Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Розділ 2 Звичайні дроби

§12. Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Ми вже вміємо перетворювати десяткові дроби у звичайні або у мішані числа, наприклад:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Також ми вміємо перетворювати звичайні дроби із знаменниками 10, 100, 1000, … у десяткові, наприклад,

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Щоб навчитися перетворювати звичайні дроби з іншими знаменниками у десяткові, необхідно згадати, що звичайний дріб є часткою від ділення чисельника на знаменник. Отже, щоб перетворити

звичайний дріб у десятковий, достатньо чисельник поділити на знаменник.

Наприклад:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Якщо на десятковий дріб треба перетворити мішане число, достатньо чисельник дробової частини поділити на знаменник і до утвореного десяткового дробу додати цілу частину мішаного числа.

Приклад. Подати число  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби десятковим дробом.

Розв’язання.

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Спробуємо перетворити дріб  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби на десятковий.

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Отже,  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Бачимо, що ділення не закінчилося,

тобто отримали нескінченний десятковий періодичний дріб. А в усіх попередніх випадках ми отримували скінченні десяткові дроби. Цифри 8 і 1, які стоять поряд у запису нескінченного десяткового дробу і повторюються безліч разів поспіль, утворюють період нескінченного десяткового дробу. Це записують так: 0,818181… = 0,(81) (читають: “нуль цілих 81 сота у періоді”). Отже,  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Як бачимо, при перетворенні звичайного дробу на десятковий можуть утворюватися як скінченні, так і нескінченні десяткові дроби. Скінченні дроби утворюються лише тоді, коли в розкладі знаменника на прості множники немає простих множників, крім 2 і 5. В інших випадках утворюється нескінченний періодичний десятковий дріб. Наприклад, дріб  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби перетвориться в періодичний десятковий дріб, бо 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3, тобто в розкладі є множник 3. Переконаємося:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби (читають: “нуль цілих 41 сота і 6 у періоді”).

Дріб  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби перетвориться в скінченний десятковий дріб, бо 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5, тобто не містить інших простих множників, крім 2 та 5. Справді,  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Перетворити звичайні дроби у десяткові можна й іншим способом: домножити чисельник і знаменник на необхідну кількість двійок або п’ятірок так, щоб кількість двійок у знаменнику дорівнювала кількості п’ятірок. Тоді знаменник буде кратним числу 10. Наприклад:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

А ще раніше…

У XVII ст. перетворенням звичайного дробу в десятковий займалися італійський математик Бонавентура Кавальєрі (1598- 1647), англійський математик Джон Валліс (1616-1703) та інші.

У процесі нескінченного ділення чисельника звичайного дробу на його знаменник ці вчені отримали періодичні дроби.

У XVIII ст. періодичні дроби також вивчалися німецьким вченим Йоганом Ламбертом (1728-1777) та видатним математиком, фізиком, механіком і астрономом Леонардом Ейлером (1707- 1783). Повну теорію періодичних дробів розробив на початку XIX ст. видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777- 1855).

Термін “період” для групи цифр, що нескінченно повторюються, походить від грецького слова “періодис” – обхід, обертання по колу.

Як перетворити звичайний дріб у десятковий? Чи завжди це перетворення дає скінченний десятковий дріб? Який запис числа називають нескінченним десятковим періодичним дробом? У якому випадку звичайний нескоротний дріб можна перетворити у скінченний десятковий дріб?

274. Прочитай: 0,5; 1,13; 0,(7); 3,1(2); 4,2(37).

275. Перевір, що:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

276. Перевір, що:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

277. Перетвори у десятковий дріб дане число (у випадку отримання нескінченного дробу ділення припини після визначення періоду):

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

278. Перетвори у десятковий дріб дане число (у випадку отримання нескінченного дробу ділення припини після визначення періоду):

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

279. Перетвори звичайний дріб у десятковий і обчисли:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

280. Перетвори звичайний дріб у десятковий і обчисли:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

281. Запиши у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу частку:

1) 5 : 99; 2) 19 : 11; 3) 43 : 12; 4) 12,5 : 27.

282. Запиши у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу частку:

1) 10 : 9; 2) 7 : 15; 3) 44 : 6; 4) 25,4 : 11.

283. Порівняй дроби, записавши попередньо звичайні дроби у вигляді десяткових дробів:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

284. Порівняй дроби, записавши попередньо звичайні дроби у вигляді десяткових дробів:

 Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

285. Червону стрічку, довжина якої 25 м, розрізали на 7 однакових частин, а зелену стрічку, довжина якої 39 м, розрізали на 11 однакових частин. Довжина якої з отриманих частин більша: червоної чи зеленої?

286. Округли десяткові дроби:

1) до одиниць: 2,73; 3,052; 7,5789;

2) до десятих: 11,82; 0,4859; 11,2342;

3) до сотих: 0,451; 12,499; 1,574.

287. 1) Чи є взаємно простими числа 2012 і 2015? 2) Назви три числа, кожне з яких є взаємно простим з числом 2012 і з числом 2015.

288. Чи можна число 1 подати у вигляді суми дробів  Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби де a, b, c, d – непарні натуральні числа?


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 3,50 out of 5)


Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби - Математика


Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби