Розкладання чисел на прості множники

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

§5. Розкладання чисел на прості множники

Кожне складене число можна подати у вигляді добутку хоча б двох множників, відмінних від одиниці. Наприклад, 330 = 10 ∙ 33. Якщо серед таких множників є складені числа, то їх також можна подати у вигляді добутку двох множників. Наприклад, 330 = 10 ∙ 33 = (2 ∙ 5) ∙ (3 ∙ 11) = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11. Схематично це можна подати так:

 Розкладання чисел на прості множники

Якщо складене число подано у вигляді добутку, всі множники якого є простими числами, то кажуть: складене число розклали на прості

множники. Наприклад, 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 150 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5; 900 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 тощо. Розкладом простого числа на прості множники будемо вважати саме це число.

При розкладанні числа на прості множники доцільно використовувати ознаки подільності на 2, 3 та 5. При розкладанні багатоцифрових чисел на прості множники використовують схему, подану в наступному прикладі.

Приклад 1. Розкласти на прості множники число 420.

Розв’язання. Запишемо число 420 і праворуч від нього проведемо вертикальну риску. Це число

ділиться на 2, бо закінчується цифрою 0. Запишемо цей дільник 2 праворуч від риски, а частку 420 : 2 = 210 запишемо під числом 420. Далі із числом 210 виконуємо те саме: 210 : 2 = 105. Число 105 не ділиться на 2, бо закінчується непарною цифрою. Але 105 ділиться на 3, бо сума його цифр (1 + 0 + 5 = 6) ділиться на 3. Маємо 105 : 3 = 35. Далі 35 : 5 = 7. Число 7 – просте, поділивши його на 7, одержимо 1. Розклад закінчено. Отже, стовпчик чисел праворуч від риски складається з простих множників, добуток яких дорівнює 420, тобто 420 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7.

 Розкладання чисел на прості множники

Зауважимо, що добуток однакових множників у розкладі числа на прості множники можна замінювати степенем. Наприклад, 420 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 150 = 2 ∙ 3 ∙ 52; 1000 = 23 ∙ 53 тощо.

Утворюючи всі можливі добутки зі знайдених простих множників по два, по три тощо, одержимо всі інші дільники числа.

Приклад 2. Знайти всі дільники числа 84.

Розв’язання. Розкладаємо число 84 на прості множники: 84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7. Дільниками числа 84 є 1, прості числа 2, 2, 3, 7 та всі можливі їх добутки:

По два: 2 ∙ 2 = 4, 2 ∙ 3 = 6, 2 ∙ 7 = 14, 3 ∙ 7 = 21;

По три: 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12, 2 ∙ 2 ∙ 7 = 28, 2 ∙ 3 ∙ 7 = 42;

По чотири: 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 84.

Отже, дільниками числа 84 є: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

– Поясни, що означає розкласти число на прості множники.

 Розкладання чисел на прості множники

83. (Усно) Чи є розкладом на прості множники добуток:

1) 3 ∙ 5; 2) 1 ∙ 5; 3) 2 ∙ 7 ∙ 12; 4) 4 ∙ 3 ∙ 5?

84. (Усно) Розклади на прості множники число:

1) 8; 2) 10; 3) 12; 4) 14; 5) 17;

6) 18; 7) 20; 8) 25; 9) 27; 10) 31.

85. Розклади на прості множники число:

1) 56; 2) 130; 3) 60; 4) 96; 5) 250;

6) 315; 7) 561; 8) 175; 9) 2240; 10) 1782.

86. Розклади на прості множники число:

1) 48; 2) 105; 3) 88; 4) 660;

5) 600; 6) 3003; 7) 2772; 8) 4900.

87. Чи ділиться число 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 17 на:

1) 2; 2) 6; 3) 51?

У разі позитивної відповіді знайди частку від ділення.

88. Знайди частку від ділення:

1) числа 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 19 на число 2 ∙ 7 ∙ 19;

2) числа 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 на число 15.

89. У деяку кількість кошиків, яких менше ніж 20, розклали порівну 85 яблук. Скільки всього було кошиків і скільки яблук містив кожний кошик?

90. Розклади на прості множники число 990 та знайди всі його дільники.

91. Розклади на прості множники число 700 та знайди всі його дільники.

92. Заміни зірочки цифрами, щоб рівність була правильною: 7* = 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ *.

93. Площа Італії разом з островами становить приблизно 309 500 км2, а площа України на 95 % за неї більша. Знайди площу України. Порівняй отриманий результат з точними даними про площу України.

94. Виконай дії:

 Розкладання чисел на прості множники

95. 1) Використовуючи таблицю простих чисел (до 1000), знайди всі пари простих чисел, у кожній з яких друге число більше за перше на 2. (Такі пари простих чисел називають числами-близнюками).

2) Використовуючи калькулятор, комп’ютер або інформацію в Інтернеті, спробуй знайти ще кілька таких пар чисел, кожне з яких більше за 1000.




Розкладання чисел на прості множники