Вправи 525-574

AK ⊥ ВС; ?ABC; ВО = ОМ; АС = 10 см; AM = MC = 5 см; AB = AM = 5 см.

Відповідь: 5 см.

530. Задача має два розв’язки. ?АВК і? МВС – рівнобедрені. AB = 2 + 7 = 9 (см) або AB = 7 – 2 = 5 (см).

531.

?АВС; AB < ВС < АС; ∠1 = х; ∠2 = 2х; ∠3 = x + 100°; х + 2х + х + 100° = 180°; 4х = 180° – 100°; 4х = 80°; х = 80° : 4; х = 20°. ∠x = 20°; ∠2x = 40°; ∠3 = 120°. ∠B – найбільший кут. ∠B = 120°.

533. а) з відрізків завдовжки 2; 3; 4; 5 можна скласти 3 трикутники: 1) 3; 4; 5; 2) 2; 3; 4; 3)2; 4; 5;

Б) з відрізків завдовжки 2; 3; 4; 5; 6; 7 можна скласти 13 трикутників.

534. а) ОА = R;

Б) ОА < R;

В) ОА > R.

535. а) одна точка;

Б) дві точки.

536.

MN і PK – діаметри; MN = PK = d; OA = R = d/2.

537.

АВ і BC – не можуть бути діаметрами.

538.

OA = 3 CM; CD = 6 CM; CD – діаметр; MN – хорда.

540. Радіус кола 8 см; діаметр 16 CM.

541. R = 5,5 см.

542.

АС і BD – діаметри кола; ?АОВ = ?COD; AO = CO; ВО = OD (радіуси кола); ∠АОВ = ∠COD (вертикальні кути); ?АОВ = ?COD за першою ознакою рівності трикутників.

AB = 8 CM; АС = 14 см; АО = 7 см; DC = AB; ОС = ОА = 7 см; Р? COD = ОС + OD + DC = 7 см + 7 см + 8 см = 22 см.

543.

AO = BO – радіуси кола; ∠АОВ = 60°; AB = 6 см; ?АОВ – рівносторонній; АО = OB; ∠A = ∠B = (180° – 60°) : 2 = 60°;

∠A = ∠B = ∠О; AO = OB = AB = 5 CM; P? AOB = 5 CM.

544.

AB – діаметр; AB = 2 R; AC – хорда, АС = R; ∠ВАС – кут між діаметром і хордою; ∠ОАС = 60°; ?АОС – рівносторонній. АО = ОС = АС = R.

545.

AB = АС = R; ∠САВ – кут між хордами; ∠САВ = ∠САО + ∠АОВ = 60° + 60° = 120°; ?АОС = ?АОВ за трьома сторонами.

Трикутники рівносторонні.

546.

AB = CD; ?AOB = ?COD (за трьома сторонами); АО = ОС; AB = CD; OD = OB. ?АОС = ?BOD; 1) АО = BO; CO = OB; ∠AOC = ∠BOD.

Трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними.

547.

АВ – діаметр кола; АС і СВ – хорди; АС = СВ; ?АОС = ?ВОC; АО = OB; ОС – спільна сторона; АС = ВС; отже, ∠AOC = ∠СОВ – це суміжні рівні кути. ∠COB = 90°.

Відповідь: 90°.

548.

?АОВ = ?COD за трьома сторонами; АО = OD; CO = OB; AB = CD. OK ⊥ AB; OK – відстань від хорди AB до центра кола О.

ОМ ⊥ CD; ОМ – відстань від хорди АВ до центра кола; ?АОК = ?СОМ – прямокутні (за гіпотенузою і гострим кутом). Отже, ОК = ОМ, що і треба довести.

549.

Якщо хорди рівновіддалені від центра кола, то вони рівні.

ОК = ОМ; ?ОКВ = ?ОКА, ОА = OB. ∠A = ∠B; AK = KB; ?OCM = ?ODM; CM = MD; ?AOB = ?COD, AB = CD.

550.

Діаметр є найбільшою хордою кола. AB – довільна хорда; АВ < АО + OB (нерівність трикутника). AB < R + R; AB < d, d – діаметр.

551.

CD ⊥ AB; AM = MB. ?AOM = ?ВОМ (прямокутні). ∠AOD = ∠BOD; ?AOD = ?BOD (за двома сторонами і кутом між ними); АО = OD = OB = R; OD = R; CD – діаметр.

552.

ОМ = а; АО = 2а; АВ – хорда; ОМ – відстань від хорди до центра кола; ОМ ⊥ AB; ∠AMO = 90°; ?АОМ – прямокутний; катет ОМ лежить проти гіпотенузи АО і дорівнює її половині. ∠OAM = 30°;∠AOM = 60°; ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM = 60° + 60° = 120°.

553.

ОМ – відстань від центра О до хорди AB; ОМ ⊥ AB; ОМ = а; АВ = 2а; ?АМО = ?ВМО – прямокутні рівнобедрені трикутники; AM = MO = MB = а; ∠AOM = ∠BOM = 45°; ∠AOВ = ∠AOM + ∠BOM = 45° + 45° = 90°.

554.

АВ і DC – хорди; AB ⊥ DC, М – точка їх перетину; ОМ – відстань від центра кола до точки їх перетину; ОК – відстань від центра кола до хорди AB, К – середина хорди АВ; ОР – відстань від хорди DC по центра OP ⊥ DC; Р – середина DC. РК – відстань між серединами хорд. ?МОР = ?КРО – прямокутні (рівні за двома катетами) (ОР – спільна сторона; ОК = МР). Отже, МО = РК.

555.

AB і CD – хорди; MN – діаметр. AK = KB; CP = PD. Доведемо, що ці хорди паралельні. AB || CD.

556.

C || d; a ⊥ c; a ⊥ d; b ⊥ c; b ⊥ d. Якщо c || d і a ⊥ c і d, b ⊥ c і d, TO a || b; AC – відстань між паралельними прямими с і d; АС ⊥ с, АС ⊥ d; BD – відстань між паралельними прямими, BD ⊥ с; BD ⊥d; AC = BD.

?ABC = ?DBC – прямокутні; АС = BD, ВС – спільна. З їх рівності: AB = CD. Отже, а і b відтинають від цих прямих рівні відрізки.

557.

?ABC – тупокутний, AD – висота; AD ⊥ DC; ∠ABC = 130°; ∠ABD – суміжний ∠ABC; ∠ABD = 180° – 130° = 50°; ∠ADB = 90°; AD ⊥ DB; ∠ADB = 90° – 50° = 40°.

Відповідь: 90°; 50°; 40°.

558.

?ОАВ не може мати тупий кут; ОА ⊥ АВ. ∠ОАВ = 90°.

559. а) одну дотичну; б) жодної дотичної не можна провести.

560.

?ABC – рівнобедрений; АВ = АС.

561. а)

R1 = OB = 8 CM; R2 = CB = 2 CM; d = ОС = 6 см; внутрішній дотик;

Б)

R1 = ВС = 3 см; R2 = OB = 6 см; d = ОС = 9 см; зовнішній дотик.

562.

AB – хорда; AB – дотична до кола в точці A; BB1 – дотична до кола в точці В. С – точка перетину дотичних; АС = ВС.

564. а) AB – дотична до кола; ∠АОВ = 20°; ∠ОАВ = 90°; дотична перпендикулярна радіусу проведеному в точку дотику A. ?АОВ – прямокутний. Отже, ∠ОВА = 90° – 20° = 70°.

Відповідь: 70°.

Б)

АВ – дотична до кола; ∠AOB = 45°; АВ = 8 см; ∠OAB = 90°; AO ⊥ АВ.

?AOB – прямокутний рівнобедрений; ∠ABO = 90° – 45° = 45°; AО = АВ = 8 см.

Відповідь: 8 см.

565.

АВ – дотична до кола; А – точка дотику; ОА – радіус, проведений в точку дотику. ОД ⊥ AB; ОАВ = 90°;

ОA = АВ, ?ОАВ – рівнобедрений прямокутний; ∠AOB = ∠ABO – 45°.

Відповідь: 45°; 45°.

566.

АС – дотична до кола; AB – хорда; АВ = AО; ∠CAB – кут між дотичною і хордою; ?АОВ – рівносторонній. AО = OB = АВ; ∠OAB = 60°; ∠OAC = 90°; OA ⊥ AC, радіус проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної. ∠BAC = ∠OAC – ∠OAB = 90° – 60° = 30°; ∠BAC = 30°.

Відповідь: 30°.

567.

АВ – хорда; ∠AOB = 120°; ?АОВ – рівнобедрений; OB = ОA; отже, ∠OBA = ∠OAB = (180° – 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°. ОВ ⊥ ВС; (радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) ∠MBO = 90°; ∠MBA – кут між хордою АВ і дотичною MC; ∠MBA = ∠MBO – ∠ABO = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

568.

AB – дотична до кола; OB ⊥ AB; ∠OBA = 90°; АС – дотична до кола; ОС ⊥ АС; ∠OCA = 90°; ∠BOC = 150°.

Проведемо ОA; ОA – бісектриса кута ВАС; ∠BAD = ∠CAO; ∠BOC = ∠COA = 120° : 2 = 60°. З? ОВА ∠BAO = 30°. З? ОСА ∠OCA = 30°; ∠BAC = 60°.

Відповідь: 60°.

569.

АВ і АС – дотичні до кола, проведені з однієї точки A. ∠BAC = 50°; ?ОАВ = ?ОАС – прямокутні. ОA – спільна сторона, ОВ = ОС; OB ⊥ ВА; ОС ⊥ AC, дотичні, проведені до кола, перпендикулярні до радіусів, проведених в точки дотику. ∠BAO = ∠CAO = 50° : 2 = 25°;

∠BOA = ∠COA = 90° – 25° = 65°;

∠BOC = ∠BOA + ∠COA = 65° + 65° = 130°.

Відповідь: 130°.

570. a)

Зовнішній дотик; ОА = 14 см ;АС = 11 см; OC = d – відстань між центрами цих кіл. ОС = ОА + АС = 14 + 11 = 25 (см);

Б)

Внутрішній дотик. ОА = 14 см; АС = 11 см; ОС = d – відстань між центрами кіл. ОС = ОА – АС = 14 см – 11 см = 3 см.

Відповідь: 25 см, 3 см.

571.

АВ – діаметр, АС і BD – прямі, які дотикаються до кола в кінцях його діаметра АВ. АС ⊥ AB; BD ⊥ АВ (за властивістю дотичних), дві прямі АС і BD перпендикулярні третій прямій АВ, паралельні між собою.

Відповідь: АС || BD.

572.

А – дотична до кола в точці С, ОС ⊥ а; АВ – хорда; AK = KB.

?АОК = ?ВОК, ОК – спільна сторона, ОА = OB = R. З рівності трикутників: ∠AKO = ∠OKB, це суміжні кути. Отже, ∠AKO = ∠BKO = 90°, тобто ОС ⊥ АВ; а ⊥ ОС; АВ ⊥ ОС. Отже, а || АВ.

573.

∠ADB – нерозгорнутий кут, AD – дотична до кола. BD – дотична до цього кола; OA ⊥ AD; OB ⊥ BD (властивість дотичної).

?ADO i? BDO – прямокутні, OD – спільна сторона; АО = OB – радіуси кола.

?ADO = ?BDO за гіпотенузою і катетом. Отже, з їхньої рівності маємо: ∠ADO = ∠BDO, DO – бісектриса ∠ADB.

574.

АВ – хорда; АВ = R = АО = OB; АС і ВС – дотичні, С – точка їх перетину. ?AOD – рівносторонній; ∠AOB = 60°.

?АСО = ?ВСО – прямокутні за гіпотенузою ОС і катетами АО і ОВ. АО ⊥ AC; OB ⊥ ВС (за властивістю дотичних). З їхньої рівності ∠ACO = ∠BCO; СО – бісектриса ∠ACB; ?АСО;

∠AOC = 1/2∠AOB = 60° : 2 = 30°; ∠ACO = 90° – 30° = 60°.

Аналогічно ∠OCB = 60°; ∠ACB = ∠ACO + ∠DCO = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.