Вправи для повторення до розділу 2

Розділ 2. Взаємне розміщення прямих па площині

Вправи для повторення до розділу 2

До § 5.

226. На рис. 184 суміжні кути ∠2 і ∠3. на рис. 185 суміжні кути ∠1 і ∠4 та ∠2 i ∠3.

На рис. 186 суміжні кути ∠1 і ∠2 та ∠3 i ∠4.

227.

1) Так, можна. Треба побудувати доповняльний промінь до будь-якої сторони даного кута. Наприклад, дано ∠DAE. Побудуємо промінь AB доповняльний до променя AD. Отримали ∠EAB суміжний з ∠DAE.

2) Можна побудувати два кути. Один побудували в п. 1).

Проведемо доповняльний

промінь АС до променя АЕ. Отримаємо ∠DAC, суміжний з ∠DAE.

228. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Кут, суміжний з ∠ABC: 180° – ∠ABC. Кут, суміжний з ∠MNL: 180° – ∠MNP. Якщо ∠ABC < ∠MNP, то 180° – ∠ABC > 180° – ∠MNP.

Отже, більший суміжний кут буде у ∠ABC.

229. Нехай один із суміжних кутів дорівнює 3х, тоді другий дорівнює 7х. За властивістю суміжних кутів 3х + 7х = 180°; 10х = 180°; х = 18°. Отже, один із кутів дорівнює 3 х 18° = 54°, другий – 7 х 18°= 126°.

Відповідь: 54°, 126°.

230. Нехай градусна міра одного із суміжних кутів – х, тоді другого – 0,2х. За властивістю суміжних

кутів х + 0,2х = 180°; 1,2х = 180°; х = 150°. Отже, один із кутів дорівнює 150°, другий – 150° х 0,2 = 30°.

Відповідь: 150°, 30°.

231. Нехай градусна міра одного із суміжних кутів х. Оскільки другий кут на 20 % менше від першого, то він становить 80 % або 0,8 першого кута, тобто 0,8х. х + 0,8х = 180° – за властивістю суміжних кутів. 1,8х = 180°; х = 100°. Отже, один з кутів дорівнює 100°, другий – 100° х 0,8 = 80°.

Відповідь: 100°, 80°.

232.

∠ABC – заданий кут. КВ – бісектриса. ∠ABK = ∠KBC. ∠ABL – суміжний з ∠ABC. Нехай ∠ABL = х, тоді ∠ABK = ∠KBC = 2x. ∠ABC = 4х. За властивістю суміжних кутів маємо: ∠ABL + ∠ABC = 180°; х + 4х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, ∠ABL = 36°, тоді ∠ABC = 180° – 36° = 144°.

Відповідь: 144°.

До § 6.

233. Ножиці.

234. На рис. 188, 191 кути 1 і 2 – вертикальні.

235. 1) Ні, вони також можуть бути суміжними.

2) Ні, вони також можуть бути суміжними.

3) Так.

4) Ні, таких кутів можна побудувати два.

236. 1) 5° і 175°. Так, наприклад ∠1 і ∠2 – суміжні, їх сума дорівнює 180°. 5° + 175°= 180°.

2) 15° і 19°. Ні, тому що отримані кути при перетині двох прямих або вертикальні, або суміжні. Вертикальні кути рівні, суміжні в сумі дорівнюють 180°. 15° ≠ 19°, 15° + 19° = 34° ≠ 180°.

3) Ні, тому що 27° ≠ 154°, 27° + 154° = 181° ≠ 180°. Ці кути не вертикальні, не суміжні.

4) Так, це наприклад вертикальні кути.

237. Нехай градусна міра одного з кутів х, тоді другого – х + 48°. Це кути суміжні. x + x + 48° = 180° – за властивістю суміжних кутів. 2х + 48° = 180°; 2х = 132°; х = 66°. Отже, кут між прямими дорівнює 66°.

Відповідь: 66°.

238.

Кут, що дорівнює сумі двох суміжних з ним кутів це ∠2 або ∠4.

Нехай ∠1 = х, ∠3 = ∠1 = х, тоді ∠2 = 2х. ∠1 + ∠2 = 180° – як сума суміжних кутів. х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°. Отже, ∠1 = 60°, ∠2 = 2 х 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

239. 1)

Нехай ∠1 = x, ∠3 = ∠1 = x (як вертикальні кути)., ∠2 + ∠4 = 4(∠1 + ∠3) = 2 х 4х = 8х. Сума всіх утворених кутів дорівнює 360°. 2х + 8х = 360°; 10х = 360°; х = 36°. Отже, ∠1 = ∠3 = 36°, ∠2 =∠4 = 180° – 36° = 144°.

Відповідь: 36°, 36°, 144°, 144°.

2) Нехай ∠1 = х, ∠3 = ∠1 = х (як вертикальні кути). ∠1 + ∠3 = х + х – 2х. ∠2 + ∠4 = ∠4 + ∠3 = 160°; ∠2 + ∠4 = 2х + 160°. Сума всіх утворених кутів дорівнює 360°. 2х + 2х + 160° = 360°; 4х = 200°; х = 50°. Отже, ∠1 = ∠3 = 50°, ∠2 – ∠4 = 180° – 50° = 130°.

Відповідь: 50°, 50°, 130°, 130°.

240.

Нехай ∠4 = х, тоді ∠2 + ∠4 = х. ∠1 + ∠3 + ∠2 = 8х, ∠1 + ∠3 + х = 8х; ∠1 + ∠3 = 7х. Оскільки ∠1 = ∠3 (як вертикальні). ∠1 = ∠3 = 3,5х. ∠4 + ∠1 = 180° – як суміжні кути, х + 3,5х = 180°; 4,5х = 180°; х = 40°. Отже, кут між прямими дорівнює 40°.

До § 7.

241.

Установимо косинець так, щоб одна із сторін прямого кута співпала з прямою а, а на другій знайдемо точку М. Проведемо пряму через т. М. МК = 1,5 см.

242.

243.

244. CD ⊥ AB, DK ⊥ AB, CK ⊥ AB.

245. 1) Оскільки AB ⊥ ВС, то ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°.

∠AOK = ∠AOC – ∠KOC, ∠AOK = 90° – ∠KOC. ∠LOB = ∠BOC – ∠COL = 90° – ∠COL. Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOK = ∠LOB. ∠AOL = ∠AOC + ∠COL = 90° + ∠COL. ∠KOB = ∠COB + ∠KOC = 90° + ∠KOC. Оскільки ∠KOC = ∠COL, тo ∠AOL = ∠KOB.

2) ∠KOB = 90° + ∠KOC, ∠AOK = 90° – ∠KOC. Отже, ∠AOK < ∠KOB.

246. 1)

Можуть. ∠ABD і ∠DBC – гострі, BD – спільна сторона.

∠ABC = 90°, BD – бісектриса кута ABC.

2) Hi, не можуть, так як сума цих кутів повинна дорівнювати 90°, а сума двох тупих кутів більша за 180°.

247.

Проведемо пряму лінію і від будь-якої точки цієї прямої відкладемо кут 6° 15 разів, бо 15 x 6° = 90°.

248.

Нехай BL – бісектриса кута ABC. ∠ABC = 2∠LBC, ВМ – бісектриса кута CBD: ∠CBD = 2∠CBM.

Оскільки за умовою задачі бісектриси перпендикулярні, то ∠LBC + ∠CBM = 90°.

Знайдемо ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 2∠LBC + 2∠CBM = 2(∠LBC + ∠CBM) = 2 х 90° = 180°. Отже, кут ABD розгорнутий, точки А, В, D лежать на одній прямій..

До § 8.

249.

AВ || CD.

250.

M || а, n || b.

251. 1) Так. Якщо прямі не перетинаються, то вони паралельні.

2) Не завжди. Наприклад:

252.

1) а || b, c – перетинається з а.

2) а || c, b – перетинається з а.

3) а || b, а || с, b і с – збігаються.

4) b, с – збігаються, прямі b і с – перетинаються з прямою а.

253.

Оскільки b || с і n перетинає одну з паралельних прямих, то за властивістю вона перетинає і другу. Отже, п перетинає с. а || b за умовою, с || b за умовою, тоді за властивістю а || с (якщо дві прямі паралельні третій, вони паралельні між собою).

До § 9.

254.

∠4 і ∠5, ∠3 і ∠6 – внутрішні односторонні кути.

∠4 i ∠6, ∠3 i ∠5 – внутрішні різносторонні кути.

∠1 і ∠5, ∠4 і ∠8, ∠2 і ∠6, ∠3 і ∠7 – відповідні кути.

255. Рис. 195. Прямі m і n не паралельні, бо відповідні кути не рівні.

Рис. 196. m || n, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. 60° + 120°= 180°.

Рис. 197. m || n, оскільки внутрішні різносторонні кути рівні.

Рис. 198. m || n, оскільки відповідні кути рівні.

256.

Ні, не можна. Наприклад, ∠1 = ∠2 – як вертикальні Кути, а прямі а і b не паралельні,

257.

А || b, оскільки відповідні кути ∠1 = ∠2. ∠2 = ∠4 – як вертикальні кути. Оскільки ∠2 + ∠3 = 180°, TO ∠4 + ∠3 = 180°. ∠4 і ∠3 – внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180°. Отже, b ||с. Так як а || b і b || с, тоді а || с.

До § 10.

258. ∠1 = 180° – 130° = 50° (як суміжний з кутом 130°).

∠2 = ∠1 = 50° (як внутрішні різносторонні кути).

∠3 = 130° (як внутрішній різносторонній з кутом 130°).

∠4 = ∠3 = 130° (як вертикальні кути).

259. Згідно з властивістю паралельних прямих, дві прямі паралельні третій прямій паралельні одна одній.

Оскільки а || b і b || с, то а || с. Оскільки а || с і с || d, то а || d.

260.

Сума двох внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°. Нехай градусна міра кута ∠6 дорівнює х, тоді ∠3 = 80 % ∠6 = 0,8x. Звідси маємо: x + 0,8x = 180°; 1,8x = 180°; x = 100°. Отже, ∠6 = 100°, ∠3 = 0,8 х 100° = 80°.

Відповідь: 100°, 80°.

261.

Розглянемо а || b січну d. ∠2 = ∠1 = 100° – як відповідні кути. ∠3 + ∠1 = 180° – як суміжні кути. ∠3 = 180° – ∠1 = 180° – 100° = 80°.

Розглянемо d || с і січну a: ∠4 = ∠3 = 80° – як внутрішні різносторонні кути.

Відповідь: 101°, 80°, 80°.

262.

Проведемо пряму MP || DC і пряму NF || BA.

∠MNB = ∠MNF + ∠FNB.

Розглянемо DC || МР і січну CM: ∠CMP = ∠DCM = 50° – як внутрішні різносторонні кути.

∠PMN = ∠CMN – ∠CMP = 80° – 50° = 30°.

Розглянемо MP || NF і січну MN: ∠MNF = ∠PMN = 30° – як внутрішні різносторонні кути.

Розглянемо NF || AB і січну NB: ∠FNB + ∠ABN = 180° – як внутрішні односторонні кути.

∠FNB = 180° – 140° = 40°. Отже, ∠MNB = 30°+ 40° = 70°.

Відповідь: 70°.