Конус і зрізаний конус

ΔMOK – прямокутний.

Відповідь:

986.

Нехай дано конус, в якому через вершину M проведено площину МАВ, що відтинає від кола дугу AB = 90° (∠AOB = 90°) і нахилена до площини основи під кутом ∠MKO = 60°. MO + пл. основи, OK + AB, отже, MK + АВ, ∠MKO – лінійний кут двогранного кута при ребріAB.

ΔAMB – кут при вершині перерізу.

Нехай AO = R, тоді з ΔАОK:

ΔМОK – прямокутний.

ΔMAK – прямокутний. AM2 = MK2 + AK2;

Відповідь:

987.

Нехай дано розгортку бічної поверхні конуса – круговий сектор з дугою 90°. ∠AOB = 90°. Нехай OA = OB = R – радіус сектора:

А) l – довжина дуги АВ. AO = OB = L – твірна конуса, l довжина кола основи конуса. l = 2πR1, де R1- радіус основи конуса.

AO1 = R1;

ΔAOO1- прямокутний.

Б) дуга дорівнює 180°. Довжина дуги 2πR1 = πL;

∠AOO1 = 30°; ∠AOB = 2 ∠AOO1 = 60°;

В) дуга дорівнює 270°.

Відповідь: а) б) 60°; в)

988.

Нехай дано конус з висотою MO = 3м і діаметром AB = 4м.

Sб. = πRl; S б. = π × 2 × l.

ΔMOA – прямокутний.

989.

Нехай дано зрізаний конус, O1A = 3 дм; O2B = 6 дм; AB = 5 дм.

A) AF – висота; BО2 – A1O1 = BF = 6 – 3 = 3 (дм).

ΔAFB: AF2 = AB2 – BF2; AF2 = 25 – 9 = 16; AF = 4. Висота AF = 4;

Б) ΔBCD – осьовий переріз конуса – трапеція.

В) ∠B = а – кут нахилу твірної до площини основи.

Відповідь: 4 дм; 36 дм2; arcsin 0,8.

990.

Нехай дано зрізаний конус, радіуси основ конуса R і r, а твірна AB утворює кут α з площиною основи.

Sбічн. зр. конуса = πl(R + r).

BK = O2B – O1A = R – r

Відповідь:

991.

А) Нехай прямокутний ΔMOB обертається навколо катета MO = 3 см;

Sб. = πRl. Sосн. = πR2. Sповерхні = πRl + πR2 = πR(l + R);

Sповерхні = π × 4(5 + 4) = 36π (см2);

Б) Нехай прямокутний ΔMOB обертається навколо катета MO = 4 см

Sповерхні = πR(R + l). Sповерхні = π × 3(5 + 3) = 24π (см2);

В) Нехай прямокутний трикутник обертається навколо гіпотенузи

Sповерхні = Sб. конуса1 + Sб. конуса2. Sб. конуса1 = π × MO × KО.

Sб. конуса2 = π × OB × KО.

S поверхні = π × MO × KO + π × OB × KO = π × KО(МО + ОВ),

Де MO = 3 см; OB = 4 см;

S поверхні = π × 2,4(3 + 4) = 16,8π (см2).

992.

Нехай рівнобедрений прямокутний ΔABC обертається навколо, прямої І, проведеної через вершину прямого кута, паралельно гіпотенузі. BC = AC = а.

Площа поверхні тіла обертання дорівнює сумі площі бічної поверхні циліндра з радіусом OA і твірною AB та площі бічної поверхні двох, конусів з радіусом OA і твірною АС.

S поверхні = 2πRl + 2πRl1, де R = OA, l = АВ, l1 = ВС,

З прямокутного трикутника ABC: BC = AC = а;

AB2 = а2 + а2 = 2а2;

Відповідь:

993.

Нехай ABCD прямокутна трапеція з основами AB = 2 см і DC = 6 см; AD = 3 см.

А)

Нехай прямокутна трапеція обертається навколо меншої бічної сторони. Поверхня тіла обертання дорівнює:

Sбiчн. зріз. конус. + 2Sосн. × S поверхні= πl(R + r) + πR2 + πr2;

S поверхні = 5π(2 + 6) + 4π + 36π = 40π + 4π + 36π = 80π (см2).

Б)

Нехай прямокутна трапеція обертається навколо більшої основи.

AD = 6 см; BC = 2 см; DC = 5 см; AB = 3 см; OD = 4 см.

Площа поверхні дорівнює сумі бічної площі поверхні конуса і бічної поверхні циліндра та площі основи циліндра.

S поверхні = π × OC × DC + 2π × OC × BC + π × OC2= π × OC(DC + 2 BC + ОС) =

= π × 3(5 + 2 × 2 + 3) = 3π ×12 = 36π(см2).

В)

Площа поверхні дорівнює сумі площ бічної поверхні циліндра, площі основи циліндра і бічної поверхні конуса.

Sпов. = 2π × AB × AD + π × AB2 + π × AB × CD = 2π × 3 × 6 + π × 9 + π × 3 × 5 =

= 36π + 9π + 15π = 60π (см2).

Відповідь: a) 80π; 6) 36π; в) 60π.

994.

ΔAMB – осьовий переріз конуса. PΔAMB = AM + MB + АВ. PΔKMN = KM + NM + KN.

AB – діаметр – найбільша хорда, отже з усіх перерізів конуса площинами, які проходять через вершину, найбільший периметр має осьовий переріз.

995.

3 усіх перерізів конуса площинами, які проходять через вершину, найбільшу площу має осьовий переріз.

996.

Нехай твірні, двох конусів нахилені до площини основи під рівними кутами.

ΔMОA. MO = AM × sin α. ΔM1A1O1. M1O1 = A1M1 × sin α.

Отже, якщо твірні двох конусів нахилені до площин основ від рівними кутами, то висоти цих конусів відносяться як твірні, що й треба було довести..

S1бічн. = πR1L1; S2бічн. = πR1; L1 = R 1 cos α; L2 = R2 × cos α·

Площі бічних поверхонь відносяться як квадрати радіусів основ конусів.

997.

Нехай дано конус, в якому MO1 – відстань січної площини від вершини конуса. O2M – відстань від площини основи до вершини конуса.

Нехай O2K2= R2,

Отже, доведено, що площі основи конуса і його перерізу площиною, паралельною основі, відносяться як квадрати відстаней цих площин від вершини конуса.

998.

Нехай висота конуса MO1= h. Sпер. = πr2, Sосн. = πR2.

Нехай O2 B = r; O1A = R.

ΔBMO2 – ΔAMO1.

Відповідь:

999.

Нехай дано конус, AM – твірна, MO – висота, MA – MO = a, ∠AMO = α.

Нехай твірна AM = l, тоді AO = l sin α; OM = l cos α.

За умовою l – l cos α = а; l(l – cos α) = а;

ΔАМО.

Площа бічної поверхні конуса:

Відповідь:

1000.

Нехай дано конус, радіус основи якого 2 см, площа бічної поверхні конуса дорівнює сумі площ основи осьового перерізу.

S б. к. = Sосн. + S ΔABM

Нехай MO2 = h. S осн. = π · r2 = 4π;

(h + 2π)2 = π2(h2 + 4);

H2 + 4πh + 4π2= π2h2 + 4π2; π2h2- h2= 4πh; h2(π2 – 1). = 4πh;

H(π2 – 1) = 4π;

Відповідь:

1001.

Нехай дано конус, висота якого 20 см, радіус основи 25 см. Через вершину конуса проведено площину (МАВ) на відстані OP = 12 см від центра основи.

OP + (МАВ), OP + МK.

ΔMPO – прямокутний. MP2 = MO2 – OP2 = 400 – 144 = 256; MP = 16.

MO2= MK × МР, 400 = MK × 16;

OK2= MK2= MO2 = 625 – 400 = = 225, OK = 15.

ΔOKB – прямокутний. BK2 = OB2 – OK2 = 625 – 225 = 400; BK = 20; AB = 40.

Відповідь: 500 см2.

1002.

Нехай дано конус, через дві твірні конуса проведено площину (AMB), яка утворює з площиною основи ∠MPO = β. MO + пл. основи; OP + АВ, MP + AB,

∠MPO – лінійний кут двогранного кута при ребрі AB. ∠AMB = α, кут між двома твірними конуса. SΔAMAB = S. MO – висота конуса.

ΔMAP – прямокутний.

Нехай MP = х,

ΔMOP – прямокутний. ∠MOP = 90°;

Відповідь:

1003.

Нехай дано конус, осьовий переріз якого ΔАМВ. Через вершину конуса проведено площину (AMC) під кутом 60° до його площини основи.

MO + площині основи. OK + АС, MK + AC. ∠MKO = 60° (лінійний кут двогранного кута АС).

Нехай OM = h, тоді AO = R;

ΔMOK.

ΔАОK.

.

6R2= 2R2 – h2; 4R2 =h2;

ΔАМО. MO = h;

Відповідь:

1004.

Нехай дано конус, через вершину конуса M проведено переріз конуса площиною МАВ. MO + площині, основи. OK + АВ, MK + АВ. ∠MKO = α. ∠MKO – кут між площиною перерізу (МАВ) і площиною основи.

∠MAO = φ -: кут, який утворює похила MA з площиною основи. MA – твірна конуса. Повна поверхня конуса Q. Sповне = πR2 + πR × 4 = πR(R + L), де R – радіус основи конуса, L – твірна конуса.

Нехай AO = R, тоді

ΔAOM – прямокутний.

ΔMOK – прямокутний.

ΔAKO – прямокутний.

1005.

Нехай дано конус, AM і MB – твірні, AM + MB, ∠AMB = 90°.

AO = OB = r – радіуси основи конуса.

S1 : S1 : 2 – площі бічної поверхні конуса, на які вони діляться твірними.

S б. = π × R × L. 360°; 3 = 120°; ∠AOB = 120°.

ΔAOB – рівнобедреник. AO = OB = r; ∠AOB = 120°;

ΔAMB – прямокутний рівнобедрений. ∠AMB = 90°.

AM2 + BM2 = AB2; 2AM2 = 3r2;

ΔAOM – прямокутний. OM2 = AM2 – AO2за теоремою Піфагора.

Відповідь:

1006.

Нехай круг поділили на 2 сектори.

N2 = Зn1; n1 + 3n1 = 360°; 4n1 = 360°; n1 = 90°; n2 = 270°.

– довжина кола основи першого конуса.

– довжина кола основи другого конуса.

R = l – твірні конусів. У даних конусів твірні рівні.

де r1 – радіус основи першого конуса.

де r2 – радіус основи другого конуса.

І = І.

Відповідь:

1007.

Нехай дано зрізаний конус, твірна якого K1K нахилена до площини основи під кутом α. K1K = l. ∠K1KO = α. K1P + площині основи. K1K – похила, KO – її проекція.

S1 : S2 = 1 : 4, де S1 – площа першої основи, S2- площа другої основи конуса.

де r1 = O1K1; r2= ОK;

ΔKK1P – прямокутний. K1P = K1K × sin α = l × sin α; KP = K1K × cos α = l × cos α.

r2 = 2PK = 2l cos α;

Sповна = Sоснови1 + Sоснови2 + Sбічн. зріз. конуса

Sоснови1 = π × r12 =πl2 cos2 α; Sоснови2 = π × r22 =πl2 cos2 α;

S повна конуса = πl2 cos2α + 4πl2 cos2α + 3πl2 cos α = 5πl2 cos2α + 3πl2 cos α =

= πl2 cos α × (5 cos α + 3).

Відповідь: πl2 cos α(5 cos α + 3).

1008.

Нехай дано зрізаний конус, в якого діагоналі осьового перерізу взаємно перпендикулярні.

AC + BD. Твірна AB = l і утворює із площиною кут BAO = α.

Площа бічної поверхні дорівнює:

Sбічна зрізаного кола = πl(R + r), де l = AB, r = AO, r = O1B,

Нехай ABCD – осьовий переріз конуса. BD і AC – діагоналі.

BD + AC; O – точка перетину діагоналей конуса.

Нехай OB = OC = x, AO = OD = y.

ΔBOC – прямокутний. OB2 + OC2 = BC2; BC2 = 2×2,

ΔAOD – прямокутний. AO = OD = у, AO2 + OD2= AD2.

AD2= у2 + у2; AD2 = 2у2;

Проведемо BE + AD; CK + AD;

Або з ΔABE: AE = AB × cos α = I × cos α.

Отже:

Із ΔABE: BE = AB × sin α; BE = l × sin α.

Відповідь:

1009.

Нехай дано зрізаний конус. Площа нижньої основи конуса – S1.

Площа верхньої основи конуса – S2.

S3- площа бічної поверхні конуса.

S1 : S2 : S3 = а : b : с.

Нехай K1K – твірна конуса. ∠K1KO = α,

K1KO – кут між твірною конуса та площею його нижньої основи.

де R1 =KO; де R2 = K1O1;

Sбічна конуса = π(R1 +R2) ×l, де l = K1K, KF = ОK.

ΔKK1F – прямокутний.

Відповідь:

1010.

Нехай ромб ABCD обертається навколо прямої І, що містить його сторону.

AB = BC = CD = AD = a. ∠DAB = 60°. AO і DK – висоти ромба. DK + АВ.

З ΔADK:

CF + AB. ΔADK = ΔЕСВ. BF = AK.

S поверхні = S б. цил. ADNM – S б. к. ABM + S б. к. DCN. S б. к. ABM = б. к. DCN

Oтже, S поверхні =S б. цил. ADNM – S б. цил. = 2πR× L. де R = DK, L = AD.

Відповідь:

1011.

А) Нехай дано Δ ABC. AB = 7 см, BC – 8 см. AB найменша сторона ΔABC.

Δ ABC. За теоремою косинусів маємо: AC2 = AB2 + BC2- 2AB × BC × cos 120°.

OC – висота Δ АВС, проведена до сторони АВ.

ΔOBC – прямокутний.

Б) Нехай дано ΔABC. AB = 7 см, BC = 8 см, AC = 13 см.

Нехай ΔABC обертається, навколо найбільшої сторони AC = 13 см.

S поверхне обертання = S б. к. ABD = S б. к. CBD.

OB – висота AABC, проведена до сторони АС.

Відповідь:

1012.

Нехай дано ΔАВС, AB = 6 см, AC = 10 см, ∠BAC = 120°.

∠C – найменший кут трикутника ABC. CK + AB,

CK – висота ΔABC, проведена до найменшої сторони.

S поверхні обертання = S бічна конуса BCB1 = S бічна конуса ACA1

S к. BCB1 = π × BK × BC + π × AK × АС.

ΔАВС: за теоремою BC2 = AB2 + AC2- 2АВ × AC × cos 120°;

BC = 14 (см).

ΔСАК – прямокутний. ∠CAK = 60°.

S бічна = π × 11 × 14 + π × 5 × 10 = 154π + 50π = 204π (см 2).

Відповідь: 204π см2.

1013.

Нехай дано тупокутний ΔАВС, ∠A = α, ∠B = β.

BC – сторона, що лежить проти кута α.

∠C = 180° – (а + β), h – найменша висота, проведена до найбільшої сторони. Найбільша сторона ΔABC, сторона AB, що лежить навпроти тупого кута С.

CK + AS, CK = h.

S тіла обертання = S б. кон. ABA1 + S б. кон. ACA1

S поверхні = π × AO × AB + π × AO × AC = π × AO(AB + АС).

ΔACK – прямокутний.

AB = AK + BK = h ctg α + h ctg β = h(ctg α + ctg β). ΔAOC – прямокутний.

∠CAO = 90° – α.

Відповідь:

1014.

Через середину висоти конуса проведено пряму, якa утворює з висотою кут φ і перетинає бічну поверхню конуса в точках А і В. DP = l. PK – твірна конуса, ∠PKO = α. α – кут нахилу твірної до площини основи.

PO = l × sin α; DO = l × cos α. PO = PM + MO; AB= AM + MB,

∠OPC = ∠DPO = 90° – α.

ΔOPB. За теоремою синусів

ΔАМР:

Відповідь:

1015.

Нехай через вершину конуса проведено площину МАВ, яка ділить його бічну поверхню на дві частини. Розгорнули ці частини на площину і дістали 2 сектори з кутами α і β. MA = MA1 = I = Rсект.

Довжина дуги кола І сектора

Довжина дуги кола II сектора

AM – твірна конуса.

C = 2π × R1, C – довжина кола, R1- радіус основи кола.

∠AMB – кут при вершині у проведеному перерізі.