точки з координатами (х; у), для яких
| х| ≤ 6, |у| ≤ 7 і:
1) ордината кожної точки дорівнює її абсцисі;
2) модуль абсциси кожної точки дорівнює її ординаті;
3) абсциса кожної точки удвічі більша за її ординату.
1556*. Побудуйте точки з цілими координатами (х; у), для яких виконується умова:
1) ху < 0; 2)ху = 0; 3)|ху| ≤ 0.
1557*. Побудуйте точки з цілими координатами (х; у), для яких виконується умова | х | + | у | <2.
ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ
1558. Намалюйте план залу кінотеатру. Визначте, де сидітимуть діти, якщо в білетах указано: 2-й ряд 6-те місце, 3-й ряд 7-ме місце, 12-й ряд 4-те місце.
ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ
1559. Знайдіть значення виразу:
1560. Обчисліть:
1) 109,04 ∙ (-0,05);
1561. Помножте суму чисел -3,5 і 7,4 на:
1) менше з них; 2) більше з них; 3) їх різницю.
1562. Помножте різницю чисел -9,3 і 6,8 на:
1) менше з них; 2) більше з них; 3) їх суму.
(2 votes, average: 5,00 out of 5)