Об’єм кулі та її частин

1338.

А) Нехай ABCDA1В1C1D1 – куб.

Оскільки куля вписана в куб з ребром а, то 2г = а,

Отже, об’єм кулі

Б) Оскільки діагональ куба дорівнює двом радіусам кулі, то знайдемо діагональ

З ΔB1BD:

Отже, радіус, кулі

Об’єм кулі V дорівнює:

Відповідь: а) б)

1339.

Нехай SA – твірна конуса. ∠SAO = α.

З ΔSAO: AO = SA × cos α = l cos α.

class=""/>(оскільки AO1 – бісектриса кута KAO).,

З ΔAO1O:

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

Відповідь:

1340.

Нехай г – радіус кулі, вписаної в циліндр, тоді H – висота циліндра, H = 2г.

Отже, об’єм кулі об’єм циліндра V2 = πr2H = πr2× 2г = 2πr2.

Твердження доведено.

1341.

Нехай ОО1 = KL = 2г. Об’єм циліндра V1 = πr2× 2г = 2πг3.

Об’єм шара

Отже, при виготовленні кулі

сточено Матеріалу.

Відповідь: 33,3 %.

1342.

Нехай ABCD – квадрат – осьовий переріз циліндра,

AB = BC = CD = DА = 10 см. Радіус циліндра

Vциліндра = π ×AE2× AB = π × 25 × 10 = 250π (см3).

Об’єм кулі 750π = 4πг2,

Відповідь:

1343.

V1- об’єм свинцевої кулі,

V – об’єм циліндричного знака V2 = π × г2 × 3 = 3πг2.

Відповідь:

1344.

Нехай SAB – осьовий переріз конуса, який вписано в шар з центом О,

AS = SB = l, ∠SAB = α.

З ΔSAB за теоремою синусів маємо:

Або звідси

Отже, об’єм кулі

Відповідь:

1345.

Куля розтинається гранями двогранного кута на дві частини: одна – четверта частина кулі, друга – три чверті кулі.

Відповідь: πг3.

1346.

Нехай AO + OB, OB + ОС, ОС + AO.

Об’єм частини кулі, обмеженої площинами АОB, BOC, COA

Дорівнює об’єму кулі, отже,

Відповідь:

1347.

Нехай АВ – діаметр кулі, Об’єм кулі

Площинами куля розбилася на два кульові сегменти і кульовий пояс.

Знайдемо V1 – об’єм сегмента:

Об’єм кульового поясу:

Відповідь:

1348.

Нехай AO1 : O1B = 1 : 3, OA = OB = 12 см, AO1 = х; O1B = 3х, тоді х + 3х = 24;

4х = 24; х = 6. Отже, AO1 = 6 см, O1B = 18 см.

V1 – об’єм першого кульового сегмента;

Відповідь: 360π см3; 1944π см3.

1349.

Нехай OA = 17 см, S1 = 225π см 2, S2 = 264π см 2.

S1 = π × Ο,Α2; 225π = π × Ο1Α2; O1A = 15 (см).

S2 = π × O2B2; 264π = π × O2Β2;

3 ΔO1AO:

З ΔOBO2:

Знайдемо висоту першого сегмента: CO1 = CO – O1O = 17 – 8 = 9 (см)

І другого DO2 = OD – OO2= 17 – 5 = 12 (см).

Об’єм першого сегмента:

Об’єм другого сегмента:

Об’єм кулі.

Об’єм кульового шару:

Відповідь:

1350.

При обертанні півкруга, розбитого на три частики, навколо діаметра утворяться два однакові кульові сектори і кульовий пояс, з якого витягнуто два конуси.

Об’єм кульового сектора

З ΔCOK: ∠COK = 60°;

KD = OD – OK = 9 – 4,5 = 4,5 (см).

Отже,

Об’єм кулі:

Тоді об’єм кульового поясу без двох конусів:

V2 = V – 2V1 = 972 – 2 × 243 = 486 (см3).

Відповідь: 243 см3; 486 см3.

1351.

Маса тіла обчислюється за формулою: m = р × V, де ρ- густина свинцю, V – об’єм тіла.

Знайдемо об’єм шматка свинцю: 1 = 11,4 × V, звідси

Знайдемо об’єм кульки:

Отже, зі шматка свинцю масою 1 кг відлили

Відповідь: ≈ 778 кульок.

1352.

Нехай радіус першого кавуна г, а другого – 2г.

Тоді об’єм першого кавуна Другого –

Густина кавунів однакова і дорівнює ρ,

Тоді

Отже, один кавун у 8 разів важчий за другий.

Відповідь: у 8 разів.

1353.

Знайдемо об’єм півкулі:

Знайдемо об’єм конуса:

Отже, об’єм півкулі у 2 рази більший від об’єму конуса,

Результат експерименту відповідає теорії.

Відповідь: так.

1354.

Знайдемо об’єм чавунної кулі:

Нехай г – внутрішній діаметр кулі, тоді

Отже, об’єм порожнистої кулі

4,71 ≈ 0,0073 × 4π(125 – г3);

0,092г3 ≈ 6,751; г3 ≈ 73,38; г ≈ 4,2.

Відповідь: ≈ 4,2.

1355.

Об’єм космічного апарата

Для того, щоб космічний апарат не тонув у воді, треба щоб його маса була менша ніж 4,18 т.

Відповідь: менша ніж 4,18 т.

1356.

Знайдемо масу краплі мильного розчину діаметром 6 мм:

Знайдемо зовнішній об’єм видутої кулі:

Знайдемо внутрішній об’єм видутої кулі:

Тоді маса видутої кулі буде

Оскільки маса кулі не змінилася, то маємо:

27 ≈ 3 375 000 – г3 ≈ 3 374 974; г ≈ 149,9999.

Отже, товщина плівки бульки: 150,0000 – 149,9999 ≈ 0,0001 (нм).

Відповідь: 0,0001 нм.

1357.

Оскільки густина води 1 кг/дм3, то для того, щоб куля занурилася в воду тільки на половину, вона мати густину матеріалу 0,5 кг/дм3.

Відповідь: 0,5 кг/дм3.

1358.

Нехай R – радіус кулі, OO1 = Н. Тоді висота одного сегмента R – Н,

Другого R + Н. Отже, маємо:

Додамо до першого рівняння друге, отримаємо: 4R3 = 2916; R3 = 729; г = 9, звідси H = 3.

Отже, O1B = R + H = 9 + 3 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

1359.

Нехай SABC – правильний тетраедр, в який вписано кулю з центром в точці О. SO1+ (ABC).

З ΔАВС:

З ΔSO1B:

З ΔASD:

Враховуючи, що

Отримаємо:

Оскільки ΔSDO – ΔSOK, то

Отже, об’єм кулі

Відповідь:

1360.

Нехай MABCDN – октаедр, KO = OL = г кулі.

Отже, об’єм кулі

Відповідь:

1361.

Нехай SABCD – задана піраміда, AB = BC = CD = DA = a,

Vsabcd = V, ∠SAO = α.

Позначимо радіус кулі г, висоту SO = Н.

З ΔABD:

З ΔBSO:

SK = 2r; SO + OK = 2г; OK = 2г = H.

ΔSCK – прямокутний. CO + SK,

За властивістю перпендикуляра маємо: CO2 = SO × OK.

Отримаємо систему:

Піднесемо перше рівняння до квадрата і підставимо в друге.

H2 ctg2α = H(2 г – H); H ctg2 α = 2г – H; 2 г = H ctg2α + H;

Отже, об’єм V кулі дорівнює:

Відповідь:

1362.

Нехай SABC – задана піраміда, ∠CSA = α

SO = H, AB = BC = CA = а, SO1 = O1A = R.

З ΔSOK: SK2 = SO2 + KO2,

З ΔAO1O:

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

Відповідь:

1363.

Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1- правильна зрізана піраміда.

A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1 = 3 см,

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4 см,

O1O2 = = 7 см, O1O = х, OA = R = ОВ.

Оскільки в основах зрізаної піраміди лежать правильні шестикутники,

То О, А = 3 см, O2B = 4 см.

