11.
12.
Точки А(4; 4; 4), В(-4; 4; 4), С(-4;-4; 4), П(4; 4; -4), D(-4; 4; -4), E(4; -4; 4),
F(4; -4; -4), M(-4; -4; -4) віддалені від кожної з координатних площин на 4.
13.
14.
О – початок координат.
ОВ > ОА, отже, ближче до початку координат лежить т. А.
15.
16.
Оскільки КТ = РТ, то 
2 + у2 – 2у + 1 = 18 + у2 + 2у + 1; -4у = 164; у = -4.
17.
Оскільки 
Тобто АС = АВ + ВС, то точки А, В, С лежать на одній прямій,
А тому не можуть бути вершинами трикутника.
18.
Звідси АВ + ВС = АС. Тому А, В, С лежать на одній прямій
І точка В ділить відрізок АС навпіл.
BD = ВС + AD. Тому
Отже, точки А, В, С, D лежать на одній прямій
І т. В і С ділять AD на рівні частини.
19. Нехай шукана точка Р має координати Р(0; у; 0).
Оскільки PA = РВ, то 
У2 + 2у + 26 = 10 + 6y + у2; у2 + 2у + 6у – у2 = 10 – 26; 8y = -16; у = -2.
Тому Р(0; -2; 0).
.
20.
А1В1 – проекція АВ на площину ху.
А1(1; 1; 0), В1 (1; 4; 0); 
А2В2 – проекція АВ на площину хz.
А2( 1; 0; 1), B2(1; 0; 5); 
А3В3 – проекція АB на площину уz.
А3(0; 1; 1), В3(0; 4; 5); 
А4Б4 – проекція AB на вісь x. А4(1; 0;0), B4(1; 0; 0), А4В4 = 0.
А5В5 – проекція АВ на вісь у. А5(0; 1; 0), В5(0; 4; 0), A5B5 = 3.
А6В6 – проекція АВ на вісь z. А6 (0; 0;1), В6(0; 0; 5), А6В6 = 4.
21.
Знайдемо O1 – середину відрізка АС.
Знайдемо O2 – середину BD.
О1 і O2 збігаються. Отже, АС і BD перетинаються
І точкою перетину діляться навпіл.
Тому чотирикутник з діагоналями АС і BD є паралелограмом,
Тобто ABCD – паралелограм.
22.
А) А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 3).
ΔABC – рівносторонній.
Б) А(2; 0; 5), В(3; 4; 0), С(2; 4; 0).
ΔABC – різносторонній.
В) А(2; 4; -1), В(-1; 1; 2), С(5; 1; 2).
ΔABC – рівнобедрений. 
АВ = АС – бічні сторони, ВС – основа, К – середина ВС.
К(2; 1; 2); 
АK – висота. 
23.
А) М(0; -2; 0), N(4; 1; 0), Р(4; 1; 5), K(0; -2; 5).
тобто 
– середина МР.
тобто 
– середини NK.
МР і NK – діагоналі чотирикутника перетинаються
І точкою перетину діляться навпіл. ABCD – паралелограм.
МР – NK, тоді MNPK – прямокутник.
MNPK – квадрат. SMNPK = 52 = 25.
Б) М(6; 8; 2), N(2; 4; 3), Р(4; 2; 8), К(8; 6; 7).
(5; 5; 5) — середина МР; (5; 5; 5) – середина NK.
MNPK – паралелограм, оскільки діагоналі
Точкою перетину діляться навпіл.
MNPK – не є прямокутником, оскільки діагоналі не рівні.
Сторони паралелограма рівні, тому MNPK – ромб.
В) М(1; 1; 1), N(1; 0; 1), Р(І; 0; 0), K(1; 1; 0).
– середина МР; 
– середина NK.
MNPK – паралелограм, оскільки діагоналі
Точкою перетину діляться навпіл.
Діагоналі рівні, тому MNPK – прямокутник.
MNPK – квадрат. S = 1 × 1 = 1.
24.
Оскільки А(0; 0; 5) і B(0; 5: 0), то пряма АВ розміщена в площині zy.
ΔАОВ – прямокутний, рівнобедрений.
Кут між прямою АВ і віссю у дорівнює 45°.
Кут між прямою АВ і віссю z дорівнює 45°.
Кут між прямою АВ і віссю х дорівнює 90°,
Оскільки вісь х перпендикулярна площині zy.
25.
Проведемо через т. С пряму СК || АВ.
Кут між прямими АВ і СD дорівнює куту між прямими СВ і СК,
Тобто 60°, оскільки ΔВСК – рівносторонній.
26.
ΔАВС – рівносторонній. 
Знайдемо проекцію О В на площину (ABC). OO1 + (ABC),
О1 ;- радіус описаного кола.
27.
