Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої ❤️ ГДЗ з математики

Завдання 2

1) Рівняння сфери, усі точки якої рівновіддалені від початку координат на 1 од. має вигляд х2 + у2 + z2= 1.

2) Оскільки центр сфери – початок координат і вона перетинає ось Оz у точці

(0; 0; 1), то вона має радіус 1, а значить, її рівняння; х2 + у2 + z2 = 1.

3) Оскільки центр сфери (1; 1; 1) і вона дотикається до площини хОу, то радіус сфери дорівнює 1, а значить, її рівняння: (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 1)2 = 1.

4) Оскільки центр сфери (1; 1; 1) і вона дотикається координатних площин, то радіус сфери дорівнює 1, а значить, її рівняння: (х –

1)2 + (у – 1)2 + (z + 1)2 =1.

1) Запишемо рівняння сфери з центром Р(0; 0; 0) і радіусом R = 2, та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: х2 + у2 + z2 = 4. Співвідношення, що визначає кулю: х2 + у2 + z2 ≤ 4.

2) Запишемо рівняння сфери з центром Р(1; 0; 2) і радіусом R = 5, та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: (х – 1)2 + у2 + (z – 2)2 = 25. Співвідношення, що визначає кулю:

(х – 1)2 + у2 + (z – 2)2 ≤ 25.

3) Запишемо рівняння сфери з центром Р(-2; 3; -1) і радіусом R = 3,

Та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: (х + 2)2 + (у –

3)2 + (z + 1)2 = 9. Співвідношення, що визначає кулю: (х + 2)2 + (у – З)2 + (z + 1)2 ≤ 9.

Щоб визначити, чи належать сфері точки, перевіримо чи будуть виконуватися рівності:

1) О (0; 0; 0). 02 + (0 – 1)2 + (0 + 1)2 = 2 ≠ 4; а значить, точка не належить сфері;

2) Т ( 1; 0;1). 12 + (0 – 1)2 + (1 + 1)2 = 6 ≠ 4, а значить, точка не належить сфері;

3) С(0; 1; 1). 02 + (1 – 1)2 + (1 + 1)2 = 4, а значить, точка належить сфері.

1) Визначимо, чи описує задане рівняння сферу, х2 – 2х + y2 + z2 = 0;

Х2 – 2х + 1 – 1 + у2 + z2 = 0; (х – 1)2 + у2 + z2 = 1.

Це рівняння сфери з центром в точці (1; 0; 1) і радіусом 1.

2) х2 – 2х + у2 = 3; х2 – 2х + 1 – 1 + у2 = 3; (х – 1)2 + у2 = 4. Не є рівнянням сфери.

3) х2 – 2х + у2 + 4у + z2 – 2z = -1; (х2 – 2х + 1) -1 + (у2 + 4у + 4) – 4 + (z2 – 2z + 1) -1 = -1;

(х – 1)2 + (у + 2)2 + (z – 1)2 = 5 – рівнянням сфери з центром

В точці (1; -2; 1) і радіусом

4) х2 + у2 – у + z2 + z = 0,5;

Не є рівнянням сфери.

Перевіримо, чи проходить площина, задана рівнянням 2х – Зу + z + 1 = 0

Через задані точки, для цього перевіримо, чи будуть виконуватися рівності:

1) A(0; 0; 0), 2 · 0 – 3 • 0 + 0 + 1 = 1, Отже, точка А не належить площині;

2) В(-1; 0; 1), 2 • (-1) – 3 • 0 + 1 + 1 = 2 + 2 = 0, значить, точка В належить площині;

3) С(0; 0; -1), 2 • 0 – 3 • 0 + (-1) + 1 = 0, отже, точка С належить площині.

1) Запишемо рівняння кожної з координатних площин.

Рівняння площини хОу·. z = 0 (коефіцієнти a, b і d в рівнянні дорівнюють 0).

Рівняння площини хОz: у = 0 (коефіцієнти а, с і d в рівнянні дорівнюють 0).

Рівняння площини уОz х = 0, (коефіцієнти b, с і d в рівнянні дорівнюють 0).

2) Запишемо системи рівнянь, які відповідають прямим, що містять осі координат.

Пряма, що містить ось Ох, – пряма перетину площин хОу і хОz.

Вона задається системою:

Пряма, що містить ось Оу, – пряма перетину площин хОу і уОz.

Вона задається системою:

Пряма, що містить ось Оz, – пряма перетину площин хОz і уОz.

Вона задається системою:

1) Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Ох, то а = d = 0. Це, наприклад, площина 2у – 5z = 0.

2) Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Оу, то b = d = 0, Це, наприклад, площина 2х – 7z = 0.

3) Рівняння площини ах + by + cz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Оz, то с = d = 0. Це, наприклад, площина 5х – 8у = 0.

Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Оскільки вона паралельна осі Ох і осі Оу, то а = 0, b = 0.

А щоб вона була відділена від осей Ох і Оу на 1, треба щоб с = 1, d = -1.

Рівняння площини буде мати вигляд: 2 = 1.

1) Знайдемо координати точки перетину з віссю Ох. В цьому випадку у = 0; z = 0. Маємо: Зх – 3 • 0 + 2 • 0 – 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оу. В цьому випадку х = 0; z = 0.

Маємо: 3 • 0 – Зy + 2 · 0 – 1 = 0; у = . Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оz. В цьому випадку х = 0; у = 0.

Маємо: 3 • 0 – 3 • 0 + 2z – 1 = 0; Точка перетину

2) Знайдемо координати точки перетину з віссю Ох. В цьому випадку у = 0; z = 0.

Маємо: 2х – 3 • 0 + 0 + 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оу. В цьому випадку х = 0; z =.0.

Маємо: 2 · 0 – Зу + 0 + 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оz. В цьому випадку х = 0; у = 0.

Маємо: 2 – 0 – 3 · 0 + z ≠ 1 = 0. z = -1. Точка перетину (0; 0; -1).

10.

1) z = 0 – це площина хОу.

2) у = 1. Це площина паралельна площині хОz і відділена від неї на 1 од.

3) z = -2. Це площина паралельна площині хОу і віддалена від неї на 2 од. вниз.

4) x = 3. Це площина паралельна площині уОz і віддалена від неї на 3 од.

5) Площина х + у = 0 містить вісь Оz та проходить через пряму у = – x,

Яка лежить в площині хОу.

6) Площина x + z + 1 = 0 паралельна осі Оу та проходить через

Пряму z = – х – 1, яка лежить в площині хОz.

7) Площина х + у + z = 1. Знайдемо точки перетину з осями:

Ох: у = 0; z = 0; x = 1; Оy: x = 0; y = 1; z = 0; Оz: x = 0; y = 0; z = 1.

За цими трьома точками побудуємо площину.

11.

1) Рівняння площини хОу: z = 0. Рівняння площин, паралельних хОу і

Віддалених від неї на 2: z = 2; z = -2.

2) Рівняння площини уОz: х = 0. Рівняння площин, паралельних yOz і

Віддалених від неї на 3: х = 3; x = -3.

3) Рівняння площини xОz: у = 0. Рівняння площин, паралельних xOz і

Віддалених від неї на 1: у = 1; у = -1.

12.

1) Площина перпендикулярна до осі Ох, отже паралельна осям Оz і Оу,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти b = 0, с = 0.

Рівняння буде мати вигляд x + d = 0.

2) Площина перпендикулярна до осі Оу, отже паралельна осям Ох і Оz,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти а і с дорівнюють 0.

Рівняння буде мати вигляд у + d = 0.

3) Площина перпендикулярна до осі Оz, отже паралельна осям Ох і Оу,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти а = 0, b = 0.

Рівняння буде мати вигляд z + d = 0.

4) Площина перпендикулярна площині хОу, а отже паралельна осі Оz.

Коефіцієнт с = 0. Рівняння площини аx + by + d = 0.

5) Площина перпендикулярна площині уОz, а отже паралельна осі Оx.

Коефіцієнт а = 0. Рівняння площини by +cz + d = 0.

6) Площина перпендикулярна площині xОz, а отже паралельна осі Оу.

Коефіцієнт b = 0. Рівняння площини аx + сz + d = 0.

7) Площина перпендикулярна площині xОz, а отже паралельна осі Оу.

Коефіцієнт b = 0 в рівнянні. Площина перпендикулярна площині уОz,

А отже паралельна осі Оx. Коефіцієнт а = 0 в рівнянні.

Рівняння площини: z + d = 0.

13.

1) Точка К(0; 1; 0) належить осі Оу. Рівняння площини, перпендикулярної

Осі Оу, та яка проходить через точку К, має вигляд: у = 1.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оx, та яка проходить

Через точку К: x = 0. Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz

Та яка проходить через точку К: z = 0.

2) Рівняння площини, перпендикулярної осі Оx, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) x = 2.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оу, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) у = 2.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) z = 2.

3) Рівняння площини, перпендикулярної осі Ох, та яка проходить

Через точку H (4; 4; 0) x = 4,

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оу, та яка проходить

Через точку H (4; 4; 0) у = 4.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz, та яка проходить

Через точку H(4; 4; 0) z = 0.

14.

1) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку, та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

Х2 + у2 + (z + З)2 = х2 + (у – 2)2 + z2;

Х2 + у2 + z2 + 6z + 9 = х2 + у2 – 4у + 4 + z2; 4у + 6z + 5 = 0 – рівняння площини.

2) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

(х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 = х2 + (у – 1)2 + (z – 1)2;

(х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 – x2 – (у – 1)2 – (z – 1)2 = 0;

(х – 1)2 + у2 – х2 – (у – 1)2 = 0; х2 – 2х + 1 + у2 – х2 – у2 + 2у – 1 = 0;

2у – 2х – 0; у – х = 0 – рівняння площини.

3) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

(х – 1)2 + (у + 1)2 + (z + 3)2 = (х – 3)2 + (у – 2)2 + (z + 1)2;

Х2 – 2х + 1 + у2 + 2у + 1 + z2 + 6z + 9 = х2 – 6х + 9 + у2 – 4у + 4 + z2 + 2z + 1;

4х + 6у + 4z – 3 = 0 – рівняння площини.

15.

1) Оскільки система не має розв’язків, то площини не перетинаються.

2) Площина z = 1 – перпендикулярна осі Оz.

Площина х + у = 1 – паралельна осі Оz. Отже, площини перетинаються.

3) Площина х + у = 1 паралельна осі Оz. Площина у + z = -1 паралельна

Осі Ох. Ох перпендикулярна Оz. Площини х + у = -1 та у + z = -1 перетинаються.

16.

1) Рівняння площини, що перетинає координатні осі в точках А(1; 0; 0), В(0; 1;.0),

С(0; 0; 1), має вигляд: х + у + z = 1.

2) Рівняння площини, що перетинає координатні осі в точках A(2; 0; 0), B(0; 3; 0),

С(0; 0; -1), має вигляд: 3х + 2у – 6z = 6.

17.

Рівняння площини, що містить грань ABCD: z = 0.

Рівняння площини, що містить грань BB1D1D: у = 0.

Рівняння площини, що містить грань ВВ1C1C: х = 0.

Рівняння площини, що містить грань A1B1C1D1: z = 2.

Рівняння площини, що містить грань AA1C1C: у = 1.

Рівняння площини, що містить грань AA1D1D: х = -1.

18.

Ось Ох – пряма перетину площин хОz та хОу.

Рівняння прямої, що містить ось Ох:

Ось Оу – пряма перетину площин хОу та уОz.

Рівняння прямої, що містить ось Оу:

Ось Оz – пряма перетину площини хОz та уОz.

Рівняння прямої, що містить ось Оz:

19.

1) Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини уОz.

Візьмемо площини паралельні площинам хОz та хОу: у = a, z = b.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до площини

Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини хОу.

Візьмемо площини паралельні площинам xOz та уОz.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до хОу:

Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини xOz.

Візьмемо площини паралельні площинам хОу і уОz: х = α, z = b.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до хОу:

2) Ось Ох перпендикулярна осі Оу.

Запишемо рівняння прямої, яка паралельна осі Оу і перетинає вісь Ох.

Рівняння прямої, що містить ось Оу:

Щоб паралельна пряма перетинала ось Ох та відрізнялася від прямої,

Що містить ось Оу, вона має бути такою:

3) Осям Ох і Оу перпендикулярна ось Oz.

Запишемо рівняння будь-якої прямої паралельної осі Oz

І яка відрізняється від неї:

20.

Розв’яжемо систему:

Точки, які належать прямій, мають вигляд: (х; 2х – 1; Зх – 2).

Візьмемо x = 1, отримаємо точку (1; 1; 1).

2) Розв’яжемо систему:

Точки, які належать прямій, мають вигляд: (х; 1 – Зх; 4 – 7х).

Візьмемо х = 0, отримаємо точку (0; 1; 4).

21.

1) – пряма паралельна осі Oz. – пряма паралельна осі Ох.

Прямі, які містять координатні вісі Ох і Oz, перпендикулярні,

Отже прямі, що задані рівняннями – мимобіжні.

2) Об’єднаємо дві системи в одну і розв’яжемо:

Отже, прямі перетинаються в точці (0; 1; 1).

22.

1) і х – у = 1. Об’єднаємо в систему:

Система розв’язків не має, отже пряма і площина не перетинаються,

А отже, вони паралельні.

2) і у = 3. Розв’яжемо систему:

Отже площина і пряма перетинаються в точці (-2; 3; 1).

23.

1) Розв’яжемо систему:

Точки, що належать прямій, мають вигляд: (2у + 3; у; 3у + 5).

Візьмемо у = 0, отримаємо точку (3; 0; 5).

Розв’яжемо систему:

Точки, що належать прямій, мають вигляд:

Візьмемо х = 1, отримаємо точку (1; -1; -5).

24.

1) Точки А(0; 0; 0), В(0; 0; -2), С(0; 0; 2) лежать на осі Оz,

Отже лежать на прямій, що містить ось Оz.

2) Точки А, В, С рівновіддалені від площини хОу на 1.

Точки А, В, С рівновіддалені від площини хОу на 1.

Отже вони лежать на прямій

3) Запишемо рівняння прямої АС і перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В в це рівняння: 1 ≠ 4 ≠ 3.

Рівність не виконується, отже точки не лежать на одній прямій.

4) Запишемо рівняння прямої АС та перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В а це рівняння:

Рівність не виконується, точки не лежать на одній прямій.

5) Запишемо рівняння прямої АС та перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В в це рівняння:

Рівність не виконується, точки не лежать на одній прямій.

25.

1) Розв’яжемо систему:

Пряма і площина перетинаються в точці (-3; -3; -4).

2) Розв’яжемо систему:

Пряма і площина перетинаються в точці (-3; 3; 1).

26.

1) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо рівняння:

4×2 + 4×2 + 16x + 16 + x2 – 2х + 4 – 80 = 0; 9×2 + 14x – 60 = 0;

D = 142 – 4 · 9 · (-60) = 196 + 2160 = 2356 > 0.

Отже рівняння і система мають розв’язок, а отже пряма і сфера перетинаються.

2) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо рівняння:

4×2 + x2 – 6x + 9 + 4×2 + 8x + 4 – 4 = 0; 9×2 + 2x + 9 = 0;

D = 22 – 4 • 9 • 9 = 4 – 324 = -320 < 0.

Рівняння розв’язків не має, отже і система розв’язків не має.

А отже пряма і сфера не перетинаються.

27.

Фігура F, яка задана рівнянням (x – 2)2 + (у + 2)2 + z2 = 1,

Є сфера з центром в точці (2; -2; 0) і радіуса 1.

1) Найближчою точкою фігури F до початку координат є

Точка А перетину прямої O1O зі сферою.

Або або

Отже, пряма О1О має зі сферою дві спільні точки: і

Знайдемо відстані цих точок до початку координат:

Отже,

2) Найвіддаленішою точкою від початку координат

Є точка

3) Найближчою до координатної площини хОу є точка (2; -1; 0),

До координатної площини уОz є точка (1; -2; 0),

До координатної площини хОу є точки кола

4) Найвіддаленішою точкою фігури F від площини xOz є точка (2; -3; 0);

Від площини уОz є точка (3; -2; 0); від площини хОу є точки (2; -2; 1) і (2; -2; -1).

5) Найближчою точкою фігури F від координатної осі Ох

Є точка (2; -1; 0), від координатної осі Оу є точка (1; -2; 0),

Від координатної осі Ог є точка

6) Найвіддаленішою точкою фігури F від координатної осі Ох

Є точка (2; -3; 0); від координатної осі Оу є точка (3; -2; 0);

Від координатної осі Оz є точка

7) 8). Знайдемо точки перетину даної сфери і прямої МО1, де М(2; 2; 2).

Або

Отже, маємо дві точки перетину:

Найближчою точкою є точка а найвіддаленішою

28.

1) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: 1 + у + z = 5. у + 2 = 4 –

Пряма розташована в площині уОz.

2) Підставимо x = 1 в рівняння фігури F: 12 + у2 + z2 = 5. у2 + z2 = 4 –

Рівняння кола, розташованого в площині уОz з центром (0; 0) та радіусом 1.

3) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: yz = 5. – рівняння гіперболи.

4) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: у2 = z – рівняння параболи.

29.

1) Підставимо у = 1 в рівняння фігури F: х + 1 + z = 5. х + z = 4 –

Рівняння прямої. Перетин є прямою.

2) Підставимо у = їв рівняння фігури F: х2 + 1 + z2= 5. x2 + z2 = 4 –

Рівняння кола. Перетин є колом.

3) Підставимо y = 1 в рівняння фігури F: хz = 5. – рівняння параболи.

Перетин є параболою.

4) Підставимо у = 1 в рівняння фігури F: zx = 1. – рівняння параболи.

Перетин є параболою.

30.

1) Знайдемо точку перетину прямої і площини х + у – z = 2.

Отже, шукана точка і вона віддалена від початку координат на відстані:

Відповідь:

2) Найближчою точкою даної фігури до початку координат є точка (5; 25; 5), яка віддалена від початку координат на відстані

Відповідь:

3) Відстань від початку координат до фігури дорівнює відстані від початку координат

До точки (1; 0; 1), тобто

Відповідь:

4) Відстань від початку координат до фігури дорівнює ОА, де А – середина відрізка ВС:

Відповідь:

5) Знайдемо точку перетину сфери (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 1)2 = 2 та прямої

Або

І тоді шукана відстань дорівнює:

Відповідь:

6) Відстань від початку координат до фігури дорівнює відстані О А. ОА = 1.

Відповідь: 1.

(2 votes, average: 3,50 out of 5)

Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої - ГДЗ з математики

Схожі записи:

Лінійна функція Розв’яжіть задачі 882. мал. 40. 883. 1) ні; 2) ні; 3) так. 884. 1) так; 2) ні; 3)так. 885. 1) ні; 2) ні; 3) так....
Вправи для повторення до розділу 2 Розділ 2. Взаємне розміщення прямих па площині Вправи для повторення до розділу 2 До § 5. 226. На рис. 184 суміжні кути ∠2 і ∠3....
Геометричні тіла і поверхні 219. Дано: FABCD – піраміда правильна, AB = 6 см, ∠DFC = 60°. 1) Знайти SABCD i висоту FO. SABCD = 62 = 36 (см2)....
Розділ 5. Лінійні рівняння та їх системи Рівносильні, бо корені однакові. Не рівносильні, бо корені різні. – один корінь; – коренів немає. 5. Нехай у 7-Б класі навчається х учнів, тоді у...
Складніші задачі на побудову Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 19. Складніші задачі на побудову 736. Так. 737. Мал. 401. X належить бісектрисі кута В та...
Відносна частота подій і випадкові величини 756. 757. Відносна частота появи жовтої грані 758. Середнє значення випадкової величини числа очок 759. 760. 761. Такий розподіл випадкової величини відповідає випаданню Очок при...
Об’єм кулі та її частин 1338. А) Нехай ABCDA1В1C1D1 – куб. Оскільки куля вписана в куб з ребром а, то 2г = а, Отже, об’єм кулі Б) Оскільки діагональ куба...
Комбінаторика і правило добутку 605. А) 10! = 2×3×4×5×6×7×8×9×10 = 3 628 800; Б) 13! = 10!×1×12×13 = 6 227 020 800; В) 20! = 13!×4×15×16×17×18×19×20; Г) 25! =...
Об’єми призми і циліндра 1. Радіус циліндричної цистерни відомий, а висоту рідини заміряємо за допомогою вертикального прута і знайдемо об’єм рідини за формулою об’єму циліндра. 2. Об’єм сараю V...
Тіла обертання 1008. Осьовий переріз – це ΔARB1, де BB1 = 2 × СВ = 4 (см), АС + В 1В, В 1C = СB. S =...
Рівняння із вдома змінними 870. Рівняння із двома змінними: б) x + 2у = 7; г) х – у = 1; д) 12x + 10у = 0; е) 0x...
Ознаки рівності прямокутних трикутників Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 14. Ознаки рівності прямокутних трикутників 549. Ні, трикутники не рівні. 550. Мал. 319. ?САВ = ?HDQ...
Лінійні рівняння з однією змінною 793. Лінійними рівняннями є рівняння: а) 2/9х = 8; в) -2,7y = 0. 794. а) 56х = 64; рівняння має 1 корінь, Б) 0х =...
Розв’язування систем лінійних рівнянь методом підстановки Відповідь: (2; 5). Відповідь: (-20; 6). Відповідь: (48; 8). Відповідь: (4; 2). Відповідь: (7; 3). Відповідь: (8; -6). Відповідь: (9; 3). Відповідь: (2; 3,8). 1035....
Дії зі степенями Розв’яжіть задачі. 242. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 243. 1) 5; 2) 16; 3) 5; 4)4. 244. 1) Не вірно; 2) не вірно; 3)...
Конуси 1050. ΔSAPO: ∠АОР = 90°, ОЕ = АЕ = ЕР = 6,5 см → АР = 13 см. АО = 5 см. R = AO,...
Трикутник і його елементи Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 9. Трикутник і його елементи 292. На мал. 194 зображені трикутники ABD, ABC, ОВС. Проти кута...
ВСТУП ДО АЛГЕБРИ 8. 1) Якщо х = 4, то 2х – 3 = 2 • 4 – 3 = 8 – 3 = 5. Якщо х =...
Вправи 375-424 375. ВС – бісектриса ∠ABD; ∠ABD = 80° + 80° = 160°; ∠BAC + ∠ABD = 20° + 160° = 180°; ∠BAC і ∠ABD –...
Об’єм піраміди і зрізаної піраміди 1247. Нехай SABCD – правильна піраміда. SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = AD = 1 дм. З...
Вправи 176-224 176. Якщо три точки лежать на прямій, вони не можуть бути вершинами трикутника. 177. А) Кути прилеглі до сторони МР: ∠KMP і ∠KPM; Б) ∠KMP...
Вписана та описана сфера 1. Нехай О А – радіус кулі, ОА = 1 см. АВ = ΚΚ1 = 2ОА = 2 см. CD = 2СО = 2 см....
Завдання для перевірки знань до §§ 25-30 1. 1) 2х + 3у = 9. 2. Розв’язком рівняння 2х + у = 7 є пара чисел (4; -1). 3. Розв’язком системи рівнянь є...
Вправи 575-624 575. АВ і АС дотикаються до кола з центром О у точках В і С. ∠CBO = 40°. ?АBО – прямокутний, OB ⊥ AB (OB...
Зовнішній кут трикутника та його властивості Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників § 18. Зовнішній кут трикутника та його властивості 438. ∠BAK – зовнішній кут при вершині А. 439. ∠LDP –...
Конус і зрізаний конус 983. Нехай дано конус, твірна якого AM = l, і нахилена до площини основи під кутом ∠MAO = α. А) ΔAMO – прямокутний. OM –...
Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними А) х = 2; у = 1 – розв’язок системи, бо 2 – 2 • 1 = 0 – правильна рівність; 2 + 3 •...
Вправи 425-474 425. АС – основа; AB = CB; ∠ADC = 150°. ∠CAD = ∠BAD = x; ∠ACD = 2x; x + 2x + 150° = 180°;...
Дії над векторами 192. А) Б) В) Г) 193. 194. А) Б) В) 195. 196. бо – протилежні вектори, (аналогічно). 197. 198. А) Б) 199. А) Але оскільки...
Теорема Гульдіна 1379. У трикутнику ABC AB = ВС, AC = a, BK + AC, BK = h. Центром мас трикутника ABC є точка O – точка...
Об’єм піраміди і конуса 1. Об’єм Піраміди Хеопса V дорівнює: 2. Знайдемо відношення довжин висоти і сторони основи на прикладі піраміди Хеопса. Площа основи піраміди – квадрат з площею...
Описані і вписані кола Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 17. Описані і вписані кола 671. Коло, описане навколо трикутника, зображено на мал. 372. 672. Коло,...
Повторення матеріалу 2 класу. Ознайомлення з рівняннями Повторення матеріалу 2 класу. Ознайомлення з рівняннями 3. Числа п’ятого десятка: від 41 до 50. Числа сьомого десятка: від 61 до 70. Таблиця чисел першої...
Алгебра векторів 1. Побудуємо вектори – одиничний вектор 2. Побудуємо вектори 3. Побудуємо вектори 4. Побудуємо вектори 5. 6. 1) Побудуємо вектори 2) Побудуємо вектори 7. Побудуємо...
Домашня самостійна робота № 3 1. (m – n)2 = m2 – 2m + n2. Г) 2. (а – х)(а + х) = а2 – х2. Б) 3. Х2 +...