З ΔO1AO: OA2 = O1O2 + O1A2, г2 = x2 + 9.

З ΔO2ΒΟ: OB2 = OO22 + O2B2; г2 = (7 – x)2 + 16.

Отримуємо систему:

x2 + 9 = 49 -14х + x2 + 16; 14x = 56; х = 4. Отже, O1O = 4 (см),

Об’єм кулі, описаної навколо правильної шестикутної піраміди,

Відповідь:

1364.

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда,

OF + SB, SO = R.

З ΔSOF:

ΔSOF – ΔSO1В (∠O1SB – спільний).

R2- BO21 = 12R2 – 36;

З ΔBKO1:

З ΔОВК: OK2 = OB2 + BK2;

R4= 6R2 – 18 + 5R2; R4 – 11R2 + 18 – 0; R2 = 2,

R2 = 9, R = 3.

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

або

Відповідь: або 36π м3.

1365.

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано кулю з центром в точці O1. SSCD = = SABCD, AB = BC = CD = DA = а.

ASCD – рівнобедрений, SL + DC.

SABD =AD × DC = а2;

З ΔSOL:

(як дотичні, проведені з однієї точки до кулі);

ΔSOL – ΔSO1P. З подібності трикутників маємо:

звідси

Об’єм кулі V1 дорівнює

Об’єм піраміди V2дорівнює:

Відповідь:

1366.

Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса, в який вписано кулю з центром в точці О, AK = у, DL = x. AK = AM = у (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). DL = DM = х (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). ΔAOD – прямокутний, OM + AD. За властивістю висоти, проведеної з прямого кута MO2 = AM × MD = y × х. DN = DL = NL = х – у.

З ΔADN:

За умовою

(1 + cos φ)2+ 1 – cos2φ + (1 – cos2φ) = 2m(1 – cos2φ);

1 + 2 cos φ + cos2 φ + 1 – cos2φ + 1 – 2 cos φ + cos2φ = 2m(1 – cos2φ);

3 + cos2φ = 2m – 2m cos2φ; cos2φ(1 + 2m) = 2m -3.

Відповідь:

1367.

Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса., в який вписано кулю радіуса R, BK = х, AL = у. BK = х, AL = у.

Нехай V1- об’єм зрізаного конуса, V2 – об’єм кулі.

З ΔABD:

Нехай тоді 1 – t = = (1 + t) × cos φ;

1 – cos φ = (1 + cos φ) × t;

1 – 2 cos φ + cos2φ + 1 – cos2φ + 1 + 2 cos φ + cos2φ = 2k – 2k cos2φ;

3 + cos2φ = 2k – 2k cos2φ; cos2φ(1 + 2k) = 2k – 3;

Отже,

Відповідь:

1368.

Нехай H – висота частини кулі, яка виступає над водою,

Тоді

90πH2 – 5πH3 = 1296р; 5H2 – 90H2 + 1296 = 0,

Розв’язавши це рівняння, отримаємо H ≈ 4дм.

Відповідь: ≈ 4 дм.

1369.

Нехай ребро куба дорівнює а. Якщо шар дотикається двох прямих, що перетинаються, то центр його лежить на площині, яка перпендикулярна до площини цих прямих і проходить через їх бісектрису. Звідси зрозуміло, що центр кулі лежить в центрі куба.

Цей куб виступає з куба шістьома сегментами, кола основи яких вписані в квадрати граней куба.

Звідси маємо радіус кулі висота сегмента радіус

Кола основи сегмента Отже, об’єм сегменту:

Отже, об’єм спільний кулі і куба, дорівнює:

Об’єм куба

Відповідь:

1370.

Нехай ABCDA1B1C1D1- куб. Розглянемо переріз куба, який проходить через точки O1, E, F. Нехай сторона куба дорівнює а, радіус кулі R, тоді O1O2 = а,

ОО2 = а – R.

3 ΔOFO: OF2 = OO2 + O2F2;

4R2 = 4а2 – 8аR + 4R2 + а2; 8аR = 5а2;

Відповідь: 384 : 125π.