Об’єм конуса і зрізаного конуса

1295.

Нехай SA – твірна конуса, ∠SAO = α, SA = l.

З ΔSAO : SO = SA × sin ∠SAO = I sin α,

AO = AS × cos ∠SAO = І × cos α.

Отже, об’єм конуса V дорівнює:

Відповідь:

1296.

Нехай радіус основи свинцевого конуса дорівнює r, а висота циліндра – H.

Об’єм V конуса:

Об’єм V1циліндра: V1 = πr2H.

Прирівняємо праві частини 6πr2 = πr2H, звідси H = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

1297.

З геометричної

точки зору купа щебеню – це конус, твірна якого SA = 4 см,

∠SAO = 30°.

З ΔSAO:

Отже, об’єм V конуса дорівнює:

Відповідь: 8π (см3).

1298.

На рисунку зображено осьовий переріз конусів. Оскільки кут природного ухилу зберігається, то, якщо висота одного конуса вдвічі більша, то і радіус вдвічі більший.

Отже у першому конусі зерна у 8 разів більше, ніж у другому.

1299.

Нехай виміри першого конуса: г – радіус

основи, h – висота конуса; виміри другого конуса: kr – радіус основи, kh – висота другого конуса.

Об’єм V1першого конуса: V1 = πr2h.

Об’єм V2другого конуса: V2 = πk2r2× kh = πk2r2h.

1300.

Як видно з рисунка, радіус півкола AB є твірною конуса.

Знайдемо радіус конуса із співвідношення:

π × AB = 2π × OB, звідси

З ΔAOB:

Отже, об’єм конуса

Відповідь:

1301.

Нехай в основі правильної, трикутної піраміди лежить трикутник зі стороною a, тоді радіус основи конуса, вписаного в піраміду а радіус основи конуса, описаного навколо піраміди, h – висота піраміди, а також і висота вписаного і описаного конусів.

Знайдемо V1об’єм вписаного конуса:

Знайдемо V2об’єм описаного конуса:

1302.

Нехай SA – твірна конуса, ∠ASO = α. AB = m,

Оскільки ∠BOA – центральний кут, то ∠BOA = φ.

В рівнобедреному МОВ:

Проведемо OK + AB.

З ΔAKO:

З ΔSAO:

Отже, об’єм конуса дорівнює:

Відповідь:

1303.

Проведемо площину SAB. В цій площині проведемо SK + AB. Тоді за теоремою про три перпендикуляри OK + AB, отже, ∠SKO = 45°, AB = a, ∠AOB = 60°.

ΔAОВ рівнобедрений (оскільки OA = OB як радіуси основи).

OK – висота ΔAOB, а також бісектриса і медіана.

З ΔKOB:

Розглянемо ΔSKO: оскільки ∠SKO = 45°, то і ∠KSO = 45° і

Отже, об’єм V конуса дорівнює:

Відповідь:

1304.

Нехай SA – твірна конуса, OB + SA, OB = d, ∠ BOA = α.

З ΔOBA:

За властивістю висоти прямокутного трикутника маємо:

OB2 = AB × SB, d2 = d × tgα × SB, звідси

З ΔSOB:

Отже, об’єм V конуса дорівнює:

Відповідь:

1305.

Нехай SAB – осьовий переріз, SA = AB = SB, Sпов. =12πсм2.

Нехай SB – твірна, OB – радіус SB = I, OB = г, тоді S = πR(R + l).

Оскільки ΔSAB рівносторонній,

Отже, 3l2 =48, l2 =16, l = 4,

Тобто SB = 4 см, OB = 2 см.

З ΔSOB:

Отже, об’єм конуса дорівнює:

Відповідь:

1306.

Нехай MO – радіус вписаної кулі, MO = r, ∠SAK = α.

ΔMOA = ΔKOA (за гіпотенузою і катетом: AO – спільна гіпотенуза, OM = OK).

Отже,

З ΔAOK:

З ΔSAK:

Отже, об’єм конуса V дорівнює:

Відповідь:

1307.

SO1 = O1A = 2r – радіус кулі, AO – радіус основи конуса, AO = г.

З ΔO1AO:

Знайдемо V – об’єм конуса:

Або

Тоді

Відповідь: або

1308.

Нехай SAB – осьовий переріз конуса, вписаного в сферу, SO1 = AO1 = r,

∠ASO = α.

За теоремою синусів для ΔASB:

Звідси AB = 2г sin 2α, AO = r sin 2α.

3 ΔSAO: SO = AO × ctgα = r sin 2α ctgα = 2r cos2 α.

Отже, об’єм V конуса:

Відповідь:

1309.

Нехай OB і O1A – радіуси основ зрізаного конуса O1A = 16 см, OB = 10 см,

∠BAC = 45°.

Проведемо BC + AO1, тоді AC = AO1 = CO1 =16 – 10 = 6 (см).

З ΔABC оскільки ∠BAC = 45°,тоі ∠ABC = 45°, тобто ΔABC — рівнобедрений.

BC = AC = 6 см.

Отже, об’єм V зрізаного конуса дорівнює:

Відповідь: 1032π.

1310.

Нехай H – висота зрізаного конуса і циліндра.

Об’єм V зрізаного конуса:

Об’єм циліндра: V1 = πr2H, де r – радіус основи циліндра.

V = V1; 196 πН = πr2H, звідси г2 = 196, г = 14 (см).

Відповідь: 14 см.

1311.

Оскільки через точки O1, O2проведені площини паралельні основам,

То OA? O1A1? O2A2? O3A3 і за теоремою Фалеса AA1 = A1A2 = A2A3,

OO1= O1O2 = O2O3 = 6 (см) .

Розглянемо чотирикутник O1A1A3O3 – це трапеція.

O2A2- середня лінія трапеції, отже,

Розглянемо трапецію OAA2O2:

О1А1 – середня лінія трапеції, отже,

4O1A1 = 10 + O1A1 +11; 3O1A1 =21; O1A1 = 7 см ;

Відповідь: 218π см3, 386π см3 , 602π см3 .

1312.

Нехай ромб ABCD обертається навколо прямої a, CB + a.

З ΔABE : BE = AB × sin ∠BAE = 6 × sin 30° = 3 (см), BC = 2ВЕ = 6 см.

При обертанні ромба ABCD навколо прямої а утвориться фігура, яка складається з двох зрізаних конусів (r1 = OA, R = BC, r2 = O1D), з яких вийняті

Конуси (г1 = OA, H1 = OB, г2 = O1D, H2 = BO1).

OA = BE = 3.

V1- об’єм зрізаного конуса:

Оскільки обидва зрізаних конуси рівні, то і V2 – об’єм другого зрізаного конуса

Теж дорівнює

V3- об’єм конуса з радіусом основи OA і висотою OB дорівнює:

Оскільки об’єми конусів рівні, то

Знайдемо об’єм утвореної фігури:

Відповідь:

1313.

Нехай SC і SD – твірні, конуса, SC = SD = І, ∠COD = β.

Проведемо SE + CD, OE – проекція SE, отже, за теоремою про три перпендикуляри OE + CD, отже, ∠SEO = α. Нехай OD = г.

З ΔSOD: SO2 = SD2 – OD2 = l2 – г2.

З ΔOED:

З ΔSOE:

Отже, об’єм конуса:

Відповідь:

1314.

Нехай SA і SB – твірні конуса. SAB – січна площина, ∠ASB = α, SAB = Q.

Проведемо SN + AB, тоді за теоремою про три перпендикуляри ON + AB,

Отже, ∠SNO = β. Позначимо AB = 2х.

З ΔASN:

З іншого боку, SSAB = Q, отримаємо

3 ΔSNO:

З ΔNOB:

Отже, об’єм V конуса дорівнює:

Відповідь:

1315.

Нехай SAB – січна площина, AB = OB = OA = г. Оскільки AB = OB = OA, то ∠BOA = 60° ,

Основа циліндра розбилася на два сектори, один з кутом 60°, а другий 300°..

Оскільки висота отриманих частин однакова, то об’єми будуть відноситься також як площі основ, тобто 1 : 5.

1316.

Нехай в конусах S – спільна висота, SO = h,

∠SBO = α. ∠ASB – ∠BSO = β, ∠ASB = x.

З ΔSBO: ∠BSO = 90° – α . х – 90° + α = β, х = β + 90° – α.

∠ASB = β + 90° – α.

∠ASO = ∠ASB + ∠BSO = β + 90° – α + 90° – α = 180° + β – 2α,

З ΔSBO: BO = SO × ctg∠SBO = h × ctgα.

З ΔSAO: AO = SO × tg∠ASO = h × tg(180 + β – 2α) = h × tg(β – 2α).

Отже,

Відповідь:

1317.

Нехай в піраміді SABC SC = SB = SA = 10 см, AB = BC = AC =16 см.

Знайдемо

Нехай R – радіус кола, описаного навколо ΔABC.

3 ΔSBL:

Отже,

Знайдемо SΔSCA = 48 (см2).

Радіус кола, описаного навколо ΔSAC:

Знайдемо об’єм піраміди з вершиною в точці В і основою SAC:

З ΔSPB:

ΔSPB ~ ΔSOM.

Отже, об’єм конуса:

Відповідь:

1318.

Нехай BDA – осьовий переріз конуса, в який вписано кулю,

ON = r, ∠BOA = α, тоді ∠AOC = 180° – α, ∠CAO = 90° – (180° – α) = α – 90°,

∠CAB = 2∠CAO = 2α – 180°.

З ΔОАС: AC = OC × tg(180 – α) = – OC × tgα = – r × tg α.

З ΔBCA: BC = AC × tg(2α – 180°) = AC × tg 2α = – г × tg α × tg 2α.

Отже, об’єм конуса

Відповідь:

1319.

