Об’єм прямої призми і циліндра

class=""/> DD1 = 2KD = 2 – 3 = 6 (см).

Тоді об’єм

Відповідь:

1161.

Нехай AB1C1D – переріз прямого паралелепіпеда, AD = a, ∠C1DC = α,

SAB1C1D =S; SAB1C1D = AD × C1D; S = а × C1D;

З ΔC1CD:

Тоді об’єм прямого паралелепіпеда V дорівнює:

Відповідь:

1162.

Нехай ABCDA1B1C1D1- дана призма, в якій ABCD – ромб, AC1 = d, ∠C1AC = α, ∠B1DB = β.

З ΔC1AC: C1C = AC1× sin ∠C1AC = d sin α; AC = AC1× cos α = d cos α.

3 ΔB1DB оскільки B1B = C1C, то BD = BB1 × cos β = d sin α × cos β.

Отже об’єм призми V дорівнює:

V = SABCD× B1B = d2 cos α × sin α × cos β × d sin α = d3 sin2 α × cos α × cos β. Відповідь: d3 sin2α × cos α × cos β.

1163.

Оскільки куля вписана в прямокутний паралелепіпед, то ребро куба дорівнює 2г, і звідси випливає, що об’єм прямокутного паралелепіпеда V дорівнює:

V = SABCD × AA1 = a2 × 2r = 2a2r.

Відповідь: 2а2г.

1164.

Нехай ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпеді ∠BAD = α.

Висота паралелепіпеда співпадає з висотою циліндра, вписаного в паралелепіпед. BB 1 = OO1= h.

Проведемо BL + AD. BL = 2r.

З ΔABL: AD = AB.

Знайдемо

Отже об’єм паралелепіпеда V дорівнює:·

Відповідь:·

1165.

Нехай ABCDA1В1C1D1 – пряма призма, AB = 13 см, BC= 14 см, AC = 15 см.

Знайдемо площу трикутника ABC, скориставшись формулою Герона:

де а, b, с – довжини сторін трикутника, а

Радіус кола R описаного навколо ΔABC збігається з радіусом кулі.

KL = 2R = AA1 = 16,25.

Отже об’єм V призми дорівнює: V = SABC× AA1 = 84 × 16,25 = 1365 (см3). Відповідь: 1365 см3.

1166.

Викопана канава буде мати форму прямого паралелепіпеда, в основі якого лежить трапеція ABCD, в якої AD = 3 м, BC = 2 м, BK – висота, BK = 1,5 м.

AA1= 200 м.

Для того щоб знайти, скільки кубометрів грунту доведеться вийняти, треба знайти об’єм паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1.

Знайдемо

Отже, об’єм паралелепіпеда V = SABCD × AA1= 3,75 × 200 = 750 (м3).

Відповідь: 750 м3.

1167.

Залізничний насип має форму паралелепіпеда, в основі якого лежить трапеція ABCD, в якої AB = 18 м, CD = 8 м, CK – висота, CK = 3 м. BB1 = 1 км.

Для того щоб знайти об’єм 1 км насипу, треба знайти об’єм прямого паралелепіпеда ABCDA1В1C1D1.

Знайдемо площу основи:

Отже, об’єм паралелепіпеда V = SABCD × BB 1 = 39 × 1000 = 39 000 (м3).

Відповідь: 39 000 м3.

1168.

Нехай ABCD – осьовий переріз циліндра, AC = d, ∠CAD = α.

З ΔACD: CD = AC × sin ∠CAD = d × sin α; AD = AC × cos ∠CAD = d × cos α.

Знайдемо об’єм циліндра: V = πR2H, де

H = CD = d × sin α·.

Отже,

Відповідь:

1169.

Нехай ABCD – розгортка бічної поверхні циліндра, ABCD – квадрат,

AB =1,8 дм. Висота H циліндра дорівнює АВ. Знайдемо радіус циліндра R.

З умови AD = 2πR, або 2πR = 1,8, звідси

Отже, об’єм циліндра

Відповідь:

1170.

Нехай в правильній трикутній призмі основою є рівносторонній трикутник,

AB = BC = AC = а, r – радіус основи вписаного в призму циліндра,

R – радіус основи описаного навколо призми циліндра.

Виразимо сторону AABC через радіус вписаного і описаного кіл.

Висота вписаного, описаного циліндра і бічне ребро призми збігаються,

O1O2 = AA1 = h.

Отже, об’єм циліндра, вписаного в призму:

Об’єм циліндра, описаного навколо призми:

Відповідь: 1 : 4.

1171.

Нехай вимірами першого циліндра є R1- висота основи,

H1- висота, а другого R2 – радіус основи, H2 – висота.

Тоді S1бічн. = 2πR1× H1, S2бічн. = 2πR2× H2.

За умовою S1= S2, отже, 2πR1H1 = 2πR2H2,

R1H1 = R2H2. V1 = π R12H1, V2 = πR22H2.

Знайдемо

Твердження доведено.

1172.

Нехай ABCD і CDEF – площини, які перетинають циліндр.

SABCD = SCDEF = 30 см 2, AB = 5 см.

