§ 1. Найпростіші геометричні фігури та їхні властивості
§ 4. Суміжні та вертикальні кути
Практичні завдання
86. ∠BAC – гострий, ∠OAB – суміжний до кута ВАС.
∠АОВ – прямий, ∠COA – суміжний до кута АОВ.
∠BOC – тупий, ∠AOB – суміжний до кута ВОС.
87. ∠AOC і ∠COB – суміжні.
88. а) ∠ABD i ∠CBD;
Б) ∠MKP i ∠PKO; ∠MКЕ і ∠ERO;
В) ∠FCN і ∠NCE; ∠FCM і ∠MCE;
Г) ∠ABC і ∠CBD; ∠ADF
89. а) Ні; б) так; в) ні.
90. ∠AOC i ∠COB; ∠COB і ∠BOD; ∠BOD і ∠DOA; ∠DOA і ∠AOC – суміжні.
∠AOC і ∠BOD; ∠AOD і ∠BOC – вертикальні.
91. 1) 24°+ 156°= 180°. Можуть.
2) 63° + 107° = 170° ≠ 180°. Не можуть.
Відповідь: 1) так; 2) ні.
92. 1) 180° – 29° = 151°; 2) 180° – 84° = 9G°; 3) 180° – 98° = 82°; 4) 180° – 135° = 45°.
Відповідь: 1) 151°; 2) 96°; 3) 82°; 4) 45°.
93. 1) Два гострих кута не можуть бути суміжними, бо їх сума менша 180°.
2) Два тупих кути не можуть бути суміжними, бо їх сума більша 180°.
3) Прямий і тупий кути не можуть бути суміжними, бо їх сума більша 180°.
4)
Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні.
94. Якщо один із суміжних кутів прямий, то суміжний з ним кут теж прямий.
Відповідь: прямий.
95. 1) 180° – ∠ABC= 180° -36° =144°.
2) 180° – ∠ABC = 180° – 102° = 78°.
Відповідь: 1) 144°; 2) 78°.
96. ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 42° = 138° (бо ∠1 і ∠2 – суміжні); ∠3 = ∠1 = 42° (бо ∠1 і ∠3 – вертикальні); ∠4 = ∠2 = 138° (бо ∠4 і ∠2 – вертикальні).
Відповідь: ∠2 = 138°; ∠3 = 42°; ∠4 = 138°.
97. 1) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = х° + 70°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, маємо рівняння: х + 70 + х = 180, звідси 2х + 70 = 180; 2х = 180 – 70; 2х = 110; х = 110 : 2; х = 55, тоді х + 70 = 55 + 70 = 125. Отже, ∠BOC = 55°, ∠AOC = 125°.
Відповідь: 125° і 55°.
2) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = 8х°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, то маємо рівняння: 8х + х = 180, звідси 9х = 180; х = 180 : 9; х = 20, тоді 8х = 8 х 20 = 160. Отже, ∠BOC = 20°, ∠AOC = 160°.
Відповідь: 20° і 160°.
3. Нехай ∠BOC = 2х°, тоді ∠AOC = 3х°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, то маємо рівняння, 2х + 3х = 180, звідси 5х = 180; х = 180 : 5; х = 36, тоді 2х = 2 х 36 = 72°, 3х = 3 х 36 = 108. Отже,∠BOC = 72°, ∠AOC = 108°.
Б) Неправильне твердження, бо вони можуть прямими.
Відповідь: 72° і 108°.
98. 1) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = 17х°. Оскільки ∠AOC + ∠BOC = 180°, то маємо рівняння: х + 17х = 180, звідси 18х =180; х =180 : 18; х = 10, тоді 17х = 17 х 10 = 170. Отже, ∠BOC = 10°,∠AOC =170°.
Відповідь: 10° і 170°.
2) Нехай ∠BOC = 19*°, тоді ∠AOC = 26*°. Оскільки ∠AOC + ∠BOC = 180°, то маємо рівняння 19х + 26х = 180, звідси 45х = 180; х = 180 : 45; х = 4, тоді 19х = 19 х 4 = 76, 26х = 26 x 4 = 104. Отже, ∠BOC = 76°, ∠AOC = 104°.
Відповідь: 76° і 104°.
99. 1) Правильне твердження.
2) Неправильне твердження, бо для кожного кута, відмінного від розгорнутого, можна побудувати два суміжних кути.
3) Неправильне, бо якщо кути рівні, то вони не є обов’язково вертикальними.
4) Правильне твердження.
5) Неправильне твердження.
Б) Неправильне твердження, бо вони можуть прямими.
7) Неправильне твердження, бо вони можуть бути рівними.
8) Неправильне твердження, бо сума кутів АОВ і DCF дорівнює 180°, проте вони не є суміжними.
9) Правильне твердження.
10) Правильне твердження.
11) Правильне твердження.
12) Неправильне твердження, бо ∠AOB = ∠BOC, проте ∠AOB і ∠BOC – не є вертикальними.
13) Неправильне твердження, бо кути АОС і ВОС мають спільну сторону ОС, проте вони не є суміжними.
100. Два кути, утворені при перетині двох прямих, можуть бути або суміжними, або вертикальними. Якщо б вони були суміжними, то їх сума дорівнювала б 180°, але це не так. Тому ці кути є вертикальними.
101. 1) Нехай ∠1 + ∠2 = 106°. Оскільки ∠1 і ∠2 – вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 106° : 2 = 53°. Оскільки ∠2 і ∠3 – суміжні, то ∠3 = 180° – ∠1 = 180° – 53° = 127°. Оскільки ∠3 i ∠4 – вертикальні, то∠4 = ∠3 = 127°.
Відповідь: 53°, 127°, 53°, 127°.
2) Нехай ∠4 + ∠2 + ∠3 = 305°. Оскільки ∠2 і ∠4 – суміжні, то ∠4 + ∠2 = 180°, тоді ∠3 = 305° – 180° = 125°. Оскільки ∠3 і ∠4 – вертикальні, то ∠4 = ∠3 = 125°. Оскільки ∠2 і ∠4 – суміжні, то ∠2= 180° – 125° = 55°. Оскільки ∠1 і ∠2 – вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 55°.
Відповідь: 55°, 125°, 55°, 125°.
102. Нехай ∠3 – ∠2 = 64°, Z2 = х°, тоді ∠3 = х° + 64°. Враховуючи, що ∠2 i ∠3 – суміжні, то х + х + 64 = 180. Звідси 2х + 64 = 180; 2х = 116; х = 116 : 2; х = 58, тоді х + 64 = 58 + 64 = 122. Отже ∠2 = 58°, Z3 = 122°. Оскільки ∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 – вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 58°, ∠4 = ∠3 = 122°.
Відповідь: 58°, 122°, 58°, 122°.
103. ∠1 і ∠4, ∠3 і ∠5 – вертикальні, тоді ∠4 = ∠1, ∠3 = ∠5.
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Відповідь: 180°.
104. ∠MOC = 180° – ∠BOM – ∠AOC = 180° – 70° – 15° = 95°.
∠DOK і ∠COM – вертикальні, то ∠DOK = MOC = 95°.
∠AOM = ∠AOC + ∠COM = 70°+ 95° = 165°.
∠АОD = ∠АОK + ∠КOD = 15° + 95° = 110°.
Відповідь: 95°, 165°, 110°.
105. ∠AOC i ∠BOC – суміжні, OM i ON – бісектриси кутів AOC і BOC відповідно.
Відповідь: 90°.
106. ∠AOC і ∠DOB – вертикальні, ОМ і ON – бісектриси кутів АОС і BOD. ∠MON = ∠1 + ∠AOD + ∠3 = ∠1 + ∠2 + ∠BOC = ∠AOC + ∠BOC = 180°.
Відповідь: 180°.
107. ∠ABF = 80°, ∠ABD = 30°, BM і BN – бісектриси кутів FBC і FBD.
Відповідь: 75°.
108. ∠AOB i ∠BOC – суміжні, BD – бісектриса кута АОВ, ∠BOC – ∠BOD = 18°. Нехай ∠BOD = х°, тоді ∠AOD = х°, ∠BOC = х° + 18°. Враховуючи, що ∠AOD + ∠DOB + ∠BOC = 180°, маємо рівняння: х + х + х + 18 = 180, звідси 3х + 18 = 180; 3х = 180 – 18; 3х = 162; х = 162 : 3; х = 54. Тоді ∠AOB = 2 х 54° = 108°, ∠BOC = 54° + 18° = 72°.
Відповідь: 72° і 108°.
109. Кути МКЕ і РКЕ – суміжні. KF – бісектриса кута МКЕ, ∠FKE – ∠PKE = 24°. Нехай ∠PKE = х°, тоді ∠MKF = ∠FKE = х° + 24°. Враховуючи, що ∠MKF + ∠FKE + ∠EKP = 180°, маємо рівняння: х + 24 + х + 24 + х = 180, звідси 3х + 48 = 180; 3х = 180 – 48; 3х = 132; х = 132 : 3; x = 44. Toдi ∠PKE = 44°, ∠MKE = 180° – 44° = 136°.
Відповідь: 136° і 44°.
110. Нехай ∠ACB = х°, тоді з умови ∠MAB + ∠ACB = 180° випливає, що ∠MAB = 180° – ∠ACB = 180° – х°. Оскільки ∠ACB і ∠KCB – суміжні, то ∠KCB = 180° – ∠ACB = 180° – х°. Отже, ∠MAB =∠KCB = 180° – х°.
111. Якщо ∠MBC = ∠BEF, тоді ∠ABE + ∠BED = ∠MBC + (180° – ∠BEF) = ∠MBC + (180° – ∠MBC) = ∠MBC + 180° – ∠MBC = 180°.
112. Якщо два кути мають спільну сторону і їхня сума дорівнює 180°, то не обов’язково ці кути будуть суміжними. ∠AOB і ∠BOC мають спільну сторону OB і ∠AOB + ∠BOC = 120° + 60° = 180°, проте ∠AOB і ∠BOC не є суміжними.
Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте
113. Прямі а і b розбивають фігуру на шість частин.
(2 votes, average: 3,00 out of 5)