Ознаки рівності прямокутних трикутників

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 14. Ознаки рівності прямокутних трикутників

549. Ні, трикутники не рівні.

550. Мал. 319. ?САВ = ?HDQ (за катетом і гострим кутом: CA = HD, ∠C = ∠H).

Мал. 320. ?ABC = ?CDA (за гіпотенузою АС і гострим кутом: ∠BAC = ∠DAC).

Мал. 321. ?АОВ = ?DCО (за гіпотенузою і катетом: BO = ОС, АО = DC).

551.

?АВС = ?DOC.

552. 1)

∠C = ∠F, ∠B = ∠D, BC = DF.

2)

∠B = ∠E, ∠C = ∠F, BC = EF.

3)

class=""/>

AB = DE, CB = FE, ∠B = ∠E.

4)

∠B = ∠E, CB = DE, AB = EF.

5)

AB = DE, ВС = EF, ∠A = ∠D.

6)

∠A = ∠D, CB = EF, BA = FD.

7)

CB = DE, ∠A = ∠F, ∠B = ∠E.

8)

CB = FE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

553.

?ADC = ?CDB (за двома катетами: АС = BD – за умовою, CD – спільний катет). Із рівності трикутників випливає: AD = BC:

1) 5 см; 2) 0,15 дм; 3) 100 мм.

554.

?ABD = ?CDB (за двома катетами: AB = CD – за умовою, BD – спільний

катет). Із рівності цих трикутників маємо: AD = ВС:

1) 2,5 см; 2) 50 мм; 3) 0,4 дм.

555.

?АВР = ?КОР (за катетом і гострим кутом: AB = KO, ∠APB = ∠KPO – як вертикальні). З рівності цих трикутників маємо: РО = ВР:

1) 12 мм; 2) 2,25 см; 3) 10 дм.

556.

?АОМ = ?BON (за катетом і гострим кутом: АО = ВО – за умовою, ∠AOM = ∠BON – як вертикальні кути). Із рівності цих трикутників маємо: ОМ = ON:

1) 9,12 см; 2) 0,112 дм; 3) 39 мм.

557.

?ВЕM = ?BFM (за гіпотенузою і гострим KV ом, оскільки ВМ – спільна гіпотенуза, ∠EBM = ∠FBM, оскільки ВМ – медіана, то ВМ – бісектриса). Із рівності цих трикутників маємо: ME = MF.

558.

Нехай? АВС – рівнобедреник (АВ = ВС), отже, ∠A = ∠C, CL ⊥ АВ, АК ⊥ ВС. ?АКС = ?CLA за гіпотенузою і гострим кутом (АС – спільна гіпотенуза, ∠A = ∠C). Із рівності цих трикутників маємо: AK= CL.

559.

Точка О – середина відрізка AB, тоді АО = ВО. АС ⊥ a, ВD ⊥ а. ?АСО = ?BDO за гіпотенузою і гострим кутом (АО = ВО, ∠AOC = ∠BOD – як вертикальні кути), тоді АС = BD.

560.

Оскільки AM – бісектриса кута А, то ∠BAM = ∠CAM. MB ⊥ AB, MC ⊥ АС. Доведемо, що MB = MC.

?АВМ = ?ACM – за гіпотенузою і гострим кутом (AM – спільна гіпотенуза, ∠BAM = ∠CAM), тоді MB = MC.

561.

MB ⊥ AB, МС ⊥ АС, ВМ = CM. Доведемо, що М належить бісектрисі кута А, тобто? ВАМ = ?САМ.

?ABM = ?ACM за гіпотенузою і катетом (AM – спільна, ВМ = CM – за умовою), тоді ∠BAM = ∠CAM.

562.

AB ⊥ CD, AK = KB, AC = BD.

?CAK = ?DBK за гіпотенузою і катетом (АС = BD, AK = KB), тоді ∠KАС = ∠KBD:

1) ∠KAC = 30°; 2) ∠KАС = 60°; 3) ∠KAC = 21°.

563.

AB ⊥ a, AC = AD.

Оскільки? ACD – рівнобедрений, AB – його висота, отже, AB – його бісектриса, то ∠CAB = ∠DAB.

1) ∠CAB = 10°, ∠ACB = ∠ADB = 90° – 10° = 80°;

2) ∠CAB = 20°, ∠ACB = ∠ADB = 90° – 20° = 70°;

3) ∠CAB = 30°, ∠ACB = ∠ADB = 90° – 30° = 60°.

564.

AA1 ⊥ AB, BB1 ⊥ AB, AA1 = BB1.

?AA1O = ?ВВ1O за катетом і гострим кутом (АА1 = ВВ1, ∠A1OА= ∠B1OВ як вертикальні кути), тоді AO = BO, тобто точка О – середина відрізка AB.

565. 1)

Нехай АВ = А1В1, АМ = ВМ, А1М1 = В1М1, CM = C1M1.

?АМС = ?А1М1С1 – за гіпотенузою і катетом (AM = А1М1, CM = C1M1, тоді АС = А1С1.

?ABC = ?А1В1С1 за двома катетами (AB = А1В1 – за умовою, АС = A1C1 – за доведеним).

2)

Нехай AB = A1B1, AM = MC, A1M1 = M1C1, BM = B1M1.

?ABM = ?A1B1M1 – за катетом і гіпотенузою (AB = A1B1, BM = B1M1), тоді AM = A1M1. Звідси AB = A1C1 – оскільки половини цих відрізків рівні.

?ABC = ?A1B1C1за двома катетами (AB = A1B1- за умовою, АС = A1C1- за доведеним).

3)

Нехай AB = A1B1, ВН ⊥ АС, B1H1 ⊥ А1C1, BH = B1H1.

?АВН = ?A1B1H1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, ВН = В1Н1), тоді ∠A = ∠A1.

4)

∠A = ∠A1, AL і A1L1 – бісектриси, ∠CAL = 1/2∠A, ∠C1A1L1 = 1/2A1, AL = A1L1. ?CAL = ?C1A1L1 – за гіпотенузою і гострим кутом (AL = A1L1, ∠CAL = ∠C1A1L1), тоді AC = A1C1.

?ABC = ?A1B1C1 за катетом і гострим кутом (АС = А1С1 – за доведеним, ∠A = ∠A1 – за умовою).

566.

АС = A1C1, ВH ⊥ АС, В1H1 ⊥ A1C1, ВH = В1H1.

Оскільки? АВС і? A1B1C1 – рівнобедрені і ВH ⊥ АС, В1H1⊥ A1С1, то

?АВН = ?А1В1Н1 за двома катетами (ВH = В1H1 – за умовою, АH = А1H1 – за доведеним), тоді ∠A = ∠A1, отже, і ∠C = ∠C1 – як кути при основі рівнобедреного трикутника.

?АВС = ?А1В1С1 – за другою ознакою рівності трикутників (АС = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1).

567.

BH ⊥ AC, В1H1 ⊥ А, С1. ∠АВН = ∠A1B1H1, ∠HBC = ∠H1B1C1.

?АВН = ?A1B1H1 за катетом і гострим кутом (ВH = В1H1 – за умовою, ∠АВН = ∠А1В1Н1 – за умовою), тоді АВ = А1В1, ∠A = ∠A1.

?АВС = ?A1B1C1 – за стороною і двома прилеглими кутами (АВ = AJBJ, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1).

BH ⊥ AC, B1H1⊥ A1C1, ВH = В1H1, AM = MC, A1M1 = M1C1, BM = B1M1, AC = A1C1.

?BHM = ?B1H1M1 за гіпотенузою і катетом (ВМ = В1М1, ВН = B1H1), тоді HМ = H1М1. Оскільки АС = A1C1, то AM = A1M1 – як половини рівних сторін, тоді АH = А1H1.

?АВН = ?А1В1Н1 за дома катетами (ВH = B1H1, АH = А1H1), тоді АВ = A1B1, ∠A = ∠A1.

?АВС = ?А1В1С1 за першою ознакою рівності трикутників (АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠A = ∠A1).

568. 1) АВ = А1В1, ВС = В1С1, ВH ⊥ АС, В1Н1 ⊥ А1С1, ВН = В1Н1.

?АВH = ?A1B1H1 за гіпотенузою і катетом (AB = A1В1, ВН = В1H1), тоді AH = A1H1.

?ВНС = ?B1H1C1 за гіпотенузою і катетом (ВС = B1C1, ВН = В1H1), тоді НС = H1C1.

AС = AH + HС; A1С1 = AH1 + H1С1, AС = A1С1.

?АВС = ?А1В1С1 – за трьома сторонами.

2)

AС = A1C1, AD ⊥ ВС, СF ⊥ AВ, A1D1⊥ В1C1, C1F1 J A1B1, AD = A1D1, CF = C1F1.

?ADC = ?A1D1C1 за гіпотенузою і катетом (АС = A1С1, AD = A1D1), тоді ∠C = ∠C1.

?ACF = ?A1С1F1 за гіпотенузою і катетом (AС = A1C1, СВ = С1B1), тоді ∠A = ∠A1.

?АВС = ?A1B1C1 за стороною і двома прилеглими кутами (AС = A1С1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1).

569. Мал. 323.

З прямокутного трикутника AВD:

Мал. 324. Із? AСD:

Із? CDB: BD = СD = 4 см.

Мал. 325. Із? BCD: ∠B = 60°, ∠BCD = 30°,

Відповідь: 1) 3 см; 2) 4 см; 3) 5 см.

570.

Нехай у? ABC ∠A = 90°, ∠C = 60°. Доведемо, що АС = 1/2ВС.

На продовженні катета AС відкладемо відрізок AD = AС і сполучимо точки В і D.

?АВС = ?ABD за двома катетами (AС = AD – за побудовою, AB – спільний катет). З рівності трикутників маємо: ∠C = ∠D = ∠CBD = 60°, тобто? BCD – рівносторонній. Оскільки AС = 1/2СD, а СD = ВС, то АС = 1/2ВС.

571.

AH ⊥ ВС, ∠AВH = 90° – 60° = 30°. З? AВH:

Відповідь: 7 см.

572.

∠B = 60°, тоді ∠A = 90° – 60° = 30°. ∠DCB = 90° – 60° = 30°.

З? BCD: СВ = 2 х DВ = 2 x 1 = 2 (см).

З? АВС: AB = 2 х СВ = 2 х 2 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

573.

Нехай? АВС – прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, тоді ∠A = 30°. Отже, AB = 2ВС = 2 x 6 = 12 см.

Із? CDB: ∠DCB = 30°, тоді

AD = АВ – DB = 12 см – 3 см = 9 см.

Відповідь: 3 см, 9 см.

574. ?ABC – прямокутний: ∠B = 30°, тоді AB = 2АС = 2а.

?АСВ – прямокутний, ∠A = 60°, ∠DCA = 30°, тоді АD = AC/2 = a/2.

?BCD – прямокутний, ∠B = 30°, тоді СD = BC/2 = b/2. BD = AB – AD = 2a – a/2 = 3а/2.

Відповідь: AB = 2а, АВ = a/2, СВ = b/2, BD = 3a/2.

575.

Нехай у прямокутному? ABC (∠C = 90°), АС = 1/2AB.

На промені АС від точки С відкладемо відрізок CD = АС. З’єднаємо точки D i В, отже, AB = AB. Оскільки ВС – медіана і висота? DBA, то? DBA – рівнобедрений, тобто DВ = AB. Отже, AD = AB =DB, тобто? ABB – рівносторонній, тоді ∠A = 60°, ∠CBA = 90° – 60° = 30°.

576.

?СВН – прямокутний, ВС = 8 см, СН = 4 см, тоді СH = 1/2CВ, ∠B = 30°, ∠A = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°, 90°.

577.

?ABC – рівнобедрений (AB = ВС = 6 см), АH ⊥ ВС, АH = 3 см.

?АВH – прямокутний, AB = 6 см, АH = 3 см, АH = 1/2AB, отже, ∠B = 30°, тоді

Відповідь: 30°, 75°, 75°.

578.

AB = ВС = АС = 12 см, DМ ⊥ АС, DС = 1/2BС = 6 см.

?DMC – прямокутний, ∠C = 60°, ∠MDC = 30°, тоді МС = 1/2DС = 1/2 • 6 = 3 (см). AM = АС – MC = 12 см – 3 см = 9 см.

Відповідь: 9 см.

579.

Нехай М – середина сторони AB, тоді AM = MB.

Нехай ∠ACM = х°, ∠MCB = y°, тоді ∠ACB = x° + у°.

?АМС – рівнобедрений, тоді ∠CAM = ∠ACM = х°.

?CMB – рівнобедрений, тоді ∠B = ∠MCB = y°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то маємо: ∠A + ∠B + ∠C = х° + у° + х° + у° = 180°; 2(х° + у°) = 180°; х° + у° = 90°. Отже, ∠ACB = х° + у° = 90°.

580.

Нехай? АВС – рівнобедрений, AB = ВС, ∠ABC = 120°, AD ⊥ ВС, AD = 9 см.

?АBC – прямокутний,

Тоді АС = 2AD = 2 х 9 см = 18 см.

Відповідь: 18 см.

581.

У прямокутному? ABC: ∠C = 60°, ∠A = 90°, CD – бісектриса кута С, тоді ∠DCA = 30°.

?CBD – рівнобедрений, оскільки ∠B = 30°, ∠BCD = 30°, отже, BD = DC.

За умовою задачі BA – DC = 1 см, тобто AD = 1 см. Із трикутника ACD маємо: CD = 2 х AD = 2 x 1 = 2 (см).

Відповідь: 2 см.

582.

Нехай у? АВС (∠A = 90°); ∠C = 60°, АС + ВС = 45 см.

∠B = 30°. Нехай АС = х см, тоді ВС = 2х см. Маємо рівняння: х + 2х = 45; 3х = 45; х = 15, тоді 2х = 30 см. Отже, ВС = 30 см.

Відповідь: 30 см.

583.

Нехай у прямокутному? АВС: ∠C = 15°, АН ⊥ ВС, AM – медіана, AM = 8 см. Оскільки AM = MC = ВМ, то? АМС – рівнобедрений, тоді ∠MAC = 15°. ∠HAM = ∠HAC – ∠MAC = (90° – 15°) – 15° = 60°, тоді ∠AMH = 90° – ∠HAM = 90° – 60° = 30°. З? АМН маємо: АН = 1/2AМ = 1/2 • 8 = 4 (СМ).

Відповідь: 4 см.

584.

Нехай у? ABC: ∠C = 30°, AM – медіана, AH ⊥ ВС. AM = 10 см.

Оскільки AM = 10 см, то ВС = 2 х AM = 2 х 10 = 20 (см).

З? АВС маємо: AB = 1/2ВС = 1/2 • 20 = 10 (см).

Із? АВН (∠H = 90°, ∠B = 60°, ∠A = 30°) маємо: ВН = 1/2АВ = 1/2 • 10 = 5 (см).

Тоді МH = МВ – ВН = 10 см – 5 см = 5 см.

Відповідь: 5 см.

Тестові завдання

1. 1. Г; 2. В; 3. Б; 4. Г; 5. Г.

2. 1. Г; 2. Б; 3. Г; 4. В; 5. Г.

3. 1. Г; 2. В; 3. Г; 4. В; 5. А.

4. 1. Г; 2. А; 3. В; 4. Г; 5. А.