AD + CD, FD + CD, отже, ∠ADF – лінійний кут між площинами

(ABCD) + (CDEF). ∠ ADF = 120°.

SABCD = AB × AD; 30 = 5 × AD; AD = 6 (см).

Розглянемо чотирикутник ΔDFO.

∠ADF – вписаний кут, ∠AOF – центральний кут.

отже, ∠AOF = 240°. Тоді ∠AOF = 360° – 240° = 120°, AO = FO, отже, ADFO – ромб, AO = OF = AD = DF = 6 см.

Звідси об’єм циліндра V = π × AO2× AB = π × 36 × 5 = 180 (см3).

Відповідь: 180 см3.

1173.

Нехай ABCD – переріз циліндра, AD? OO 1,

Об’єм циліндра знайдемо за формулою V = πR2H, де R = ОА, H = AD,

SABCD = S.

Проведемо OK + AB, OK = d.

∠ OA – центральний кут, отже ∠BOA = α.

В рівнобедреному Δ AOB OK – висота, а також і бісектриса,

Отже, ∠KOA = -, 2

Отже,

Відповідь:

1174.

Нехай ABCD – квадрат – переріз циліндра, AD? OO1, OA = r,

Об’єм циліндра знайдемо за формулою V = Πr2Н, де R = OA = r, H = AD.

∠BOA – центральний кут, отже, ∠BOA = β.

З ΔAOB за теоремою косинусів знайдемо AB:

ABCD – квадрат, отже,

Отже,

Відповідь:

1175.

Нехай d – діаметр циліндричної посудини, d = 20,

H – висота рідини у посудині.

Об’єм рідини у посудині знайдемо за формулою

Об’єм рідини разом з деталлю: V2 = π × 100 × (h + 12) = 100πh + 1200π,

Отже, об’єм детaлі V = V2- V1 = 100πh + 1200π – 100π = 1200π.

Відповідь: 1200π.

1176.

Нехай l – довжина колоди, 2 x1- радіус однієї колоди, 3х – радіус другої колоди.

Об’єм першої колоди V1 = π4х2l, об’єм другої колоди V2 = п9х2l.

Відповідь.

1177.

Оскільки з точки зору геометрії кругова пляма на поверхні моря представляє собою циліндр, то його об’єм V = πr2× h, де г2 – радіус циліндра, h – висота,

H = 1 мм.

Отже, 1 = πr2 × 0,001, звідси

Відповідь: 1000 м2.

1178.

Нехай h = 16 дм – рівень рідини у першій посудині, г – радіус першої посудини, h1 – у другiй. V1- об’єм першої посудини, V1= πr2× 16 = 16πr2,

V2- об’єм другої посудини, V2 = π(2г)2 × h1 = 4πr2 × h1. V1 = V2, 16πг2 = 4πг2h,

H1 = 4 (дм).

Відповідь: 4 дм.

1179.

3 точки зору геометрії сталевий дріт являє собою циліндр діаметром 6 мм.

Маса дроту визначається за формулою: m = ρ × V, де F – об’єм циліндра,

ρ – густина сталі. 30 = 7600 × π × 0,000009 × H.

Звідси

Відповідь: ≈ 140 м.

1180.

Знайдемо об’єм панелі, яка з точки зору геометрії являє собою паралелепіпед. V1 = 6 × 1,2 × 0,22 = 1,584 (м3).

Знайдемо об’єм циліндричного отвору:

V2 = π × 0,072 × 6 = 3,14 × 0,0049 × 6 = 0,092.

Об’єм шести отворів: 6 × 0,092 = 0,552.

Отже об’єм V плити без циліндричних отворів: 1,584 – 0,552 = 1,032.

Маса панелі m = ρ1V = 2,5 × 1,032 = 2,58 (т).

Відповідь: 2,58 т.

1181.

Знайдемо об’єм труби газопроводу.

Для цього знайдемо V1 = π × 0,712 × 4 450 000 = 7 043 789 (м3).

Знайдемо радіус полої частини труби: r = 0,71 – 0,011 = 0,689 (м), отже,

Об’єм полої частини труби: V2 = π × 0,6892 × 445 000 = 6 663 277 (м3).

Знайдемо об’єм труби газопроводу V3:

V3 = V1 – V2 = 7 043 789 – 6 633 277 = 410 521 (м3).

Отже, на спорудження газопроводу пішло 7600 × 410 512 = 3 119 891 (т) сталевих труб.

Відповідь: 3 119 891 т.

1182.

З точки зору геометрії рулон паперу являє собою циліндр, OO1 = 85 см,

OA = 45 см, OB = 2 см.

Знайдемо V1 = π × AO2× OO1 = π × 2025 × 85 = 172 125π (см3).

V2 = π × OB2 × OO1 = π × 4 × 85 = 340π (см3).

Знайдемо об’єм рулону паперу.

V = V1 – V2 = 172 125π -340π = 171 785π ≈ 539 405 (см3).

Оскільки товщина паперу 0,1 мм або 0,01 см, то в рулоні

539 405 : 0,01 = 53 940 500 (см3) ≈ 5394 (м3).

