1.
Об’єм Піраміди Хеопса V дорівнює:
2.
Знайдемо відношення довжин висоти і сторони основи на прикладі піраміди Хеопса.
Площа основи піраміди – квадрат з площею 5,3 га. Отже, сторона основи дорівнює приблизно 230,22 м.
Відношення стoрони основи до висоти: 
що приблизно дорівнює
Співвідношенню золотого перерізу.
З.
Нехай висота n-кутної піраміди Н – 10 м.
1. Об’єм правильної трикутної піраміди: 
2. Об’єм правильної чотирикутної
3. Об’єм правильної шестикутної піраміди: 
Відповідь: 1) 
2) 
3) 
4.
Нехай SABC – дана піраміда, SO – висота, SO = Н,
BD + АС, BD = h, BE – медіана, АЕ = ЕС.
Відпoвідь: 1 : 1.
5.
Нехай АВСА1В1С1 – дана призма, АВ = ВС = АС = а, ВВ = H.
Об’єм V призми: 
Об’єм V2піраміди: 
Об’єм V3частини призми без піраміди:
Відповідь: 1 : 5.
6.
ГМТ вершин рівновеликих пірамід із спільною основою є площина паралельна основі.
Відповідь: площина паралельна основі.
7.
Нехай SABCDEF – дана піраміда, SO + (ABCDEF), SO = 1 м.
SL – апофема, ∠LSO = 30°.
З ΔSOL: 
Нехай в ΔOLE ОЕ = 2х, EL = х, тоді: 
8.
1)
Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС = СА = а.
Проведемо AD + ВС, за теоремою про три перпендикуляри
Отримаємо SD + AD, отже, ∠SDA = 45°.
OD – радіус вписаного кола в ΔABC, 
∠SOD – прямокутний, ∠SDA = 45°, отже, ∠OSD = 45°,
Об’єм піраміди V дорівнює: 
2)
Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA = а.
Проведемо OK + CD, тоді SK + CD (за теоремою про три перпендикуляри),
Отже, ∠SKO = 45°. 
3 ΔSOK: 
оскільки ∠OSK = ∠SKO = 45°.
Об’єм піраміди V дорівнює: 
3)
Нехай SABCDEF – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = a.
Проведемо OK + DE, тоді SK + DE (за теоремою про три перпендикуляри).
З ΔОКЕ: 
В ΔSOK SO = OK, оскільки ∠OSK = ∠SKO = 45°, 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює: 
Відповідь: 1) 
2) 
3) 
9.
Нехай SABC – правильний тетраедр. АВ = ВС = АС = SA = SB = SC = а.
Площа основи 
ВМ – медіана, бісектриса і висота, 
Нехай SO – висота, тоді 
З ΔSOB: 
Отже, шуканий об’єм: 
Відповідь: 
10.
Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда.
АВ = ВС = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a.
3 ΔACD: 
3 ΔSOD: 
Отже, шуканий об’єм: 
Відповідь: 
11.
Нехай SABC – правильна трикутна піраміда. SA = SB = SC = l, SO + (ABC).
1)
∠CΒΟ = β. 3 ΔSOB: SO =SB × sin∠SBO=l × sinβ; OB = SB × cos∠SBO= l × cosβ;
OB – радіус описаного кола. 
Отже, об’єм піраміди дорівнює: 
2) Проведемо ВК + АС, тоді SK + АС (за теоремою про три перпендикуляри),
∠SKO = а. Позначимо АВ = ВС = АС = а, тоді КО – радіус вписаного кола в ΔABC,
З ΔSKO: 
3 ΔSKC: SC2 – KC2 = SK2; 
L2× 12 cos2 α = a2(3cos2 α + 1); 
3)
Нехай SABC – задана піраміда, AB = BC = СА, SA = SB = SC = І,
∠ASC = ∠CSB = ZASB = γ. Проведемо SD + AC. Оскільки трикутник SAC
Рівнoбедрений, то SD буде і бісектрисою. 
З ΔASD: 
тоді 
Оскільки в основі лежить правильний трикутник, то АО – радіус описаного кола.
З прямокутного ΔSOA: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює: 
4)
Нехай DABC – правильна трикутна піраміда, DО – висота, F – середина АС.
Проведемо СЕ + DB, АЕ + DB, ∠AEC = δ.
Позначимо сторону трикутника ABC через а. 
Нехай ∠ZDBC = ∠ZDCF = х. Знайдемо кут х.
З прямокутного трикутника ЕВС: EC = СВ × sin∠EBC = а × sin х.
З прямокутного ΔEFC: 
Отже, 
З ΔDFC: DF = l × sin∠DCF = l × sin х; FC = l × cos х. Звідси а = 2l cos х.
Тоді
Знайдемо DO:
Отже, шуканий об’єм
Відповідь: 1) 
2) 
3) 
4) 
12.
1.1)
Нехай SABCD – задана піраміда, AS = ВС = CD = DA; SA = SB = SC = SD = l,
∠SCA = β.`
3 ΔSOC: OC = SC × cos ∠SCA = l cos β; AC = 2l cos β; SO = SC × sin∠SCA = l sin β.
З ΔABC: AC2 = AB2 + BC2; 4l cos2 β = 2AB2; AB2 = 2l2 cos2β; 
Отже, 
1.2)
Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA, SA = SB = SC = SD = l.
Проведемо OK + DC, тоді за теоремою про три перпендикуляри SK + DC,
Отже, ∠SKO = α. Нехай сторона квадрата дорівнює а, тоді 
З ΔSDK: 
1.3)
Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA, SA = SB = SC = SD =l,
∠ASB = ∠BSC = ∠CSD = ∠DSA = γ.
Проведемо SK + DC. Трикутник SDC – рівнобедрений,
Отже, SK – також є і бісектрисою, 
З ΔSKD: 
АО – радіус описаного кола, 
З прямокутного ΔSAO:
Отже, 
1.4)
Нехай SO – висота піраміди. ∠BED = δ, 
Позначимо ∠SCO = х, DC = а.
З ΔOED: 
З ΔOЕС: 
отже, 
З ΔSOC: ОС = SC × cos x, 
Відповідь: 1.1) 
1.2) 
1.3)
1.4)
12.2.
1)
Нехай SABCDEF – правильна шестикутна піраміда,
SA = SB = SC =SD = SE = SF = l, ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = ∠SDO = ∠SEO = ∠SFO = β.
3 ΔSFO: SO = SF × sin ∠SFO = l × sin β; OF = SE × cos ∠SFO = l × cos β.
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
2) Рисунок з попереднього пункту.
Проведемо OK + DE, тоді SK + DE за теоремою про три перпендикуляри. ∠SKO = α.
Нехай ЕК = а, тоді ОЕ <= 2а.
З ΔΟΚΕ: 
З ΔSOK: 
З ΔSKE: SE2 = SK2 + ЕК2: 
L2 cos2 α = 3а2 + a2 cos2α; l2 cos2α = а2(3 + cos2α);
Отже, об’єм піраміди V:
3) Рисунок з пункту 1. Нехай ∠ESD = γ, тоді 
(оскільки SK є і медіаною і бісектрисою).
З ΔSKE: 
З ΔЕОК: 
З ΔSOK: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
4) Нехай SABCDEF – правильна шестикутна піраміда з ребром l.
Проведемо СК + SD, ЕК + SD, тоді ∠CKE = 5.
З ×CDE за теоремою косинусів маємо:
З ΔΚΝΕ: 
Позначимо кут нахилу бічного ребра до площини основи через β,
Тоді ∠SDN = β.
З ΔKDN: 
З ΔSОD. 
Sin2β + cos2β = 1; 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 1) 
2) 
3) 
4)
12.3.
1)
На рисунку зображена частина n-кутної піраміди, ∠SBO = β, SB = l.
З ΔSBO: SO = I sin β; BO = І cos β.
Знайдемо площу основи: Soсн = n · SABCD;
З ΔNOC: 
Тоді 
Отже, об’єм піраміди дорівнює:
2) Рисунок з пункту 1.
Проведемо ON + ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри SN + ВС, ∠SNO = α.
З ΔSNO: SO = NO × tg а.
З ASCO: SO2 = SC2- CO2; 
Отже, об’єм піраміди дорівнює:
3) Рисунок з пункту 1. Нехай ∠BSC = γ, тоді 
З ΔBSN: 
З ΔBON: 
З ΔSON: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
4) На рисунку зображено частина n-кутної піраміди, ∠AKC = 5 – двогранний кут при бічному ребрі.
Знайдемо об’єм піраміди V. 
З ΔBAC за теоремою косинусів маємо:
3 ΔBMC: 
Позначимо кут нахилу бічного ребра до площини основи через β, тоді ∠SBM = β.
З ΔСКМ: 
З ΔКМВ: 
З ΔSBO: 
З ΔΒΟΝ: 
Отже, 
Відповідь·. 1) 
2) 
3) 
4) 
13.
Нехай SABC – задана піраміда. 
ВС = 4 м, АС = 3 м, ∠SBO = 30°.
З ΔABC за теоремою косинусів: АВ2 = ВС2 + АС2 – 2ВС × АС × cos∠BCA;
3 = 4 + 9 – × 3 × 2 × cos α; 12 cos α = 10; 
cos2 α + sin2 α = 1;
З ΔABC за теоремою синусів: 
3 ΔSOB: 
Отже, об’єм піраміди дорівнює: 
Відповідь: 0,5 м3.
14.
Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = AD, ∠BAD = 60°.
Проведемо SK + DC, тоді OA + DC (за теоремою про три перпендикуляри).
Отже, ∠SKO = 60°, ОК – радіус вписаного у ромб кола. 
З ASOK: 
Проведемо BL + AD. BL = 2R.
З ΔABL: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 8 см3.
15.
Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС; АС = 6 см, ВК = 9 см,
SA = SB = SC = 13 см, О – центр описаного кола, ОВ = R.
ОК = ВК – OB = ВК – R = 9 – R.
З ΔАОК: АО2 = АК2 + ОК2; R2 = 9 + (9 – R)2; R2 = 9 + 81 – 18R + R2; 18R = 90;
R = 5; ОВ = 5 (см).
З ΔSOB: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 108 см3.
16.
Нехай SABC – задана піраміда, SA = SB = SC, SO + (ABC), SO = 3 см.
Проведемо SD + AC, тоді OD + AC (за теоремою про три перпендикуляри).
Отже, ∠SDO = 30°.
Проведемо SF + ВС, тоді OF + СВ (за теоремою про три перпендикуляри),
Отже ∠ SFO = 60°.
З ΔSDO: 
З ΔSOF: 
ODCF – прямокутник, 
З Δ О DC:
З ΔSOC: 
Оскільки всі ребра рівні, то 
З ΔASD: 
3 Δ SFВ: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 18 см3.
17.
Нехай SABC – задана піраміда, АС = а, ВС = b, ∠ ACB = 90°, ∠ SCO = φ,
SO + (ABC). З ΔАВС: 
Точка О – середина гіпотенузи AO = ОВ. Отже, ОС – медіана ΔABC.
З ΔSOC: 
Звідси об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 
18.
Нехай в піраміді SABC бічні ребра SA = a, SB = b, SC = с.
Приймемо за основу піраміди одну з бічних граней, наприклад, SAB.
Тоді основою такої піраміди буде прямокутний трикутник SAB,
А висотою – ребро SC.
Об’єм V такої піраміди буде дорівнювати:
Відповідь: 
19.
Нехай DABC – заданий тетраедр. АА1 = 2 см, BB1 = 3 см, СС1 = 4 см,
DA = DB = DC = а, A1D = а – 2; В1D = а – 3; С1D = а – 4.
V1 =A1D × В1D × С1D = (а – 2)(а – 3)(а – 4); V2 = AD × CD × BD = a × a × a = a3.
V = V2- V1 = a3 – (a – 2)(a – 3)(a – 4): 
8((a – 2)(a – 3)(a – 4)) = a3 – (a – 2)(a – 3)(a – 4);
8(a3 – 9a2 + 26a – 24) = a3 – (a3 – 9a2 + 26a -24);
8a3 – 81a2 + 234a – 216 = 0; a = 6.
Відповідь: 6 см.
20.
Нехай SABC – задана піраміда, AB = a; BC = b; AC = c; SA = SB = SC = l.
AO – радіус описаного кола, S – площа ΔABC. 
3 ΔSAO:
Де 
Відповідь: 
де 
21.
Нехай SABCD – задана чотирикутна піраміда, АВ = BC = CD = DA = a,
О – центр вписаної кулі. В точках О1 і L куля дотикається до основи
І бічної грані відповідно, OO1 + Ο1K, OL + SK, OL = ОО1 = R. SSDC = SABCD;
SABCD = AB × AD = а2. 
За умовою 
2а2 = а × SK; SK = 2а.
З ΔSO1K: 
ΔSO1K – ΔSLO. З подібності трикутників маємо: 
Отже, об’єм піраміди V дорівнює: 
Відповідь: 
22.
Нехай SABCD – задана піраміда, SO + (ABC), AB = BC = CD = DA.
О1- центр описаної кулі. Проведемо OK + CD, тоді за теоремою
Про три перпендикуляри. SK + CD, ∠SKO = α, SO1 = R, О1В = R.
Нехай сторона основи дорівнює a.
З ΔSOK: 
З ΔABD: 
З ΔBO1O: 
4 aR tg α=a2 tg2α + 2α2; 4R tg α = a(tg2α + 2);
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 
23.
Нехай SABC – задана піраміда, АС = AB; ∠CAB = β; O1L – ОО1 = r.
Проведемо SK + СВ, тоді АК + СВ (за теоремою про три перпендикуляри).
ΔO1LK = ΔO1OK (O1L = ΟΟ1. Ο1Κ – спільна гіпотенуза). 
З ΔO1OК: 
З ΔSOK: 
Нехай СВ = а, 
З ΔACK: 
Для знаходження радіуса вписаного кола в ΔABC скористаємося формулою:
де 
Відповідь: 
24.
Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС, ∠ABC = ∠АСВ = α; ∠SAO1 = β;
AO = OS = R. ∠ASO1 = 90° – β; ∠SAO = 90° – β; ∠AOO1 = 2(90° – β) = 180° – 2β.
З ΔΑΟΟ1: АО1 = ΑΟ × sin∠ΑΟΟ1 = R × sin(180° – 2β) = R sin 2β;
ΟΟ1 = AO × cos∠AOO1 = R × cos(180° – 2β) = – R cos 2β.
3 ΔΑBC: 
ΑΒ = 2R sin 2β × sin а.
Отже, об’єм піраміди V дорівнює:
Відповідь: 
25.
Об’єм зрізаної піраміди у дорівнює: 
Де h – висота зрізаної піраміди, S1, S2 – площі основ.
Відповідь·. 
26.
Об’єм зрізаної піраміди дорівнює: 
Де h висота зрізаної піраміди, S1, S2 – площі основ.
21 = 3(4 + а2 + 2а); 7 = 4 + а2 + 2а; а2 + 2а – 3 = 0; а 1 = -3; а2 = 1.
А3 = -3 – не задовольняє умові, отже, сторона верхньої основи a2 = 1.
Відповідь: 1.
27.
Нехай ABCA1B1C1 – зрізана піраміда, AB = BC = СА= a, А1B1 =В1С1 = C1A1= 0,5а. Бічна грань зрізаної трикутної піраміди рівнобока трапеція. Проведемо A1L + АС, тоді
З ΔA1LA: 
O1 і О – центри описаних кіл навколо трикутників А1B1C1 i ABC.
Знайдемо радіуси описаних кіл. 
З ΔΒ1ΒΚ: 
Відповідь: 
28.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильна зрізана піраміда, АС = 8 см, А1С1 = 5 см,
∠A1AC = 45°, АВ = ВС = CD = AD = а; А1В1 = В1C1 = C1D1 = D1A1 = a1.
АК2 = AD2 + CD2; 64 = 2a2; a2 = 32; 
S2 = a2 = 32.
Розглянемо діагональний переріз піраміди – AA1C1C.
AA1C1C – рівнобока трапеція. 
З Δ A1KA: 
Отже, 
Відповідь: 32,25 см3.
29.
Нехай ABCDA1B1C1D1- правильна зрізана чотирикутна піраміда.
АВ = ВС = CD = DA = 14 см, А1В1 = B1C1 = C1D1 = 10 см, A1C = 18 см,
S1 = АВ × ВС = 196 см3; S2 = A1B1 × B1C1 = 100 см 2.
3 ΔA1C1D1: 
3 ΔACD: 
Розглянемо діагональний переріз піраміди – AA1C1C. AA1C1C – рівнобока трапеція. Проведемо A1K + АС.
3 ΔΑ1KC: 
Отже, об’єм зрізаної піраміди:
Відповідь: 872 см3.
30.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильна зрізана чотирикутна піраміда.
∠A1AK = 60°.
Проведемо Α1Κ + AD. 
3 ΔA1AK: 
Проведемо A1L + AC.
3 ΔΑ1C1D1: 
3 ΔACD: 
3 ΔA1LA: 
Відповідь: 42 см 3.
31.
Нехай ABCDA1B1C1D1- правильну зрізана чотирикутна піраміда,
SABCD – правильна чотирикутна піраміда.
SABCD = 4 см2, SA1B1C1D1 = 1 см, V зріз. піраміди = 21 см3, O1O = h, SO1 = h1.
(A1B1C1D1) ? (ABCD); 
H1 = 9.
Отже, висота піраміди SO = SO1 + ОО1 = 9 + 9 = 18 (см).
Відповідь: 24 см3.
32.
Нехай SABCDEF – правильна шестикутна піраміда,
SO – висота, SO = Η, AB = BC = CD = DE = EF = FA = a.
Нехай S1 – площа ABCDEF. Проведемо площину A1B1C1D1E1F1? ABCDEF. Отримаємо піраміду SA1B1C1D1E1F1. Нехай S2 – площа a1B1C1D1E1F1.
3QH2= S1H3 – S1h3; S1h3 = S1H3 – 3QH2;
Відповідь: 
33.
Нехай V1- об’єм першої піраміди, V2- об’єм другої піраміди,
Ребро першої піраміди 7х, ребро другої піраміди 5х.
V1 – V2 = q, V2 = V1 – q.
Об’єми подібних многогранників відносяться як кути їхніх
Відповідних лінійних розмірів. 
125V1 = 343V1 – 343q; 218V1 = 343g;
Відповідь: 
34.
Нехай V1 – об’єм першої піраміди, V2 об’єм другої піраміди,
Mх – ребро першої піраміди, nх – ребро другої піраміди.
V1 + V2 = V; V2= V – V1.
Об’єми подібних многогранників відносяться як куби їхніх
Відповідних лінійних розмірів.
V1n3 = Vm3 – V1m3; V1 (n3 + m3) = Vm3;
Відповідь: 
35.
Нехай АВСА1B1С1 – зрізана піраміда, ∠A1С1B1 = 90°, А1В1 = n,
∠ACB = 90°, АВ = m.
З ΔA1B1C1: 
З ΔABC: АС2 + СВ2 = AB2; 2АС2 = m2; 
CD – медіана ΔАВС, С1D1 – медіана Δ A1B1C1. 
З ΔD1KD: 
Отже, об’єм V зрізаної піраміди:
Відповідь: 
36.
Нехай V1 – об’єм піраміди SABC, V2 – об’єм піраміди SA1B1C1,
H – висота піраміди SA1B1C1.
V 1 – V2 = V2 – m: V 1 = V2m + V2 = V2(m + 1).
Відповідь: 
39.
Нехай ОА – радіус основи конуса, ОА = 15 см, SA = 25 см.
З ΔSAO: 
Об’єм конуса: 
Відповідь: 1500 см3.
40.
1) 
2) 
3) 
Відповідь: 1) 2,25π см3; 2) 9 см; 3) 
41.
Нехай діаметр основи – d, радіус основи r = 5 см.
H = d = 2 × 5 = 10 см.
Відповідь: 
42.
Нехай радіус основи конуса – г, твірна – l, тоді
Sповн. = πr (r + l); πr (r + l) = 45π; r(r +l) = 45.
Довжина кола основи конуса дорівнює С = 2πr, що за умовою
Дорівнює довжині дуги сектора розгортки бічної поверхні конуса,
Обмеженої дугою 60°.
6 πr = πl; l = 6г; г(г + 6г) = 4; 7r2 = 45;
Знайдемо висоту конуса SO з ΔSAO:
Відповідь: 
43.
Нехай AO = r – радіус конуса, SA = l – твірна, 
Довжина кола основи конуса С = 2πr.
З другого боку 
З ΔSOA: 
Відповідь: 3 cм3.
44.
Нехай АО = г – радіус основи конуса, SA = l – твірна конуса,
Довжина кола основи конуса дорівнює: 
Що за умовою задачі дорівнює довжині дуги сектора розгортки
Бічної поверхні конуса, обмеженої дугою, міра якої 90°.
3 ΔSAO: 
Відповідь: 5 см3.
45.
Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано конус,
АВ = ВС = CD = DA = a, OK – радіус основи піраміди, 
SO = H.
Об’єм піраміди V дорівнює: 
Об’єм конуса V, дорівнює: 
Відповідь: 72.
46.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильна чотирикутна призма,
АВ = ВС = CD = НА = а, OK – радіус основи конуса, вписаного в призму.
SO – висота конуса, SO = АА1 = H.
204π = πa2 × Н; а2 × Н = 204. Vпризма = а2 × H = 204 (см3).
Відповідь: 204 см3.
47.
Нехай ОА = 27 см, O1A1= 18 см, А1А = 21 см.
Переріз конуса площиною, яка проходить через діаметри основ –
Рівнобока трапеція AA1B1B. Проведемо АК + АВ.
АК = АО – А1O1 = 27-18 = 9 (см).
З ΔΑ1KΑ: 
Об’єм V зрізаної піраміди дорівнює:
Відповідь: 
48.
Нехай AB = ВС, 
При обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи
Утворюються два рівновеликі конуси з радіусом основи ОВ
І висотою АО, 
Об’єм конуса 
Об’єм утвореної фігури V1 = 2V = 2 × 147 = 294 (см3)
Відповідь: 294 см3.
49.
Нехай в ΔABC: 
∠B = 90°, ∠CAB = 30°.
З ΔАОВ: 
Відповідь: 
50.
Нехай в ΔАВС АВ = ВС = СА = а. Проведемо СК + AB, тоді
Отже, об’єм утвореної фігури V дорівнює:
Відповідь: 
51.
Нехай ABCDEF – правильний шестикутник.
АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = а.
Об’єм утвореної фігури складається з об’єму циліндра,
Двох об’ємів зрізаного конуса без двох об’ємів конуса.
AD – найбільша діагональ шестикутника, AD = 2а.
З ΔAFD: 
Vциліндра = π × FD2 × AF = π × 3a2 × a = 3πa3.
Знайдемо об’єм зрізаного конуса:
Знайдемо об’єм конуса:
Отже, об’єм утвореної фігури:
Відповідь: 
52.
Нехай SABC – задана правильна трикутна піраміда, АВ = ВС = СА = а.
О – центр кола – основи конуса, ОК – радіус вписаного кола, SO + (ABC),
З ΔSOK: 
За умовою Sбічна = 5Sосн. 
9H2 = 18а2; 
Отже, 
Відповідь: 
53.
Розглянемо переріз конуса площиною, яка проходить через центр кулі.
KLBA – рівнобока трапеція. 
З ΔKAD: 
Площина ділить піраміду у відношенні 1:1, отже, 
Відповідь: 
54.
Нехай О – центр кулі, вписаної в зрізаний конус, ОМ = OF = r, ∠DAM = г.
На рисунку зображено осьовий переріз. ΔAFO = ΔАМО, оскільки FO = МО,
АО – спільна гіпотенуза. Отже, 
З ΔАОМ: 
З ΔDON, де 
маємо: 
Отже, об’єм зрізаного конуса дорівнює:
Відповідь: 
55.
На рисунку зображено осьовий переріз конуса, в який вписано циліндр.
SD = l, ∠SDC = α, DE? SD, AF? SC.
З ΔSDO: DO = SD × cos ∠SDC = І × cos α; SO = SD × sin ∠SDC = l × sin α.
Нехай AO1 = r, AB = 2r, DE = 2r, оскільки ABED – паралелограм
(AB? DE, AD? BE). DO = DE + EO = 2r + r = 3r; 3r = l × cos α;
3 ΔADE: 
Отже, об’єм циліндра V дорівнює:
Об’єм конуcа V дорівнює:
Об’єм V конуса, в основі якого лежить коло з центром у точці O:
Об’єм V3частини простору, обмеженої січними поверхнями конуса,
Циліндра та їх спільною площиною дорівнює:
Відповідь: 
(1 votes, average: 5,00 out of 5)