Означення степеня з цілим від’ємним показником

Урок № 24

Тема. Означення степеня з цілим від’ємним показником

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту означення степеня з цілим від’ємним показником (для цілої та дробової основи степеня); сформувати вміння відтворювати означення степеня та застосовувати його для перетворення степеня з цілим від’ємним показником у дріб, та навпаки, сформувати вміння розв’язувати вправи на обчислення значень числових виразів із застосуванням вивченого означення степеня з цілим показником.

Тип уроку: засвоєння знань та первинних

умінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект “Степінь з цілим від’ємним показником”.

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Вчитель збирає зошити для перевірки виконання учнями аналізу тематичної контрольної роботи за розданими розв’язаннями (див. вище).

III. Формулювання мети і завдань уроку, мотивація навчальної діяльності учнів

Традиційно уявлення про можливість існування степеня з цілим від’ємним показником формується

у зв’язку з розширенням поняття степеня з натуральним показником. Проте свідомому розумінню необхідності такого розширення можуть сприяти, по-перше, звертання до довідкової літератури, що містить записи значень деяких констант у стандартному вигляді з від’ємним показником, а по-друге, виконання логічних вправ на порівняння та узагальнення. Наприклад, можна запропонувати учням продовжити числові ряди (один з яких складається зі значень степенів деякого числа, а другий складається із самих відповідних степенів):

1-й ряд: 1000, 100, 10, і, 0,1, 0,01, 0,001, …

2-й ряд 103, 102, 101, 100, …

Після виконання порівняння на етапі узагальнення формулюється проблема – між існуючим уявленням про степінь (із натуральним показником) та необхідними для обчислень потребами. Подолання цього протиріччя є водночас і мотивом, і метою навчальної діяльності учнів на уроці.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

@ З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу перед його вивченням слід активізувати такі знання і вміння учнів: означення степеня з натуральним показником; основна властивість степеня та її наслідки, а також їх застосування для обчислення значень числових виразів та для перетворення виразів, що містять множення, ділення степенів з однаковими основами та піднесення степеня, добутку та частки виразів до степеня.

Виконання усних вправ

1. Подайте у вигляді добутку дроби:  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником.

2. Прочитайте вирази, назвавши основу і показник степеня; 64; (2,1)9;  Означення степеня з цілим відємним показником.

3. Обчисліть значення виразів:

А) піднесіть до квадрата: 3; -5;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником; 0,8;

Б) піднесіть до куба: 2; -3;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником; – 0,3.

4. Визначте знак виразів, назвавши основу і показник степеня: 64; (2,1)9; 101; (-7)5; 012;  Означення степеня з цілим відємним показником.

5. Визначте знак виразів, не виконуючи піднесення до степеня:  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником; (-2)10; -210; (-3)9; -39;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником.

6. Укажіть порядок дій в обчисленні значення виразів: 152 – 34;  Означення степеня з цілим відємним показником; (32 – 23)20.

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Означення степеня з цілим від’ємним показником.

2. Запис означення степеня з цілим від’ємним показником для випадку основи, що має вигляд  Означення степеня з цілим відємним показником.

3. Приклади застосування означення степеня з цілим від’ємним показником для обчислення значення виразу, що містить степінь.

Конспект 7

Степінь з цілим від’ємним показником. Стандартний вигляд числа

1

Якщо п – натуральне число (n > 2) і а – будь-яке число, то

 Означення степеня з цілим відємним показником

Зауваження: a1 = a, 1n = 1, 0n = 0 для будь-якого а

2

Якщо n – ціле від’ємне (протилежне натуральному числу) і а? 0, то  Означення степеня з цілим відємним показником або якщо n – натуральне, то  Означення степеня з цілим відємним показником

Зауваження: a0 = 1, для а? 0

3

Властивості: якщо m, n – цілі числа і а? 0, b? 0, то:

Аm • аn = аm + n

(аm)n = аmn

 Означення степеня з цілим відємним показником

Аm : аn = аm – n

(аb)n = anbn

 Означення степеня з цілим відємним показником

4

Якщо число k > 0 записане у вигляді:

K = а • 10n, де 0 < а < 10, n – ціле число, то кажуть, що k записане у стандартному вигляді, де n – порядок числа k

5

Множення і ділення чисел, записаних у стандартному вигляді:

Якщо k1 = а • 10n, k2 = b • 10m, то

А) k1 • k2 = (а • 10n) • (b • 10m) = (ab)(10n+m);

Б)  Означення степеня з цілим відємним показником.

Зауваження: добуток і частку чисел k1 і k2, записаних у стандартному вигляді, також після виконання дій слід записати у стандартному вигляді

@ Після проведеної роботи на етані визначення мети уроку достатньо узагальнити проведені спостереження і сформулювати їх у вигляді формули  Означення степеня з цілим відємним показником, n  Означення степеня з цілим відємним показником N, де а? 0, (а також, можливо, у словесному вигляді: степінь із цілим від’ємним показником і з основою, відмінною від нуля, дорівнює дробу, чисельник якого – одиниця, а показник – степінь з тією самою основою і протилежним даному (натуральним) показником; однак вимагати від учнів відтворення цього формулювання не слід). При цьому необхідно звернути особливу увагу учнів на те, що степінь із цілим від’ємним показником має зміст лише при ненульовому значенні основи степеня, тому, на відміну від степеня з натуральним показником, степінь числа 0 з цілим від’ємним показником не має змісту (див. опорний конспект).

Оскільки для розв’язування багатьох завдань корисним є означення степеня з цілим від’ємним показником, записане на випадок, якщо основа с дробом вигляду  Означення степеня з цілим відємним показником, тому одразу по закінченні розгляду прикладів на пряме застосування означення степеня з цілим від’ємним показником учитель або пропонує учням у вигляді завдання, або разом з учнями виводить означення степеня з цілим від’ємним показником для степеня з основою  Означення степеня з цілим відємним показником (а? 0, b? 0):  Означення степеня з цілим відємним показником. Розглядаючи питання про сферу можливого застосування вивченого означення, слід звернути увагу учнів на гой факт, що обчислення значень виразів, які містять серед інших арифметичних дій дію піднесення числа до степеня, слід пам’ятати про існуючий порядок виконання дій різного ступеня, а також про те, що під час обчислення значення степеня з цілим від’ємним показником спочатку застосовується означення степеня, а потім обчислюється значення степеня з натуральним показником (за означенням степеня з натуральним показником).

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Обчисліть: 24; (-3)2; (0,1)3; (-1)8;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником; (-15)9; 0,30;  Означення степеня з цілим відємним показником; 00.

2. Замініть дробом степінь із цілим від’ємним показником. Заповніть пропуски:  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником.

3. Замініть дріб степенем із цілим від’ємним показником:  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником;  Означення степеня з цілим відємним показником ;  Означення степеня з цілим відємним показником

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв’язати завдання такого змісту:

1. Запис степеня із цілим від’ємним показником у вигляді дробу, і навпаки.

1) Замініть степінь із цілим від’ємним показником дробом: а) 10-6; б) 9-2; в) а-1; г) х-20; д) (ab)-3; є) (а + b)-4.

2) Замініть дріб на степінь з цілим від’ємним показником: а)  Означення степеня з цілим відємним показником; б)  Означення степеня з цілим відємним показником; в)  Означення степеня з цілим відємним показником; г)  Означення степеня з цілим відємним показником; д)  Означення степеня з цілим відємним показником.

2. Запис числа у вигляді степеня із заданою основою.

1) Подайте числа 4, 8, 16, 32, 2, 1,  Означення степеня з цілим відємним показником, Означення степеня з цілим відємним показником, Означення степеня з цілим відємним показником, Означення степеня з цілим відємним показником у вигляді степеня з основою 2.

2) Подайте числа:

А) 8, 4, 2, 1,  Означення степеня з цілим відємним показником,  Означення степеня з цілим відємним показником і  Означення степеня з цілим відємним показником у вигляді степеня з основою 2;

Б)  Означення степеня з цілим відємним показником,  Означення степеня з цілим відємним показником,  Означення степеня з цілим відємним показником, 1, 5, 25, 125 у вигляді степеня з основою 5.

3. Обчислення значень числового виразу (то має вигляд степеня з цілим від’ємним показником або містить такий степінь).

1) Обчисліть: 9-2; 15-1; 3-3; 5-4; 120; (-2)-4; (-3)-3; 0,5-2.

2) Знайдіть значення виразу:

А) 5 • 102; б) 16 • 2-5; в) 5-3 : 250; г) 3 : 2-3; д) 2-4 +2-2; е) 2-3 – 2-4; ж) 6-1 + 3•3-2; з) 4-1 – 3-2.

3) Знайдіть значення виразу:

А) 256 • 2-8; б) 0,1-2 + (-1)-24; в) 1,5-3 : 2,5-2; г)  Означення степеня з цілим відємним показником; д)  Означення степеня з цілим відємним показником; є)  Означення степеня з цілим відємним показником.

4) Знайдіть значення виразу:

А) 1-1 + 2-1 + 3-1 + 4-1; б)  Означення степеня з цілим відємним показником; в)  Означення степеня з цілим відємним показником; г) (2 + 2-1)-2 – (2 + 2-2)-1.

4. Порівняння з нулем значення виразу.

1) Порівняйте з нулем значення степеня:

А) 9-5; б) 2,6-4; в) (-7,1)-6; г) (-3,9)-3.

5. Запис у вигляді раціонального дробу виразу зі змінними, що містить степінь із цілим від’ємним показником.

1) Подайте вираз у вигляді раціонального дробу: a) 4а-2b-1; б) 7-1ab-5; в) х-2у-3; г) (а + b)-2.

2) Спростіть вираз:

А) (а + 5)-2(3а + 15); б) (а-2 – b-2) : (a + b); в) (b – 4)-1 – (b + 4)-1; г) (x-3 – y-3) : (х2 + ху + y2); д)  Означення степеня з цілим відємним показником; е)  Означення степеня з цілим відємним показником.

6. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Подайте у вигляді дробу вираз: а) ху-2 – х-2у; б)  Означення степеня з цілим відємним показником; в) mn(n – m)-2 – (m – n)-1; г) (х-1 + у-1)(х-1 – у-1).

2) Спростіть вираз: а)  Означення степеня з цілим відємним показником; б)  Означення степеня з цілим відємним показником.

3) Який вираз пропущено?

 Означення степеня з цілим відємним показником

60

 Означення степеня з цілим відємним показником (m? – а)

 Означення степеня з цілим відємним показником (m? – а)

?

7. На повторення використання властивостей степеня з натуральним показником:

1) Запишіть у вигляді одночлена стандартного вигляду вираз: а) -5х3у2 • 2ху3; б) (-3a2b4)2; в) (-2xy5)3; г) (m4n3)2 • (-mn)3.

2) Знайдіть значення виразу: а) 55 • 23; б) 44 • 1,254 • 24; в) 0,59 • (23)2; г) 2,55 • 0,72 • 0,45.

@ Вправи до уроку спрямовані на засвоєння учнями сформульованого означення, а також на формування вміння переходити від запису, що містить цілий від’ємний показник, до запису, що містить дріб (із протилежним натуральним показником), і навпаки. Цьому сприятиме виконання учнями вправ із прямою вказівкою на виконання зазначених дій та обчислення значення виразу, а також дослідницькі вправи (див. вище).Розв’язання вправ на повторення – на застосування властивостей степеня з натуральним показником – сприятиме підготовці учнів до вивчення відповідних властивостей степеня з цілим від’ємним показником.

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

А) 3-2 = 32; б)  Означення степеня з цілим відємним показником; в)  Означення степеня з цілим відємним показником; г)  Означення степеня з цілим відємним показником.

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити означення степеня з цілим від’ємним показником, а також властивості, отримані під час виконання письмових вправ.

2. Розв’язати вправи на застосування означення та сформульованих на уроці властивостей.

3. Повторити основну властивість степеня з натуральним показником та її наслідки, розв’язати вправи відповідного змісту.




Означення степеня з цілим від’ємним показником