Home ⇒ 📕Довідник з геометрії ⇒ Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур


Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур

Геометрія

Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур

Треба добре розуміти: коли ми доводимо тео­ре­му або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обгрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися

тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або до­вести.

Задача на ознаки рівності трикутників

Задача. На рисунку Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Довести, що Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Доведення:
(Зверніть увагу: дані кути Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур не є кутами трикутників, що розглядаються.)
1) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк вертикальні з рівними кутами ( Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і

src="/image/2/sprav-ukr3939_fmt.jpeg" class=""/> відповідно).
2) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа доведеним;
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк вертикальні;
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою.
Отже, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа стороною й двома прилеглими до неї кутами.

Задача на рівнобедрений трикутник

Задача. На рисунку Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Довести, що Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур – рівнобе­дрений.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Доведення:
1) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк суміжні з рівними між собою кутами Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за ознакою рівнобедреного трикутника.
3) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурІ Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: AD = CF за умовою; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним.
Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними).
4) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи рівних трикутників.
Отже, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур – рівнобедрений трикутник за означенням.

Задача на паралельність прямих

Задача. На рисунку Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Знайти: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Розв’язання
1) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за ознакою паралельних прямих, оскільки Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур є зовніш­німи різносторонніми при прямих a, b і січній c.
2) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур є внутрішніми односторонніми при Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і січній c. Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за властивістю паралельних прямих. Отже, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.

Задача на суму кутів трикутника

Задача. Один із кутів трикутника дорівнює Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Висота та бісектриса, проведені з вершини цього кута, утворюють кут Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Знайдіть невідомі кути трикутника.
Розв’язання.
Нехай у Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; BN – висота ( Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур); BL – бісектриса Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур (див. рисунок).
Знайти: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
1) BL – бісектриса Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою. Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за властивістю гострих кутів прямокутного трикут­ника.
4) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.

Задача на коло

Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, якщо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Розв’язання
1) OB – радіус, проведений у точку дотику.
Значить, за означенням дотичної: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур рівно­­бедрений, бо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як радіуси одного кола; це означає, що Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як кути при основі рівнобедреного трикутника.
4) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.

Додаткова побудова

У багатьох задачах для успішного розв’язання треба увести деякий елемент, якого не було в умові,- зробити додаткову побу­дову.
Задача 1. На рисунку Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Довести, що Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Доведення:
1) Додаткова побудова: DF.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
2) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: DM = = DE за умовою; MF = EF за умовою; DF – спільна. Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за трьома сторонами.
3) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із поняттям медіани трикутника.
Задача 2. Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є медіаною.
Доведення:
Нехай у Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурBD – бісектриса Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;
BD – медіана (див. рисунок).
Довести, що Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
1) Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини – DF і з’єднаємо точку F з точкою C.
(Зверніть увагу: це стандартна додат кова побудова у задачах на медіану.)
2) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк вертикальні; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа побудовою; Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за першою ознакою.
3) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою (BD – бісектриса); Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за ознакою рівнобедреного трикутника.
5) CF = AB; CF = BC, значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, що й треба було довести.
Задача 3. Висота і медіана, які проведені з однієї вершини трикутника, поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.
Розв’язання
Нехай у Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур (див. рисунок) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Знайти Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
1) Додаткова побудова: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурІ AOD: AD – спільна; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою.
Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа другою ознакою. Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
3) Розглянемо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурІ AOM: АО – спільна. Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою.
Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа теоремою про суму кутів трикутника. Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа другою ознакою. Значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Враховуючи, що АО – медіана ABC, отримуємо Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
5) Розглянемо прямокутний Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
6) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур – прямокутний Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;
Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить, Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
7) Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5,00 out of 5)


Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур - Довідник з геометрії


Схожі записи:

  1. Многогранники Геометрія Многогранники Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, – ребром двогранного кута. Півплощини називаються Гранями двогранного кута. Площина,...

  2. Множення вектора на число Геометрія Вектори Множення вектора на число Добутком вектораНа число називається вектор , тобто . Для будь-якого вектора і чисел і . Для будь-яких двох векторів...

  3. Теорема про триперпендикуляри Геометрія Стереометрія Теорема про триперпендикуляри Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див....

  4. Нерівність трикутника Геометрія Трикутники Нерівність трикутника Теорема. Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них...

  5. Об’єми многогранників Геометрія Об’єми тіл Об’єми многогранників Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти. . На рисунках наведені приклади призм із різними основами. Для прямокутного...

  6. Кути, вписані в коло Геометрія Кути, пов’язані з колом Кути, вписані в коло Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається Плоским кутом. Плоскі кути із...

  7. Ознака паралельності прямих Геометрія Стереометрія Ознака паралельності прямих Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок)...

  8. Паралельність прямих і площини Геометрія Стереометрія Паралельність прямих і площини Дві прямі в просторі називаються Паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать...

  9. Площа квадрата Геометрія Площі фігур Площа квадрата ; ....

  10. Довжина кола Геометрія Многокутники Довжина кола Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим самим числом для будь-яких двох...

  11. Перпендикулярність площин Геометрія Стереометрія Перпендикулярність площин Дві площини, що перетинаються, називаються Перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих...

  12. Відстань між точками Геометрія Декартові координати на площині Відстань між точками Якщо , – довільні точки і AB відстань між ними, то або . У випадку, коли точка...

  13. Площа паралелограма Геометрія Площі фігур Площа паралелограма Площа паралелограма обчислюється за формулою S = ha, де h – висота, a – сторона, до якої проведена ця висота....

  14. Зрізаний конус Геометрія Тіла обертання Зрізаний конус Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса....

  15. Поворот Геометрія Рух Поворот Поворотом площини навколо даної точки називається такий рух, при якому кожний промінь, що виходить із даної точки, повертається на один і той...

  16. Інші комбінації геометричних тіл Геометрія Комбінації геометричних тіл Інші комбінації геометричних тіл Конус є вписаним у циліндр (див. рисунок нижче), коли основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а...

  17. Описана піраміда Геометрія Комбінації геометричних тіл Описана піраміда Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі – точка...

  18. Координати середини відрізка Геометрія Декартові координати на площині Координати середини відрізка Якщо , – довільні точки, – середина відрізка AB, то ; ....

  19. Площа трапеції Геометрія Площі фігур Площа трапеції Де h – висота, a, b – основи трапеції. , де h – висота, m – середня лінія. . Якщо...

  20. Перпендикулярність прямих і площин Геометрія Стереометрія Перпендикулярність прямих і площин Дві прямі називаються Перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно...

  21. Симетрія відносно прямої Геометрія Рух Симетрія відносно прямої Нехай а – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр AX на пряму а. На продовженні цього перпендикуляра...

  22. Об’єми круглих тіл Геометрія Об’єми тіл Об’єми круглих тіл Об’єм циліндра (див. рисунок) дорівнює добутку площі його основи та висоти. ; . Об’єм конуса (див. рисунок) дорівнює одній...

  23. Рівняння кола Геометрія Декартові координати на площині Рівняння кола – рівняння кола з центром у точці і радіусом R. Зверніть увагу: рівняння , де , задає коло...

  24. Площа чотирикутника Геометрія Площі фігур Площа чотирикутника...

  25. Паралелограм Геометрія Чотирикутники Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не...

  26. Пропорційність відрізків хорд і січних кола Геометрія Кути, пов’язані з колом Пропорційність відрізків хорд і січних кола Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то (рисунок...

  27. Геометричне місце точок Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Геометричне місце точок Геометричним місцем точок (ГМТ), які мають певну властивість, називається така фігура, що складається з усіх точок...

  28. Відстань між мимобіжними прямими Геометрія Стереометрія Відстань між мимобіжними прямими Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок із кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них. Теорема....

  29. Многокутники Геометрія Многокутники Ламаною … називається фігура, яка складається з точок , , ,…, і відрізків, що їх послідовно сполучають. Точки , , , …, називаються...

  30. Ознака паралельності площин Геометрія Стереометрія Ознака паралельності площин Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці...

  31. Доведення від супротивного Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Доведення від супротивного Цей спосіб доведення складається з таких етапів. 1. Припускають протилежне тому, що стверджується теоремою. 2. На...

  32. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будьякого кута від 0° до 180° Геометрія Декартові координати на площині Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будьякого кута від 0° до 180° Візьмемо коло на площині Oxy з центром у...

  33. Пряма й обернена теореми Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Пряма й обернена теореми Формулювання теореми складається з двох частин. В одній говориться про те, що дано. Ця частина...

  34. Теорема Фалеса Геометрія Чотирикутники Теорема Фалеса Теорема 1 (Фалеса). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні...

  35. Циліндр, вписаний у кулю Геометрія Комбінації геометричних тіл Циліндр, вписаний у кулю Основи циліндра є рівновіддаленими від центра кулі (рисунок нижче зліва). Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої...