Розділ 1 ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
§ 4. РОЗКЛАДАННЯ ЧИСЕЛ НА МНОЖНИКИ. НАЙБІЛЬШИЙ СПІЛЬНИЙ ДІЛЬНИК
Ви знаете, що кожне натуральне число, більше за 1, має кілька дільників, тому його можна подати як добуток своїх дільників. Наприклад: 5=1-5;6=1-6 або 6 = 2 ∙ 3; 18 = 1 ∙ 18, 18 = 2 ∙ 9 або 18 = 3 ∙ 6. Про такі рівності кажуть, що дане число розклали на множники, а саму рівність називають розкладом, числа на множники.
Число 5 – просте. Його можна розкласти на множники тільки одним способом. Числа б і 18 – складені. Для них існує два і більше розкладів на
18 = 2 ∙ 9 = 2 ∙ 3 ∙ 3.
А вже в цьому розкладі всі множники є простими числами.
Запам’ятайте!
Розклад числа на множники, у якому всі множники – прості числа, називається розкладом числа на прості множники.
? Чи є розкладом на прості множники рівність 5 =1 * 5? Ні. У цьому розкладі один із множників не є простим. Це число 1. Проте будемо вважати, що для будь-якого простого числа теж можна
Задача 1. Розкладіть на прості множники число 210.
Розв’язання.
За допомогою розкладу числа на прості множники шукають спільні дільники двох чисел. Наприклад, у чисел 1 2 і 30 едва прості спільні дільники – числа 2 і 3. Але числа 12 і 30 діляться і на число 6, тобто на добуток своїх спільних дільників. Число б – найбільше число, на яке одночасно ділиться і число 1 2, і число 30. Таке число називають найбільшим спільним дільником двох чисел 12 і 30.
Записують: НСД(12; 30) = б і говорять: “Найбільшим спільним дільником чисел 12 і 30 є число б”.
Задача 2. Знайдіть НСД чисел 18 і 45.
Розв’язання.
Запам’ятайте!
Найбільшим спільним дільником двох чисел називається найбільше число, на яке ділиться кожне з да них чисел.
Запам’ятайте!
Правило знаходження НСД Щоб знайти НСД двох чисел:
1) розкладіть дані числа на прості множники;
2) знайдіть добуток спільних дільників даних чисел.
? Чи можна знайти НСД двох чисел, які не мають спільних дільників, крім числа 1? Так. Але НСД таких чисел дорівнює 1.
Два числа, НСД яких дорівнює 1, називають взаємно простими. Наприклад, НСД (8; 21) = 1. Отже, числа 8 і 21 – взаємно прості. Два різні прості числа також є взаємно простими. Наприклад, НСД (7; 13) = 1, тому прості числа 7 і 13 є взаємно простими.
? Чи можна знайти НСД кількох чисел? Так. Для цього виконують ті самі дії, що і в задачі 3, але для кількох чисел. Наприклад, знайдемо НСД (9; 12; ЗО). Маємо: 9 = 3 ∙ 3 = 32, 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 22 ∙ З, 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5. Звідси НСД (9; 12; 30) = 3.
Дізнайтеся більше
Цікавий спосіб знаходження НСД двох чисел описав у своїй книзі “Начала” давньогрецький математик Евклід (близько 365-300 років до н. е.). На честьученого цей спосіб називають “алгоритмом Евкліда”.
Нехай потрібно знайти НСД двох чисел а і b, де а > b. Із даних чисел утворимо пари: а і b та а – b і b. Неважко помітити, що НСД дня кожної пари той самий: НСД (а, b)= НСД (а – b; b). Число а – b позначимо через с. Із чисел с і Ь знову оберемо більше, нехай це буде число b. Віднімаємо від більшого числа менше: b – с. Тоді маємо, що НСД (а; b)= НСД (а – b; b) = НСД (с; b) = НСД (b; с) = НСД (b – с; с). Повторюємо цей ланцюжок міркувань, допоки не отримаємо пару однакових чисел (d;d). Число d і є НСД чисел а і b.
Наприклад, НСД (56; 16) = НСД (56 – 16; 16) = НСД (40; 16) = НСД(40-16; 16) = НСД (24; 16) = НСД (24-16; 16) = НСД(8; 16) = НСД (16; 8) = НСД (16 – 8; 8) = НСД (8; 8) = 8.
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Що називається розкладом числа на прості множники?
2. Чи можна розкласти на прості множники просте число?
3. Як розкласти складене число на прості множники?
4. Яке число називається найбільшим спільним дільником двох чисел?
5. Як знайти найбільший спільний дільник двох чисел?
6. Які два числа називають взаємно простими?
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
121′. Чи є розкладом на прості множники рівність:
1)10 = 2-5; 2)10=10; 3)10 = 2,5-4?
122′. Чи правильно, що спільним дільником чисел 12 і 8 є число:
1)8; 2)4; 3)12; 4)2?
123′. Чи правильно, що найбільшим спільним дільником чисел 12 і 8 є число:
1)8; 2)4; 3)12; 4)2?
124′. Чи правильно, що число 7 є взаємно простим із числом:
1)3; 2)14; 3)16; 4)42?
125°. На які прості числа ділиться число:
1)15; 2)32; 3)36; 4)44?
126 . На скільки простих множників можна розкласти число:
1)17; 2)18; 3)22; 4)56?
127°. Розкладіть на прості множники число:
1)28; 2)48; 3)64; 4)72.
128°. Розкладіть на прості множники число:
1)42; 2)54; 3)84; 4)96.
129 . Знайдіть усі дільники числа, яке є значенням числового виразу 3 ∙ 5 ∙ 7.
130°. Чи правильно, що число 4 є спільним дільником чисел:
1) 16 і 22; 2) 24 і 30; 3) 36 і 64; 4) 44 і 96?
131°. З натуральних чисел від десяти до шістдесяти випишіть ті, які діляться: 1) на 6; 2) на 9; 3) на 12.
132°. На координатному промені позначте точки з координатами, які є дільниками числа 16.
133°. На координатному промені позначте точки з координатами, які є дільниками числа 12.
134°. Чи правильно, що найбільшим спільним дільником чисел 24 і 18 є число:
1)72; 2)4; 3)6; 4)8?
135°. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1) 28 і 42; 2) 34 і 51; 3)64і48; 4) 75 і 125.
136°. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел;
1)24 і 36; 2) 26 і 65; 3)70 і 105; 4) 96 і 144.
137°. Знайдіть найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу:
138°. Знайдіть найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу:
139°. Знайдіть найменше число, найбільшим спільним дільником якого і числа 24 є число:
1) 6; 2) 8; 3) 12.
140°. Чи правильно, що взаємно простими є числа:
1) 6 і 21; 2) 27 і 111; 3)36 і 117; 4) 44 і 95?
141°. Дано числа: 5; 12; 18; 25; 26; 33; 37. Випишіть усі можливі пари взаємно простих чисел.
142°. Запишіть усі двоцифрові числа, менші від двадцяти, які є взаємно простими з числом 20.
143°. Запишіть усі двоцифрові числа, більші за двадцять, але менші від тридцяти, які є взаємно простими з числом 25.
144. Знайдіть усі числа, які розкладаються на два прості одноцифрові множники.
145. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1) 204 і 420; 2)144і324; 3) 625і875; 4) 126 і 378.
146. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1)162 і 270; 2) 154 і 396; 3)279 і 496; 4) 270 і 495.
147. Яку найбільшу кількість однакових наборів можна скласти із 150 ручок і 315 олівців?
148. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 540 тюльпанів і 405 нарцисів?
149. Дано натуральні числа від двадцяти до тридцяти. Випишіть з них усі можливі пари взаємно простих чисел.
150. Дано натуральні числа від сорока до п’ятдесяти. Випишіть з них усі можливі пари взаємно простих чисел.
151. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1)15, 45 і 80; 2)16, 28 і 36; 3)34, 36 і 90; 4)42, 70 і 98.
152. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1)8, 12 і 20; 2) 25, 40 і 100; 3) 32, 36 і 60; 4) 44, 66 і 132.
153. Яку найбільшу кількість однакових новорічних подарунків можна скласти із 135 мандаринів, 189 яблук і 243 цукерок?
154. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 336 білих троянд, 528 червоних троянд і 720 жовтих троянд?
155*. Запишіть найменше трицифрове число, найбільшим спільним дільником якого і числа 312 є число 39.
156*. Запишіть найбільше трицифрове число, найбільшим спільним дільником якого і числа 252 є число 42.
157*. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1)54, 108, 162 і 378; 2) 405, 630, 945 і 1350.
ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ
158. Прямокутний металевий лист, розміром 52 х 78 см, потрібно розрізати на найменшу кількість однакових квадратів. Скільки таких квадратів можна отримати та які розміри має кожний із них?
159. Тато вирішив облицювати три стіни ванної кімнати плиткою квадратної форми так, щоб її не розрізати. Усі стіни кімнати мають форму прямокутника і розміри: 240 см і 140 см; 240 см і 220 см; 240 см і 140 см. Який найбільший можливий розмір однієї плитки? Скільки таких плиток потрібно для облицьовування ванної кімнати?
ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ
160. Розв’яжіть рівняння:
1) (х + 6,5) – 7,9 = 18,4; 2)(х-13,8) ∙ 2,6 = 39,52.
161. Сплав золота і срібла містить 33 % золота. Скільки золота і срібла міститься у сплаві масою 2,6 кг?
(1 votes, average: 5,00 out of 5)