Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь

УРОК 25

Тема. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь

Мета уроку: формування умінь учнів розв’язувати однорідні тригонометричні рівняння.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Обговорення розв’язування вправи № 2 (6; 9; 11) за готовими розв’язаннями.

2. Розв’язування аналогічних вправ.

А) 1 + cos x + cos 2x = 0;

Б) cos4 x – sin4 x =  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь;

В) cos 4х + sin 2x = 0;

Г) cos x (tg x – 1) = 0.

Відповіді: а)  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, ±  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + 2 ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; б) ±  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ;

В) (-1)n+1  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь +  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь;  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; г)  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

1) Розглянемо рівняння виду asin x + bcos x = 0 (однорідне рів­няння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю. Значення x, при яких cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві

частини рівняння почленно на cos x. Маємо:

 Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь; atg x + b = 0; tg x = – Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь .

X = – arctg  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

Виконання вправ

Розв’яжіть рівняння.

1. а)  Розвязування однорідних тригонометричних рівняньSinx + cosx = 0;

Б) 16sin x = 5cos x;

В) 2cos 2x + 3sin 2x = 0;

Г) sin2 x + sin x cos x = 0.

Відповідь: а) – Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; б) arctg Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; в) – Розвязування однорідних тригонометричних рівняньArctg Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; г) ?n, – Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

2. Рівняння виду a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на cos2 x (або на sin2x). (У даному рівнянні cos2x? 0, бо в супротивному випадку sin2 x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю). Тоді

 Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь;

Atg2x + btgx + c = 0.

Розв’язавши отримане, рівняння одержимо корені даного рів­няння.

Виконання вправ

1. Розв’яжіть рівняння:

А) sin2 x = 3cos2 x;

Б) sin2 x – 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;

В) 3sin2 x – 4sin x cos x +cos2 x = 0;

Г) sin2 x – 5sin x cos x + 6cos2 x = 0.

Відповідь: а) ±  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; б) arctg 2 + ?n,  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; в)  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, arctg  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; г) arctg 2 + ?n, arctg 3 + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

3. Рівняння виду аn sinn x + an-1 sinn-1x cos x +… + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0

Називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно си­нуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів an, а n-1, … , а1, a0 не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosnx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx. Якщо хоча б один із коефіцієнтів an, а n-1, … , а1, a0 дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на cosnx, слід довес­ти, що cosnx? 0, тобто, cos x? 0.

Розглянемо приклад:

Розв’яжіть рівняння cos2 x – 2 cos x sin x = 0.

Ділити обидві частини на cos2 x не можна, бо cos2 x = 0 є роз­в’язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати:

І спосіб (винесення множника)

Cos2 x – 2 cos x sin x = 0

Cos x (cos x – 2 sin x) = 0

Звідси cosx = 0 або cosx – 2sinx = 0.

1) cos x = 0; x =  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

2) cosx – 2sinx = 0;  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь; 1 – 2tgx = 0; tgx =  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь; x = arctg  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

Відповідь:  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; arctg  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

II спосіб. Розділимо обидві частини на sin2 x, оскільки sin x? 0 в даному рівнянні, бо в супротивному випадку і cos x = 0, що неможливо.

 Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь,

Ctg2 x – 2ctg x = 0;

Ctgх(ctg x – 2) = 0.

Звідси ctg x = 0, або ctg x = 2.

1) ctg x = 0; x =  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

2) ctg x = 2; x = arcctg 2 + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

Відповідь:  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, arcctg 2 + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

Виконання вправ

1. Розв’яжіть рівняння:

А) sin 2х – cos2 x = 0;

Б) 2 sin2 x =  Розвязування однорідних тригонометричних рівняньSin 2х;

В) 3 sin 2х + cos 2х = cos2 x;

Г) 1 – cos x = 2 sin  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь cos  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь.

Відповідь: a)  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, arctg  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; б) ?n,  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; в) ?n, arctg 6 + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; г) 2?n,  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ 2?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

2. Розв’яжіть рівняння:

А) 4sin2 x – sin2x = 3;

Б) sin 2х + 4cos2 x = 1;

В) 5 sin2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0;

Г) 2 sin x + cos x = 2.

Відповідь: а) arctg 3 + ?n, –  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; б) arctg3 + ?n, –  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; в) – arctg 4 + ?n,  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ; г)  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь+ 2?n, 2arctg  Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь + 2 ?n, n Розвязування однорідних тригонометричних рівняньZ.

III. Підведення підсумків уроку

IV. Домашнє завдання

Розділ II § 3 (3). Запитання і завдання для повторення до роз­ділу II № 17, 18. Вправа № 2 (8; 17; 22; 28; 36).


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...


Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь