Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур

Геометрія

Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур

Треба добре розуміти: коли ми доводимо тео­ре­му або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обгрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або до­вести.

Задача на ознаки рівності трикутників

Задача. На рисунку  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Довести, що  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Доведення:
(Зверніть увагу: дані кути  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур не є кутами трикутників, що розглядаються.)
1)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк вертикальні з рівними кутами ( Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур відповідно).
2) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа доведеним;
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк вертикальні;

/>  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою.
Отже,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа стороною й двома прилеглими до неї кутами.

Задача на рівнобедрений трикутник

Задача. На рисунку  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Довести, що  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур – рівнобе­дрений.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Доведення:
1)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк суміжні з рівними між собою кутами  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за ознакою рівнобедреного трикутника.
3) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурІ  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: AD = CF за умовою;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним.
Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними).
4)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи рівних трикутників.
Отже,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур – рівнобедрений трикутник за означенням.

Задача на паралельність прямих

Задача. На рисунку  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Знайти:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Розв’язання
1)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за ознакою паралельних прямих, оскільки  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур є зовніш­німи різносторонніми при прямих a, b і січній c.
2)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур є внутрішніми односторонніми при  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і січній c. Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за властивістю паралельних прямих. Отже,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.

Задача на суму кутів трикутника

Задача. Один із кутів трикутника дорівнює  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Висота та бісектриса, проведені з вершини цього кута, утворюють кут  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур. Знайдіть невідомі кути трикутника.
Розв’язання.
Нехай у  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур; BN – висота ( Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур); BL – бісектриса  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур (див. рисунок).
Знайти:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
1) BL – бісектриса  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою. Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за властивістю гострих кутів прямокутного трикут­ника.
4) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за доведеним;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.

Задача на коло

Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, якщо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
Розв’язання
1) OB – радіус, проведений у точку дотику.
Значить, за означенням дотичної:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур рівно­­бедрений, бо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як радіуси одного кола; це означає, що  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як кути при основі рівнобедреного трикутника.
4)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.

Додаткова побудова

У багатьох задачах для успішного розв’язання треба увести деякий елемент, якого не було в умові,- зробити додаткову побу­дову.
Задача 1. На рисунку  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Довести, що  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Доведення:
1) Додаткова побудова: DF.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
2) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур: DM = = DE за умовою; MF = EF за умовою; DF – спільна. Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за трьома сторонами.
3)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із поняттям медіани трикутника.
Задача 2. Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є медіаною.
Доведення:
Нехай у  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурBD – бісектриса  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;
BD – медіана (див. рисунок).
Довести, що  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
1) Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини – DF і з’єднаємо точку F з точкою C.
(Зверніть увагу: це стандартна додат кова побудова у задачах на медіану.)
2) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур і  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЯк вертикальні;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа побудовою; Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за першою ознакою.
3)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за умовою (BD – бісектриса);  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур за ознакою рівнобедреного трикутника.
5) CF = AB; CF = BC, значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, що й треба було довести.
Задача 3. Висота і медіана, які проведені з однієї вершини трикутника, поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.
Розв’язання
Нехай у  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур (див. рисунок)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
Знайти  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур
1) Додаткова побудова:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
2) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурІ AOD: AD – спільна;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою.
Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа другою ознакою.  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
3) Розглянемо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурІ AOM: АО – спільна.  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа умовою.
Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа теоремою про суму кутів трикутника.  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігурЗа другою ознакою. Значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Враховуючи, що АО – медіана ABC, отримуємо  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
5) Розглянемо прямокутний  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур:  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
6)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур – прямокутний  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;
 Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур, значить,  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.
7)  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур;  Приклади розвязування типових задач з геометрії для найпростіших фігур.



1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...

Слова з прямим і переносним значенням
Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур