Теореми

§ 2. Трикутники

11. Теореми

269.

Теорема

Умова

Висновок

4.1

Кути АОС і СОВ – суміжні

∠AOC + ∠COB = 180°

8.2

X належить серединному перпендикуляру відрізка AB

ХА = ХВ

9.1

?ABC – рівнобедрений з основою АС

1) ∠A = ∠C;

2) бісектриса кута В є медіаною і висотою

10.3

Два кути трикутника ABC рівні

?ABC – рівнобедрений

11.2

Точка

X віддалена від кінців відрізка AB

X належить серединному перпендикуляру відрізка AB

270. 1) Теорема – властивості: 4.1; 8.2; 9.1; 11.2.

2) Теореми – ознаки: 10.3.

271. 1) Якщо кути трикутника рівні, то він рівносторонній (пряме і обернене твердження є правильними).

2) Якщо бісектриси двох кутів є доповняльними променями, то ці кути вертикальні (пряме твердження є правильним, а обернене – хибним).

 Теореми

3) Якщо два кути суміжні, то кут між їхніми бісектрисами прямий (пряме твердження є хибним, а обернене – правильним).

 Теореми

class=""/>

4) Якщо два трикутники рівні, то сторона і протилежний кут одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і протилежному їй куту другого трикутника (пряме твердження є хибним, а обернене – правильним).

 Теореми

272. 1) Якщо AB + ВС = АС, то точка В лежить між точками Я і С (пряме і обернене твердження є правильними).

2) Якщо периметри двох трикутників не рівні, то ці трикутники не рівні (пряме твердження є хибним, а обернене – правильним).

 Теореми

3) Якщо кут є тупим, то його градусна міра більша за 90° (пряме твердження є хибним, а обернене – правильним).

 Теореми

273. 1) Відрізок АВ не перетинає пряму m;

2) градусна міра кута ABC не більша за 40°;

3) обидва суміжні кути більші за 90°;

4) промені ОА і OB є доповняльними;

5) відрізок має більше одної середини або не має жодної середини.

274. 1) Кут ABC є прямим;

2) трикутник МКЕ не є рівнобедреним;

3) через точку на даній прямій можна провести більше одної прямої, перпендикулярної даній, або не можна провести жодної прямої, перпендикулярної даній.

275. Припустимо, що трикутник є рівнобедреним. Тоді висота, проведена до основи, і бісектриса трикутника, проведена із вершини, протилежної до основи, збігається, а це суперечить умові. Отже, трикутник не є рівнобедреним.

276. Припустимо, що медіана BD є висотою трикутника ABC, тоді AB = ВС, що суперечить умові. Отже, медіана BD трикутника ABC не є його висотою.

277. Припустимо, що кути вертикальні, тоді вони рівні, що суперечить умові. Отже, дані кути не можуть бути вертикальними.

278. Припустимо, що обидва кути менші за 90°, тоді їх сума не дорівнює 180°, що суперечить теоремі про суміжні кути. Отже, з двох суміжних кутів хоча б один не менший від 90°.

279. Якщо у двох рівнобедрених трикутників бічні сторони рівні та медіани, проведені до бічних сторін, рівні, то ці трикутники рівні. Або, якщо бічна сторона і медіана, проведена до цієї сторони одного рівнобедреного трикутника, відповідно дорівнюють бічній стороні І медіані, проведеній до цієї сторони, другого рівнобедреного трикутника, ці трикутники рівні.

Доведення.

Нехай AB = A1B1, AD = BD, A1D1 = B1D1, CD = C1D1.

?BCD = ?B1C1D1 за трьома сторонами (CВ = C1B1,  Теореми CD = C1D1). Із рівності трикутників випливає, що ∠B = ∠B1. Отже, ?ABC = ?А1В1С1 за першою ознакою (AB = А1В1, BC =B1C1, ∠B = ∠B1).

 Теореми

280. Якщо сторона, медіана, проведена до цієї сторони, і кут між медіаною та цією стороною одного трикутника дорівнюють відповідно стороні, медіані, проведеної до цієї сторони, і куту між медіаною та цією стороною другого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доведення:

Нехай ВС = В1C1, ВМ = MC, В1М1 = M1C1, AM = A1M1, ∠AMC = ∠A1M1C1.

?АМС = ?A1M1C1 за першою ознакою рівності трикутників (AM = A1M1, MC = M1C1, ∠AMC = ∠A1M1C1). Із рівності цих трикутників випливає, що АС = A1C1, ∠C = ∠C1. Отже, ?ABC = ?A1B1C1 за першою ознакою рівності трикутників (AC = A1C1, ВС = B1C1, ∠C = ∠C1).

 Теореми

281. Якщо медіана та кути, на які вона розбиває кут, одного трикутника дорівнюють відповідно медіані та кутам, на які вона розбиває кут, другого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доведення.

Нехай ABC і А1В1С1 – дані трикутники, відрізки AM і A1M1 – відповідно їх медіани. ∠BAM = ∠B1A1M1, ∠CAM = ∠C1A1M1. На продовженнях відрізків AM і А1М1 за точки М і М1 відкладемо відрізки відповідно MD = МА, M1D1 = M1A1.

?АМС = ?DMB за першою ознакою рівності (AM = MD, MC = ВМ, ∠AMC = ∠DMB). Із рівності трикутників маємо: ∠MAC = ∠BDA, АС = BD.

?A1M1C1 = ?D1M1B1 за першою ознакою рівності (A1M1 = M1D1, M1C1 = В1М1, ∠A1M1C1 = ∠D1M1B1). Із рівності трикутників маємо: ∠M1A1C1 = ∠B1D1A1, A1C1 = B1D1.

?ABD = ?A1B1D1 за другою ознакою рівності (AD = A1D1, ∠BAD = ∠B1A1D1, ∠BDA = ∠B1D1A1). Із рівності трикутників маємо: AB = A1B1, BD = B1D1, тоді, враховуючи, що АС = BD і A1C1 = B1D1,маємо: АС =А1С1.

?ABC = ?A1B1C1 за першою ознакою рівності трикутників (AB = A1B1, АС = A1C1, ∠A = ∠A1).

 Теореми

Вправи для повторення

282. 1) AB + BC = AC; 2) AB + AC > BC; 3) АС + ВС > АВ.

 Теореми

283. На рис. ∠COD = ∠DOB, ∠AOC = 3∠COD. Нехай ∠COD = х°, тоді ∠BOC = 2х°, ∠AOC = 3х°. 2х + 3х = 180, звідси 5х = 180; х = 36. Отже, ∠COB = 36° х 2 = 72°; ∠AOC = 3 x 36° = 108°.

Відповідь: 72°, 108°.

 Теореми

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

284. Нехай AB = 3 см, ВС = 4 см. Сума довжин горизонтальних відрізків дорівнює подвоєній стороні ВС, а сума довжин вертикальних відрізків – подвоєній довжині сторони AB. Отже, сума довжин усіх відрізків, що містяться всередині прямокутника, дорівнює: 2 х АВ + 2 x BC = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14 (см).

Відповідь: 14 см.

Завдання № 2 “Перевір себе” в текстовій формі

1. Трикутник є гострокутним, якщо кожний його кут менший від прямого.

Правильна відповідь: Б.

2. Якщо висота трикутника йому не належить, то цей трикутник тупокутний.

Правильна відповідь: Б.

3. Два трикутники рівні, якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам та куту між ними другого трикутника.

Правильна відповідь: Г.

4. Чотири пари: ?АОВ = ?COD; ?ВОС = ?DOA; ?АВС = ?СDА; ?ABD = ?CDB.

Правильна відповідь: Г.

 Теореми

5. ?АВМ = ?СЕМ (за двома сторонами і кутом між ними), тоді СЕ = AB = 4,2 см.

Правильна відповідь: Б.

 Теореми

6. Рівносторонній трикутник – окремий вид рівнобедреного трикутника.

Правильна відповідь: В.

7. Хибне твердження “Якщо медіана і бісектриса, проведені з однієї вершини, не збігаються, то цей трикутник не є рівнобедреним”. (AB = ВС, AM і AL – не співпадають).

Правильна відповідь: Б.

 Теореми

8. Трикутник є рівностороннім, якщо кожна його сторона у три рази менша від його периметра.

Правильна відповідь: Б.

9. Р? ABM + Р? MВС + Р? AВС + 2ВМ, 12 + 12 = 16 + 2ВМ, тоді 2 x ВМ = 24 – 16; 2 х BM = 8; ВМ = 8 : 2; ВМ = 4.

Правильна відповідь: A.

 Теореми

10. Хибним може бути твердження: ∠AXB = ∠AYВ.

Правильна відповідь: В.

 Теореми

11. Точка X не належить серединному перпендикуляру відрізка AB, якщо ХМ = ХВ.

Правильна відповідь: Б.