Нехай SAB – осьовий переріз. Psab = 10 дм, AB = d.

Psab = SA + SB + АВ; 10 = 2SA + d;

З ΔSAO:

Отже,

Дослідимо функцію

Де d? [0; 5].

V′(d) = 0; d(4 – d) = 0; d = 0 або d = 4.

Оскільки V(0) = 0,

V(5) = 0, то найбільше значення об’єму конуса дорівнює

при d = 4 дм.

Відповідь: d = 4 дм.

1320.

Нехай площа бічної поверхні конуса дорівнює S,

Тоді S = πRL, або

Нехай тоді H = 2Rk i

Тоді

Дослідимо функцію

Де k? (0; +∞), на найбільше значення*

V′(k) = 0; 1 – 2k2 = 0; 2k2 = 1;

не належить проміжку (0; +∞).

Тоді: якщо то V′(k) > 0,

V(k) – зростає на проміжку

Якщо то V′(k) < 0, V(k) – спадає на проміжку

Отже, – єдина точка максимуму функції V(k) на проміжку (0; +∞), тоді найбільше значення функції V(X) на проміжку (0; +∞) досягається в точці

Отже, відношення висоти конуса до діаметра дорівнює І при цьому значенні конус має найбільший об’єм при заданій площі бічної поверхні.

Відповідь:

1321.

Нехай трикутник ABC з вписаним колом – осьовий переріз конуса, описаного навколо кулі. O1O = г,

∠SBO = α,

З ΔBOO1:

З ΔSBO:

Об’єм конуса:

Розглянемо функцію (1)

Зрозуміло, що при тих же значеннях α, при яких у = ymin, V = Vк. min.

Знайдемо похідну функції (1):

Враховуючи, що знаходимо критичну точку

При переході а через критичну точку від менших значень до більших, різниця

змінює знак з “-” на “+”.

Отже, функція (1) в точці α. приймає мінімальне значення.

Обчислимо його:

Отже,

Таким чином,

Відповідь:

1322.

Нехай O1O2- радіус вписаної кулі, ∠KO2L = 60°, O1O2 = r, O2K + SB (як радіус, проведений в точку дотику).

∠SO2K = 90° – ∠KO2L = 90° – 60° = 30°.

3 ΔSO2K:

З ΔSO1B:

Отже, об’єм конуса V дорівнює:

Відповідь:

1323.

Нехай O1A = r1, O2C = r2, O1O = г.

З ΔACK : CK2 = CA2- AK2, оскільки CK = г2 – г1, то маємо:

(r2- r1) = (г1 + г2)2 = 4r2 – 2r1r2 = 2г1г2 – 4г2; 4г1r2 = 4г2; r1r2 = r2.

3V = r × S.

Відповідь: SV = r × S

1324.

Нехай O1O3- радіус вписаної кулі O1O3 = г, ∠DO3C = α.

З ΔO3O2D:

∠AO2D= 90° (оскільки DO3і AO3 бісектриса кутів O і А).

З ΔAO1O3:

Отже, об’єм V зрізаного конуса дорівнює:

Відповідь:

1325.

Нехай ABCD – осьовий переріз, AC + BD, AD = l, ∠ADC = α.

З ΔAKD: AK = AD × sin∠ADK = І × sinα.

Оскільки ΔDMC – прямокутний, ∠M = 90°, а DM = MC, то ΔDMC – рівнобедрений. ∠MDC = ∠MCD = 45°, Отже, ∠ADM = a-45°.

З ΔAMD:

З ΔDMC:

З ΔAMB:

Отже, об’єм конуса V :

Відповідь:

1326.

Нехай ABCD – ромб, AB = BC = CD = AD = а, ∠BAD = α.

При обертанні ромба навколо прямої утвориться фігура, яка складається зі зрізаного конуса (R = OC, r = AB ), з якого витягнутий конус (г1 = OD).

Оскільки ∠BAD = α, то ∠OAD = 90° – α.

З ΔAOD: AO = AD × cos(90° – α) = AD × sin α = а × sin α.

OD = AD × sin(90° – α) = AD × cos α = а × cos α.

OC = OD + DC = a cos α + а = а(1 + cos α).

Знайдемо V1- об’єм конуса:

Об’єм утвореної фігури;

Відповідь: πа3 sin α(1 + cos α).

1327.

Трикутник ASB – осьовий переріз конуса. Відрізок MN – перетин осьового перерізу конуса з перерізом конуса площиною, заданою в умові задачі, отже, MN + SD. OD = r, SN = d. CNFO – квадрат → NF = г.

Позначимо ∠SAD = SOF = 2α, тоді SD = AD × tg2α.

Маємо:

З ΔAOD: AD = OD × ctg α (оскільки AO – бісектриса ∠SAD).

AD = г × ctgα, тоді

З ΔSOF:

Г × 2tgα = (d + r)(1 – tg2α). (d + г) × tg2α + 2rtgα – (d + r) = 0 .

Отже, маємо:

Відповідь: