Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників ❤️ ГДЗ з математики

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 19. Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

466. 1) PF – гіпотенуза, PL і LF – катети.

2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF – гіпотенуза.

467. На рис. 321 трикутники рівні за двома катетами. Оскільки АС = ML, СВ = LP, то? АСВ = ?MLP.

На рис. 322 трикутники рівні за катетом і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то? NFE = ?DKO.

468. На рис. 323 трикутники рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Оскільки CM = BA, ∠C = ∠B, то? СМК = ?ВАР.

На

рис. 324 трикутники рівні за катетом і гіпотенузою. Оскільки ED = CD, DF = QN, то? EDF = ?LQN.

469. 1) Нехай ∠C = 17°, тоді ∠B = 90° – ∠C = 90° – 17° = 73°.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай ∠L = 83°, тоді ∠M = 90° – 83° = 7.

Відповідь: 1) 73°; 2) 7°.

470. 1)

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай ∠M = 79°, тоді ∠L = 90° – ∠M = 90° – 79° = 11°.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай ∠R = 27°, тоді ∠P = 90° – ∠R = 90° – 27° = 63°.

Відповідь: 1) 11°; 2) 63°.

471.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? ABC – прямокутний і рівнобедрений

(∠B = 90°, BA = ВС).

∠A = ∠C як кути в основі рівнобедреного трикутника. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90° і вони рівні, то ∠A = ∠C = 90°; 2 = 45°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°.

472.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? ABC – рівнобедрений, AB = ВС, ∠A = 45°, тоді ∠C = 45° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні). Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠A + ∠B + ∠C =180°, ∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – 90° = 90°. Отже, ?ABC – прямокутний.

473.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

1) Згідно з властивістю 3, катет прямокутного трикутника” що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Отже, ВС = 1/2AВ = 1/2 • 12 = 6 (см).

2) AB = 2ВС = 2 x 3 = 6 (CM).

Відповідь: 1) 6 см; 2) 6 дм.

474. 1) Оскільки у прямокутнику? PFL

∠F = 90°, ∠L = 30°, то PF = 1/2PL = 1/2 • 16 = 8 (дм).

475.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? ABC – даний трикутник, ∠ABK = 37°, ∠KBC = 62°. ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 37° + 62° = 99°.

З прямокутного? ABK маємо: ∠BAK = 90° – ∠ABK = 90° – 37° = 53°.

З прямокутного? СВК маємо: ∠BCK = 90° – ∠KBC = 90° – 62° = 28°.

Відповідь: 99°, 53°, 28°.

476. Нехай? KLM – рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN – медіана рівнобедреного трикутника, то LN – бісектриса і висота? KLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 x 28° = 56°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠K + ∠M + ∠L = 180°, ∠K + ∠M = 180° – ∠L = 180° – 56° = 124°. ∠K = ∠M як кути в основі рівнобедреного трикутника. ∠K = ∠M = 124° : 2 = 62°. °56°, 62°, 62°.

477. ?АВС = ?KLC (оскільки ВС = CL за умовою, ∠BCA = ∠LCK – як вертикальні кути) за гіпотенузою і гострим кутом.

478. У прямокутних три кутниках MРК і MLK ∠PMK = ∠LMK – за умовою, МК – спільний катет. Отже, ?МРК = ?MLK за катетом і прилеглим кутом.

479. 1)

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? KLM ∠L = х°, тоді ∠K = х° + 28°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння: х + х + 28° = 90°, 2х = 90° – 28° = 62°; х = 62° : 2 = 31°. Отже, ∠L = 31°, ∠K = 31° + 28° = 59°.

Відповідь: 31°, 59°.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? АВС ∠A = х°, ∠B = 5х°. Скільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: х + 5х = 90°; 6х = 90°; х = 15°. Отже, ∠A = 15°, ∠B = 15° х 5 = 75°.

Відповідь: 15°, 75°.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? АВС градусна міра ∠A = 2х°, ∠B = 3х°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: 2х + 3х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, ∠A = 2 x18° = 36°, ∠B = 3 x 18° = 54°.

Відповідь: 36°, 54°.

480. 1)

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? АВС ∠A = х°, ∠B = 4х°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо: х + 4х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° х 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? АВС ∠A = x, тоді ∠B = х + 16°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо: х + х + 16° = 90°, 2х = 74°, x = 37°. Oтже, ∠A = 37°, ∠B= 37° + 16° = 53°.

Відповідь: 37°, 53°.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? ABC ∠B = 5х, ∠A = 4х. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: 5х + 4х = 90°; 9х = 90°; х = 10°. Отже, ∠B = 5 х 10° = 50°, ∠A = 4х 10° = 40°.

Відповідь: 50°, 40°.

481.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? KNM (∠M = 90°) МР – бісектриса, ∠KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°, ∠K = 26°.

З? КМР: ∠KPM = 180° – (∠K + ∠KMP) = 180° – (26° + 45°) = 109°. Тоді ∠MPK = 180° – ∠KPM = 180° – 109° = 71°. Отже, менший кут між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою дорівнює 71°.

Відповідь: 71°.

482.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? АВС (∠C = 90°) СК – бісектриса. ∠ACK = ∠KCB = 90° : 2 = 45°.

З? СКВ ∠CKB = 180° – (∠KCB + ∠B) = 180° – (45° + 68°) = 67°(за теоремою про суму кутів трикутника). Тоді ∠CKA = 180° – ∠CKB = 180° – 67° = 113°. Отже, більший кут між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою дорівнює 113°.

Відповідь: 113°.

483.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай т. М розміщена всередині кута ABC, MB ⊥ AB, MC ⊥ AC, BM = CM. Доведемо, що т. M належить бісектрисі кута А, тобто ∠BAM = ∠CAM.

?АВМ = ?ACM за гіпотенузою і катетом (AM – спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.

484.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в прямокутному? ABC (∠B = 90°) BD ⊥ AC, ∠DBC = 32°.

З? ВDС: ∠C = 90° – ∠DВС = 90° – 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

∠A + ∠C = 90°, ∠A = 90° – ∠C = 90° – 58° = 32°.

Відповідь: 58°, 32°.

485.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? ABC – прямокутний (∠C = 90°). CM і BN – бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45° ∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115°.

З? СОВ за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°. Звідси ∠OBC = 180° – 115° – 45° = 20°. Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 х 20° = 40°.

З? ABC: ∠A = 90° – ∠B = 90° – 40° = 50°.

Відповідь: 40°, 50°.

486.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? ABC – рівнобедрений, AB = ВС, ?A1B1C1 – рівнобедрений, A1B1 = B1C1, ВК ⊥ AC, B1K1⊥ A1C1.

?ABK = ?A1B1K1 (за гіпотенузою АВ = A1B1 і катетом ВK = B1K1). З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A1, АК = А1К1. Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A1K1 = К1С1. Враховуючи, що АК = А1К1, маємо АС = А1C1.

Отже, ?ABC = ?A1B1C1 за двома сторонами і кутом між ними (АВ = A1B1 за умовою, ∠A = ∠A1, АС = A1C1 за доведенням).

487.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? ABC – прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, АВ + СВ = 30 см, СК – медіана. ∠A = 90° – 60° = 30° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

Нехай ВС = х, тоді АВ = 2х (оскільки катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Складемо рівняння: х + 2х = 30; 3х = 30; х = 10, тоді 2х = 2 х 10 = 20. Отже, АВ = 20 см. Оскільки ОК – медіана, проведена до гіпотенузи, то СК = 1/2AВ = 1/2 • 20 = 10 (см).

Відповідь: 20 см, 10 см.

488.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай? KMN – прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, МР = 4 см.

З? KMN: ∠K = 90° – ∠M = 30°. Оскільки МР – бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30. Отже, ?РКM – рівнобедрений, оскільки ∠К = ∠КМР, звідси РК = МР = 4 (см).

З? PMN: ∠PMN = 30°. Отже, РN = 1/2MР = 1/2 • 4 = 2 (см). KN = РК + PN = 4 + 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

489.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай у прямокутному трикутнику AВС (∠C = 90°), ∠PAB і ∠ABK – зовнішні кути при вершинах гострих кутів. Нехай ∠PAB = х°, тоді ∠ABK = х° + 20°. ∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси ∠CAB = 180° – ∠PAB = 180° – х°. ∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси ∠ABC = 180° – ∠ABK = 180° – (х° + 20°) = 160° – х°.

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, маємо рівняння: 180° – х + 160° – х = 90°; 2х = 250°; х = 125°. Отже, ∠CAB = 180° – 125° = 55°, ∠ABC = 160 – 125° = 35°.

Відповідь: 55°, 35°.

490.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай у прямокутному? KLM (∠M = 90°) ∠NKP і ∠KLP – зовнішні кути, ∠NKP = 2х°, ∠KLP = 3х°. ∠MKL = 180° – 2x°. ∠KLM = 180° – 3x° (за властивістю суміжних кутій). ∠MKL + ∠KLM = 90°, отже, 180° – 2х + 180° – 3х = 90°; 5х = 270°; х = 54°. Отже, ∠MKL = 180° – 2 x 54° = 180° – 108° = 72°, ∠KLM = 180° – 3 х 54° = 180° – 162° = 18°.

Відповідь: 72°, 18°.

491.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай СМ – медіана, Р? ACM = Р? CMB. Оскільки Р? ACM = АС + CM + AM, Р? CMB = ВС + CM + MB і ці периметри рівні, то АС + CM + АМ = ВС + СМ + MB. Звідси АС + AM = ВС + MB. Враховуючи, щоAM = MB, матимемо АС = ВС. Отже, у трикутника ABC хоча б дві сторони рівні, а отже, рівні і хоча б два кути.

492.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай в? ABC ∠A = х°, ∠B = х° + 20°, ∠C = 3х°.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + 20° + 3х = 180°; 5х = 160°; x = 32°. Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 х 32° = 96°.

Відповідь: 32°, 52°, 96°.

493.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Нехай у? АВС AB = ВС = x см, тоді АС = (х + 3) см. За умовою задачі маємо: х + 3 + 4 = х + х; х + 7 = 2x; х = 7. Отже, AB = ВС = 7 см, АС = 7 + 3 = 10 (см).

P? ABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24(см).

Відповідь: 24 см.

494.

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

(2 votes, average: 2,50 out of 5)

Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників - ГДЗ з математики

Схожі записи:

Розкладання многочлена на множники. Метод групування 480. 1) Якщо a = 0,5; b = 2,25, то 2a3 – 3a2 – 2ab + 3b = (2a3 – 3a2) – (2ab – 3b)...
Вектори у просторі 156. ABCDEF – правильний шестикутник. А) Б) В) Але 157. 158. А) Б) В) 159. 160. А) Б) В) 161. 162. А(х; у; z). Тому...
Розміщення. Перестановки. Комбінації 636. (х, у); (х, z); (х, t); (у, z); (у, t); (z, t). 637. (х, у); (х, z); (х, t); (у, z); (у, t); (z,...
Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника § 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника § 15. Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника Вправи 357. Нехай х° – третій кут трикутника, тоді 35 +...
Тіла обертання 1008. Осьовий переріз – це ΔARB1, де BB1 = 2 × СВ = 4 (см), АС + В 1В, В 1C = СB. S =...
Перевірка ділення і множення. Ділення виду 64 : 16, 125 : 25 Перевірка ділення і множення. Ділення виду 64 : 16, 125 : 25 919. Розв’язання: 1) 60 – 24 = 36 (л) – витрачав трактор; 2)...
Складніші задачі на побудову Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 19. Складніші задачі на побудову 736. Так. 737. Мал. 401. X належить бісектрисі кута В та...
Запитання і вправи для повторення § 7 Відповідь: (3; 3), (-1; -2), (1; 0,5). 1012. а) х – 2y = 4; X 0 4 Y -2 0 Б) 4х + у =...
Властивості кола. Дотична до кола § 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника § 19. Властивості кола. Дотична до кола Практичні завдання 507. АК = КВ. 508. AB ⊥ CD –...
Алгебра векторів 1. Побудуємо вектори – одиничний вектор 2. Побудуємо вектори 3. Побудуємо вектори 4. Побудуємо вектори 5. 6. 1) Побудуємо вектори 2) Побудуємо вектори 7. Побудуємо...
Лінійна функція Розв’яжіть задачі 882. мал. 40. 883. 1) ні; 2) ні; 3) так. 884. 1) так; 2) ні; 3)так. 885. 1) ні; 2) ні; 3) так....
Рівняння із вдома змінними 870. Рівняння із двома змінними: б) x + 2у = 7; г) х – у = 1; д) 12x + 10у = 0; е) 0x...
Ознаки рівності прямокутних трикутників Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 14. Ознаки рівності прямокутних трикутників 549. Ні, трикутники не рівні. 550. Мал. 319. ?САВ = ?HDQ...
Лінійні рівняння з однією змінною 793. Лінійними рівняннями є рівняння: а) 2/9х = 8; в) -2,7y = 0. 794. а) 56х = 64; рівняння має 1 корінь, Б) 0х =...
Розв’язування систем лінійних рівнянь методом підстановки Відповідь: (2; 5). Відповідь: (-20; 6). Відповідь: (48; 8). Відповідь: (4; 2). Відповідь: (7; 3). Відповідь: (8; -6). Відповідь: (9; 3). Відповідь: (2; 3,8). 1035....
Дії зі степенями Розв’яжіть задачі. 242. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 243. 1) 5; 2) 16; 3) 5; 4)4. 244. 1) Не вірно; 2) не вірно; 3)...
Конуси 1050. ΔSAPO: ∠АОР = 90°, ОЕ = АЕ = ЕР = 6,5 см → АР = 13 см. АО = 5 см. R = AO,...
Трикутник і його елементи Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 9. Трикутник і його елементи 292. На мал. 194 зображені трикутники ABD, ABC, ОВС. Проти кута...
Вправи 375-424 375. ВС – бісектриса ∠ABD; ∠ABD = 80° + 80° = 160°; ∠BAC + ∠ABD = 20° + 160° = 180°; ∠BAC і ∠ABD –...
Об’єм піраміди і зрізаної піраміди 1247. Нехай SABCD – правильна піраміда. SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = AD = 1 дм. З...
Вправи 176-224 176. Якщо три точки лежать на прямій, вони не можуть бути вершинами трикутника. 177. А) Кути прилеглі до сторони МР: ∠KMP і ∠KPM; Б) ∠KMP...
Вписана та описана сфера 1. Нехай О А – радіус кулі, ОА = 1 см. АВ = ΚΚ1 = 2ОА = 2 см. CD = 2СО = 2 см....
Завдання для перевірки знань до §§ 25-30 1. 1) 2х + 3у = 9. 2. Розв’язком рівняння 2х + у = 7 є пара чисел (4; -1). 3. Розв’язком системи рівнянь є...
Вправи 575-624 575. АВ і АС дотикаються до кола з центром О у точках В і С. ∠CBO = 40°. ?АBО – прямокутний, OB ⊥ AB (OB...
Зовнішній кут трикутника та його властивості Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників § 18. Зовнішній кут трикутника та його властивості 438. ∠BAK – зовнішній кут при вершині А. 439. ∠LDP –...
Конус і зрізаний конус 983. Нехай дано конус, твірна якого AM = l, і нахилена до площини основи під кутом ∠MAO = α. А) ΔAMO – прямокутний. OM –...
Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними А) х = 2; у = 1 – розв’язок системи, бо 2 – 2 • 1 = 0 – правильна рівність; 2 + 3 •...
Вправи 425-474 425. АС – основа; AB = CB; ∠ADC = 150°. ∠CAD = ∠BAD = x; ∠ACD = 2x; x + 2x + 150° = 180°;...
Дії над векторами 192. А) Б) В) Г) 193. 194. А) Б) В) 195. 196. бо – протилежні вектори, (аналогічно). 197. 198. А) Б) 199. А) Але оскільки...
Теорема Гульдіна 1379. У трикутнику ABC AB = ВС, AC = a, BK + AC, BK = h. Центром мас трикутника ABC є точка O – точка...
Об’єм піраміди і конуса 1. Об’єм Піраміди Хеопса V дорівнює: 2. Знайдемо відношення довжин висоти і сторони основи на прикладі піраміди Хеопса. Площа основи піраміди – квадрат з площею...
Об’єми і площі поверхонь геометричних тіл 289. 1) ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед. AC = 5 см. A1C = 15 см. ΔAA1C: ∠ A = 90°. Відповідь: 2) V – ? Δ...
Описані і вписані кола Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 17. Описані і вписані кола 671. Коло, описане навколо трикутника, зображено на мал. 372. 672. Коло,...
Поняття рівняння. Розв’язування рівнянь 770. а) 5х = 3х + 4. Х = 2 – корінь рівняння, бo 5 • 2 = 3 • 2 + 4 – правильна...
Рівність геометричних фігур Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 11. Рівність геометричних фігур 397. Щоб сумістити фігури F1 i F, можна скопіювати фігуру F1 на...