K(b; с; 0), N(b; с; h), М(0; с; h), Е(b; 0; h).
28.
А1(1; 1; -1), В1 (-1; 1; -1), D( 1; -1; 1), А1(1: -1; -1).
29.
Нехай Р(х; у; 0) – шукана точка. Тоді 
Оскільки PA = РВ і PA = PC, маємо:
Отже, Р(-0,25; 0,25; 0).
30.
Оскільки точка K віддалена від площини (ху) на відстань 2,
То K(2; у, z) або K(-2; у, z).
KА2 = (0 – 2)2 + (0 – у)2 + (1 – z)2= 4 + у2 + 1 – 2z + z2 – y2 + z2 – 2z + 5;
KВ2 = (0 – 2)2 + (1 – у)2 + (0 – z)2 – 4 + 1 – 2у + у2 = z2 + у2 + z2 – 2у + 5;
KС2 = (2 – 1)2 + (0 – y)2 + (0 – z)2 = 1 + у2 + z2.
Оскільки KA = KВ = KС, то KА2 – KВ2 = KС2.
Маємо систему:
Отже, K(2; 2; 2).
Аналогічно розв’язуємо, якщо K(-2; y; z) маємо K(-2; -2; -2).
31.
Нехай R(x; у; 0) – шукана точка, тоді PR = RQ = PQ; РR2 = (x – 3)2 + (у – 8)2 + (0 – 1)2; QR2 = (x – 2)2+ (y – 9)2+ (0 – 1)2; PQ2 = (2 – 3)2+ (9 – 8)2+ (1 – 1)2= 1 + 1 + 0 = 2.
Звідси:
або 
Отже, R(2; 8; 0) або R(3; 9; 0).
32.
А(3; 2; 1), С(-2; -1; 3).
Нехай В(0; 0; z).
А) ΔABC – рівнобедрений. АВ2 = (0 – 3)2 + (0 – 2)2 + (z – 1)2 – z2- 2z + 14;
АС2 = (-2 – 3)2 + (-1- 2)2 + (3 – 1)2 = 38;
ВС2 = (-2 – 0)2 + (-1 – 0)2 + (3 – z)2 = z2 – 6z + 14.
Якщо АВ = ВС, то z2 – 2z – 14 = 38; z2 – 2z – 24 = 0; z = -4 або z = 6.
Якщо AB = ВС, то z2 – 2z + 14 = z2 – 6z + 14; 4z = 0; z = 0.
Якщо АС = ВС, то z2 – 6z + 14 – 38; z2 – 6z – 24 = 0; D = 36 + 96 = 132;
або 
Отже, точка В може мати координати (0; 0; -4), (0; 0; 6), (0; 0; 0),
33.
S(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).
SA = SB = SC = 2. Отже, SABC – правильна піраміда.
34.
Якщо В лежить у площині (уz), то В(0; у; z) і ВА = ВС = АС.
ВА2 – 02 + (-2 – y)2 + z2; ВС2 = 02 + (2 – у)2 + z2; 
BA2 = ВС2; (-2 – у)2 + z2 – (2 – y)2 + z2; 4 + 4y + у2 + z2 = 4 – 4y + y2 + z2; 3y = 0; y = 0.
02 + (2 – y)2 + z2 – 42; 4 – 4у + у2 + z2 = 16.
Оскільки у = 0, то 4 + z2 = 16; z2 = 12
Або 
Отже, 
або 
Знайдемо координати точки D.
І. А(0; -2; 0), С(0; 2; 0), 
D(x; у; z).
AD2 = x2 + (y + 2)2 + z2; СD2 = x2 + (у – 2) 2 + z2;
Оскільки тетраедр правильний, то АВ2 = 16; СВ2 = 16; ВВ2 = 16, тому:
Отже, якщо 
то 
або 
II. А(0; -2; 0), С(0; 2; 0), 
D(x; у; z).
Аналогічно складаємо систему:
Якщо 
то 
або 
35.
А) 
– відстань між точками (x, y, z) і А(6; 0; 0).
– відстань між точками Р(х; у; z) і В(0; 0; 8).
Оскільки ΔАОВ– прямокутний, то О А2 + ОВ2 = AB2, ОА = 6, ОВ = 8,
Тому АВ = 10.
Точки Р(х; у; z) знаходяться на відрізку АВ, оскільки АР + РВ = 10,
Б) 
– відстань між точками
P(x; у; z) і A(0; 3; 0);
– відстань між точками Р(x; у; z) і B(0; 0; 4).
ОА = З, ОВ = 4. АВ = 5.
Якщо т. Р ∠АВ, то РА + ОВ = 5. Якщо Р ∠АВ, то РА + РВ > 5, тому таких точок Р,
Щоб виконувалася умова РА + РВ = 4, не існує.
(1 votes, average: 5,00 out of 5)