Площа. Площа прямокутника

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

21. Площа. Площа прямокутника

Фігури на рисунку 145, а, б рівні, оскільки вони суміщаються при накладанні.

Рис. 145

Очевидно, що фігури на рисунку 145, а, в нерівні. Проте кожна з них складається із семи квадратів із стороною 1 см.

Про такі фігури кажуть, що їхні площі рівні.

З такою величиною, як площа, ви часто стикаєтесь у повсякденному житті: площа квартири, площа дачної ділянки, площа поля тощо.

Досвід підказує вам,

що рівні земельні ділянки мають рівні площі, що площа квартири дорівнює сумі площ усіх її приміщень (кімнат, кухні, передпокою тощо). Ці приклади ілюструють такі властивості площі фігури.

1) Рівні фігури мають рівні площі.

2) Площа фігури дорівнює сумі площ фігур, з яких вона складається.

Як можна виміряти площу фігури?

Нагадаємо, що для вимірювання відрізків ми вводили одиничний відрізок, а для вимірювання кутів – одиничний кут.

Узагалі, коли потрібно виміряти якусь величину, вводять одиницю виміру.

За одиницю виміру площі беруть квадрат, сторона якого дорівнює одиничному відрізку.

Такий квадрат називають одиничним.

Площу квадрата зі стороною 1 м називають квадратним метром. Пишуть: 1 м2.

Площу квадрата зі стороною 1 см називають квадратним сантиметром. Пишуть: 1 см2.

Площу квадрата зі стороною 1 мм називають квадратним міліметром. Пишуть: 1 мм2.

Виміряти площу фігури – це означає підрахувати, скільки одиничних квадратів у ній уміщується.

Так, площа кожної фігури, зображеної на рисунку 145, дорівнює 7 см2.

Якщо одна сторона прямокутника дорівнює 6 см, а сусідня сторона – 4 см, то цей прямокутник можна розбити на 6 ∙ 4 одиничних квадратів (рис. 146). Тому його площа дорівнює 6 ∙ 4 = 24 (см2).

Рис. 146

Міркуючи аналогічно, доходимо висновку, що коли одна сторона прямокутника дорівнює а одиничним відрізкам, а друга – b одиничним відрізкам, то цей прямокутник можна розбити на а ∙ b одиничних квадратів, а отже, його площа дорівнює ab квадратних одиниць.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сусідніх сторін:

Де S – площа прямокутника, а і b – довжини його сусідніх сторін, виражені в одних і тих самих одиницях.

Оскільки у квадрата всі сторони рівні, то його площу обчислюють за формулою

S = а2,

Де S – площа квадрата, а – довжина його сторони. Саме тому другий степінь числа називають квадратом числа.

Ви знаєте, що рівні фігури мають рівні площі. Проте якщо площі фігур рівні, то не обов’язково будуть рівними самі фігури (рис. 145).

Для вимірювання площ земельних ділянок також використовують такі одиниці виміру: ар (замість 1 ар скорочено пишуть 1 а) і гектар (замість 1 гектар скорочено пишуть 1 га):

1 а = 10 м ∙ 10 м = 100 м2,

1 га = 100 м ∙ 100 м = 10 000 м2.

У побуті 1 ар називають соткою.

Розв’язуємо усно

1. Скільки:

1) сантиметрів міститься в: 1 дм; 1 м; 3 дм; 5 м 2 дм; 12 дм 5 см; 40 мм;

2) метрів міститься в: 1 км; 2 км 418 м; 4 км 16 м; 800 см; 20 дм?

2. Обчисліть:

1) суму кубів чисел 3 і 2;

2) куб суми чисел 3 і 2;

3) різницю квадратів чисел 8 і 6;

4) квадрат різниці чисел 8 і 6.

3. Човен за 5 год пройшов 40 км. За скільки годин він пройде з тією самою швидкістю 24 км?

4. Скільки літрів води може перекачати насос за 8 хв, якщо 5 таких насосів за 6 хв перекачують 450 л води?

5. Яку одну й ту саму цифру треба поставити замість зірочок, щоб запис 1* + 3* + 5* = 111 став правильною рівністю?

Вправи

569.° 1) Скільки квадратних сантиметрів містить 1 дм2? 1 м2?

2) Скільки квадратних метрів містить 1 км2?

570.° Обчисліть площу прямокутника, сусідні сторони якого дорівнюють 14 см і 8 см.

571.° Обчисліть площу квадрата зі стороною 7 дм.

572.° Сторона прямокутника дорівнює 16 см, а сусідня сторона на 6 см більша за неї. Обчисліть площу прямокутника.

573.° Сторона прямокутника дорівнює 48 см, а сусідня сторона у 8 разів менша від неї. Обчисліть площу прямокутника.

574.° Периметр прямокутника дорівнює 162 дм, а одна зі сторін – 47 дм. Знайдіть площу прямокутника.

575.° Периметр прямокутника дорівнює 96 м, і він у 8 разів більший за одну зі сторін прямокутника. Знайдіть площу прямокутника.

576.° Знайдіть площу квадрата, периметр якого дорівнює 96 см.

577.° Периметр прямокутника дорівнює 4 м 8 дм, одна з його сторін у 5 разів більша за сусідню сторону. Знайдіть площу прямокутника.

578.° Периметр прямокутника дорівнює 6 дм 8 см, одна з його сторін на 1 дм 6 см менша від сусідньої сторони. Знайдіть площу прямокутника.

579.° Виразіть:

1) в арах: 12 га; 45 га; 6 га 28 а; 14 га 68 а; 32 400 м2; 123 800 м2; 2 км2 14 га 5 а; 4 км2 72 га 16 а;

2) у квадратних метрах: 5 а; 17 а; 8 га; 63 га; 5 га 72 а; 14 га 43 а;

3) у гектарах і арах: 530 а; 1204 а; 16 300 м2; 85 200 м2.

580.° Виразіть:

1) у квадратних сантиметрах: 8 дм2; 16 дм2; 4 м2; 38 м2; 16 м219 дм2; 74 мя 3 дм2;

2) у гектарах: 340 000 м2; 5 830 000 м2; 53 км2; 14 км2; 5 км2 18 га; 24 км2 6 га.

581.° Поле прямокутної форми має площу 56 а, його довжина – 80 м. Обчисліть периметр поля.

582.° Поле прямокутної форми має площу 48 а, його ширина – 150 м. Обчисліть периметр поля.

583.° Обчисліть периметр і площу фігури, зображеної на рисунку 147 (розміри дано в сантиметрах).

Рис. 147

584.° Обчисліть периметр і площу фігури, зображеної на рисунку 148 (розміри дано в сантиметрах).

585.° Чи вистачить 5 т гороху, щоб засіяти ним поле, яке має форму прямокутника зі сторонами 500 м і 400 м, якщо на 1 га землі треба висіяти 200 кг гороху?

586.° Батько вирішив обкласти кахлем стіну кухні, довжина якої дорівнює 4 м 50 см, а висота – 3 м. Чи вистачить йому 15 ящиків кахлю, якщо одна плитка мас форму квадрата зі стороною 15 см, а в одному ящику міститься 40 плиток?

587.° Фермер Петро Працелюб посіяв огірки в теплиці, довжина якої дорівнює 16 м 50 см, а ширина – 12 м. Скільки кілограмів огірків збере фермер у своїй теплиці, якщо з 1 м2 збирають 30 кг огірків?

588.° Витрати емалевої фарби на одношарове покриття становлять 180 г на 1 м2. Чи вистачить 3 кг емалі, щоб пофарбувати стіну довжиною 6 м і висотою 3 м?

589.°°Квадрат із стороною 12 см і прямокутник, довжина якого дорівнює 18 см, мають однакові площі. Знайдіть периметр прямокутника.

590.° Квадрат і прямокутник мають рівні площі, сусідні сторони прямокутника дорівнюють 3 см і 12 см. Знайдіть периметр квадрата.

591.° Ширина прямокутника дорівнює 26 см. На скільки квадратних сантиметрів збільшиться площа цього прямокутника, якщо його довжину збільшити на 4 см?

592.°° У скільки разів збільшаться периметр і площа прямокутника, якщо кожну його сторону збільшити в 4 рази?

593.°° Довжина прямокутника дорівнює 32 см. На скільки квадратних сантиметрів зменшиться площа цього прямокутника, якщо його ширину зменшити на 5 см?

Рис. 148

594.° Площа квадрата ABCD дорівнює 16 см2 (рис. 149). Чому дорівнює площа прямокутника ACFE?

Рис. 149

Рис. 150

595.° Довжина кожної зі сторін прямокутного аркуша паперу дорівнює цілому числу сантиметрів, а площа аркуша – 12 см2. Скільки квадратів площею 4 см2 можна вирізати із цього прямокутника?

596.°° Довжина кожної зі сторін прямокутного аркуша паперу дорівнює цілому числу сантиметрів, а площа аркуша – 18 см2. Скільки квадратів зі стороною 3 см можна вирізати із цього аркуша?

597.° Усередині прямокутника ABCD (рис. 150) вирізали отвір прямокутної форми. Як одним прямолінійним розрізом поділити отриману фігуру на дві фігури, що мають рівні площі?

598.° Використовуючи чотири з п’яти зображених на рисунку 151 фігур, складіть квадрат.

Рис. 151

599.° Чи можна розрізати квадрат на кілька частин так, щоб з них можна було скласти два квадрати, довжини сторін яких дорівнюють цілому числу сантиметрів, якщо сторона даного квадрата дорівнює: 1)5 см; 2) 6 см?

Вправидля повторення

600. Із вершини прямого кута ABC (рис. 152) провели промені BD і BE так, що кут АВЕ більший за кут DBE на 34°, а кут CBD більший за кут DBE на 23°. Яка градусна міра кута DBE?

Рис. 152

601. Виконайте дії:

1) 1008 ∙ 604 – 105 984 : 12 – 54 321;

2) (57 ∙ 34 + 812 754 : 27) : 18.

Задача від Мудрої Сови

602. На озері почали розпускатися лілії. Кожного дня площа поверхні озера, зайнята ліліями, збільшувалась удвічі. На двадцятий день ліліями заросла вся поверхня озера. На який день половина озера була вкрита ліліями?