Основна ідея, якою пройнята вся математика, – це ідея рівності.
Г. Спенсер
РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ
У цьому розділі ви повторите свої знання про трикутники, здобуті в попередніх класах, і дізнаєтеся про багато інших їх властивостей.
Основне в розділі – три ознаки рівності трикутників Вони часто використовуються в геометрії. Тому від того, як добре ви вивчите ці ознаки, залежить, як ви засвоїте наступні розділи підручника.
& 9. ТРИКУТНИК І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ
Якщо три точки, які не лежать на одній прямій, сполучити відрізками, матимемо трикутник. Іншими словами: трикутник – це замкнена ламана з трьох ланок. На малюнку 120 зображено трикутник ABC (пишуть: ∆АВС). Точки А, В, С – вершини, відрізки АВ, ВС і СА – сторони цього трикутника. Кожний трикутник має три вершини і три сторони.
Багато різних моделей трикутників можна розгледіти в підйомних кранах, заводських конструкціях, різних архітектурних спорудах (мал. 121).
Суму довжин усіх сторін трикутника називають його периметром. Периметр трикутника ABC позначають так: P∆AВС.
Кожна сторона
Відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою його протилежної сторони, – медіана трикутника. Відрізок бісектриси кута трикутника, проведений від його вершини до протилежної сторони – бісектриси трикутника. Перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, на якій лежить його протилежна сторона, – висота трикутники. На малюнку 122 (а, б) зображено ∆АВС, у якому з вершини С проведено: медіануCM, бісектрису CL і висоту СН.
Мал. 120
Мал. 121
Мал. 122, а
Мал. 122,б
Кожний трикутник має три медіани, три бісектриси і три висоти. Трикутник розбиває площину на дві області: внутрішню і зовнішню. Фігуру, яка складається я трикутника і його внутрішньої області, також називають трикутником.
Кутами трикутника ABC називають кути ВАС, ABC і АСВ. Їх позначають і так: ∠A, ∠В, ∠C. Кожний трикутник має три кути.
Якщо трикутник мав прямий або тупий кут, його називають відповідно прямокутним або тупокутним трикутником. Трикутник, усі кути якого гострі, називають гострокутним. На малюнку 123 зображено гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники. їх внутрішні області зафарбовано.
Мал. 123
Для допитливих
1. Словом трикутник геометри називають два різні поняття: і замкнену ламану з трьох ланок, і внутрішню частину площини, обмежену такою ламаною.
Так само стороною трикутника іноді називають відрізок, іноді – довжину цього відрізка; висотою трикутника – і певний відрізок, і його довжину.
Так роблять для зручності. Щоб кожного разу не говорити, наприклад, “довжина висоти трикутника дорівнює 5 см”, домовилися говорити простіше: “висота трикутника дорівнює 5 см”.
2. Кожний многокутник можна розрізати на кілька трикутників. Тому трикутники в геометрії відіграють таку важливу роль, як атоми у фізиці, як цеглини в будинку. Існує навіть окрема частина геометрії – досить цікава і багата за змістом: геометрія трикутника.
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Що таке три кутник?
2. Назвіть елементи трикутника.
3. Які види трикутників ви знаєте? Сформулюйте їх означення.
4* Що таке бісектриса, медіана і висота трикутника?
О. Чим відрізняється бісектриса трикутники від бісектриси кута?
Виконаємо разом
1. Середнє арифметичне всіх сторін трикутника дорівнює m. Знайдіть периметр трикутника”
Якщо а, b, с – сторони трикутника, а Р – його периметр,
То = m , або = m, звідси Р = 3 m.
Отже, Р = 3 m.
2. На скільки частин можуть розбити площину два її трикутники?
Якщо два трикутники розташовані в одній площині, то вони можуть розбивати її щонайбільше на 8 частин (мал. 124). Уявно переміщаючи один із двох даних трикутників так, щоб спочатку один із утворених їхнім перерізом трикутник перетворився в точку, потім – другий і т. д., переконуємось, що два трикутники можуть розбивати площину на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частин (мал. 125). Тільки якщо два трикутники рівні і суміщені один з одним, то вони розбивають площину на 2 частини.
Мал. 124
Мал. 125
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ
Виконайте усно
255. Чи можуть дві сторони трикутника бути перпендикулярними до його третьої сторони?
256. Скільки висот трикутника можуть лежати зовні нього?
257. Чи може висота трикутника збігатися з його стороною?
258. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо:
А) АВ = 6 см, ВС = 3 см, АС = 7 см;
Б) АВ = 2,2 дм, ВС = 8,5 дм, АС = 8,8 дм.
259. ЧИ існує трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 8 см?
А
260. Накресліть будь-який трикутник. Позначте його вершини буквами К, Р, Т. Назвіть сторони і кути трикутника. Виміряйте сторони побудованого трикутника та знайдіть його периметр.
261. Накресліть гострокутний трикутник ABC. Проведіть з його вершини А медіану, бісектрису і висоту.
262. Побудуйте довільний трикутник. Проведіть його медіани і висоти.
263 Сторони трикутника дорівнюють 3,8 см, 4,5 см і 7,5 см. Знайдіть його периметр.
264. Периметр трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть сторону квадрата, периметр якого вдвічі більший за периметр трикутника.
265. AM і BN – медіани три кутника ABC, AN = 5 см, ВМ = 7 см. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо АВ = 15 см.
266. Чи правильно, що на малюнку 126 відрізки AA1, BB1, СС1 – висоти трикутника ABC?
Мал. 126
267. Побудуйте прямокутний і тупокутний трикутники. Проведіть їх висоти.
268. Скільки різних трикутників зображено на малюнку 127 (а, б)?
Мал. 127, а
Мал. 127,6
269. Периметр трикутника ABC дорівнює 26 см. Знайдіть його сторони, якщо АС = 10 см і:
А) ВС = ЗАВ; б) АВ : ВС = 3 : 5;
В) АВ = ВС; г) ВС – АВ = 6 см;
Г) АС = 0,6 АВ + 6.
Б
270. Чи кожний трикутник можна розрізати на 2 трикутники? А на довільне число п трикутників? Якими способами можна розрізати довільний трикутник на 3 менші трикутники? А на 4 трикутники?
271. M i N – середини сторін АВ і ВС трикутника ABC. Периметр трикутника MBN у 2 рази менший від периметра трикутника ABC. Знайдіть MN, якщо АС = 10 см.
272. Знайдіть сторони трикутника, як що одна з них більша за іншу вдвічі, від третьої – у півтора разу і друга сторона менша від третьої на 2 см.
273. Знайдіть периметр трикутника, якщо він більший від першої сторони на 7 м, від другої – на 8 м, а від третьої – на 9 м.
274. Середнє арифметичне всіх сторін трикутника дорівнює 10 дм. Знайдіть периметр трикутника.
275. ВМ – медіана трикутника ABC і ВМ = MС. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника АВМ дорівнює 16 см, ВС = 8 см.
276. Трикутник із периметром 22 см поділено медіаною на два трикутники з периметрами 12 см і 16 см. Знайдіть довжину медіани.
277. Сторони трикутника пропорційні числам 4, б і8. Знайдіть периметр трикутника, якщо найбільша його сторона більша за найменшу на 24 см.
278. Трикутник ділить площину на дві частини: обмежену й необмежену. На скільки частин мажуть ділити площину розташовані на ній трикутник і пряма? А трикутник і коло?
279. Знайдіть висоту ВН трикутника АВС, якщо периметри трикутників ABC, АВН і ВНС дорівнюють відповідно 26 см, 14 см і 18 см.
280. ВМ – медіана трикутника ABC, а периметри трикутників АВМ і ВМС – рівні. Доведіть, що АВ = ВС.
281. На сторонах АВ і ВС трикутника ABC взято точки М і К такі, що МК і АС. Доведіть, що кути трикутника MВК дорівнюють відповідно кутам трикутника ABC.
Практичне завдання
282. а) Розріжте квадрат на 2, 3, 4, б трикутників; б) Перемалюйте малюнок 127, а на картон і розріжте на 7 частин. Складіть із них кілька цікавих фігур, наприклад” як на малюнках 128 і 129. Як називається така гра?
Мал. 128
Мал. 129
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
283. Згадайте, як визначити площу прямокутника. А квадрата?
284. Скільки квадратних метрів містить 1 км2, 1 га, 1 ар?
285. ЧИ правильно, що з двох будь-яких рівних прямокутних трикутників можна скласти один прямокутник?
286. Як знайти площу прямокутного трикутника?
287. Поле прямокутної форми має площу 20 га, а одна йот сторона – завдовжки півкілометра. Знайдіть довжину іншої сторони поля.
288. Сума кутів АОВ і ВОС дорівнює 100. Знайдіть кут між їх бісектрисами, якщо промінь ОВ для кута АОС – внутрішній.