Відповідь: ≈ 5394 м3.

1183.

V прута = V призми – V циліндра

V призми = 242 × 2000 = 1 152 000 (мм3)

V циліндра = π × 82× 2000 = 128 000π = 401 920 (мм3).

V прута = 1 152 000 – 401 920 = 750 080 (мм8) = 0,75 (дм3).

Відповідь: 0,75 дм3.

1185.

Нехай ABCDA1B1C1D1- прямокутний паралелепіпед.

AB = m, AD = n, ∠BAD = 60°, B1D = АС.

З Δ ABD за теоремою косинусів маємо:

ABCD – паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

AC2 + Bi)2 = 2(АВ2 + AD2); AC2 + m2 + n2 – mn = 2(m2 + n2);

AC2 + m2 = n2 – mn = = 2m2 + 2n2; AC2 = m2 + n2 + mn.

За умовою B1D =AC.

З Δ B1DB:

Отже, об’єм паралелепіпеда

Відповідь:

1186.

Нехай ABCDA1B1C1D1- заданий паралелепіпед, кожне ребро якого дорівнює

1 см, AC = 2 см.

З Δ AC1C:

Зa властивістю діагоналей ромба маємо:

2(АВ2 + BC2) = AC2 + BD2; 2(1 + 1) = 3 + BD2; BD2 = 1; BD = 1 (см).

Отже, об’єм паралелепіпеда V дорівнює:

Відповідь:

1187.

Нехай ABCA1B1C1- задана призма. SABC = 24 см2,

SAA1B1B = 3 см 2, SB1BCC1 = 4 см 2, SC1CAA1 = 5 см 2, AB = a,

BC = b, CA = c, BB1 =H,

S1 = AB × H = а × H = 3; S2 = BC × H = b × H = 4;

S2 = AC × H = с × H = 5;

Оскільки а2 + b2 = с2, тобто

То ΔABC – прямокутний.

24H2 = 6;

Отже, об’єм призми V дорівнює:

Відповідь: 12 см3.

1188.

Нехай ABCDEA1B1C1D1- задана призма з ребром а. Об’єм правильної п’ятикутної призми знайдемо за формулою:

V = Sосн. × H, де Sосн. = SABCD, H = а.

Отже,

Відповідь:

1190.

Нехай ABCA1B1C1- задана призма, AB = BC = CA. Проведемо площину через вершину A1і сторону BC. Отримана площина (A1BC) – рівнобедрений трикутник. Проведемо A1K + ВС, AK + ВС, тоді ∠A1KA = 60°.

Проведемо AL + (A1BC), AL = d.

З ΔALK:

З ΔAA1K:

Нехай в ΔАВС: AB = BC = CA = а, тоді з ΔАВК:

AB2- BK2 = AK2, звідси

Отже, об’єм V призми дорівнює:

Відповідь:

1191.

Нехай A1- висота піраміди, S1 – площа основи піраміди, h1 = 8 см,

S1 = 12 см2; h2- відстань від вершини до перерізу, S2- площа перерізу. Проведемо переріз піраміди площиною паралельною основі. Оскільки площа перерізу і площа основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершин, то отримаємо: 64S2 = 48;

Отже, об’єм призми дорівнює

Відповідь: 4,5 м3.

1192.

Нехай ABCDE F A1B1C1D1E1F1 – задана шестикутна призма.

Нехай AB = BC = CD = DE = EF = FA = a, AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = EE1 = FF1 = Н.

Знайдемо об’єм призми V:

Оскільки об’єми двох частин відносяться як 1 : 3, то

V1- об’єм першої частини дорівнює:

Звідси S1– площа основи дорівнює

V2- об’єм другої частини:

Звідси S2- площа основи другої частини дорівнює

Отже,

Відповідь:

1194.

А) Знайдемо об’єм циліндра. V = πr2h, де г – радіус основи.

З ΔAB1B: AB = h × ctg φ, тоді

Отже,

Об’єм фігури на рисунку

Відповідь:

Б) Знайдемо об’єм циліндра з вимірами, зображеними на рисунку. V = πr2h.

Для фігури, зображеної на рисунку, маємо:

Звідси

Відповідь:

1195.

Нехай ABCA1B1C1- задана призма. B1AC – переріз, SB1AC = Q,

AB = BC = AC = а. Проведемо BK + AC, B1K + АС, тоді ∠ B 1KB = α.

З Δ АВK:

З AB1B1K:

Знайдемо радіус основи:

Знайдемо об’єм циліндра

1196.

Нехай ABCD – квадрат, AB = BC = CD = DA = α, DF = А,

З ΔADF:

З ΔABF:

Отже, знайдемо об’єм циліндра

Відповідь:

1197.

Нехай ABCD – переріз, (ABCD) ? OO1. . ∠DOA – центральний кут, ∠DOA = 60°, QA = г, OO1 = А.

Знайдемо об’єм циліндра V = π × OA2× OO12 = πr2h.

Для першої частини циліндра маємо: де V – об’єм частини 1.

Звідси

Для другої частини циліндра маємо: де V – об’єм другої частини. Звідси

Знайдемо

Відповідь: