1.
1) Введемо прямокутну систему координат із початком у точці В і спрямуємо вісь Оx вздовж ребра BA, Oz – вздовж ВВ1. Довжину ребра куба позначимо як а.
Тоді координати точок: А(а; 0; 0;); С(0; а; 0); R(а; а; 0); C1(0; а; а).
Знайдемо координати векторів 
і 
Знайдемо довжини векторів:
Знайдемо кут між векторами:
Кут між векторами 
і 
порівнює 
2) Введемо прямокутну систему координат із початком у точці В і
Спрямуємо вісь Ох вздовж ребра BА, Oz — вздовж BВ1.
Довжину ребра куба позначимо як а.
Тоді координати точок: А(а; 0; 0); D1(а; а; а); В(0; 0; 0); D(а; а; 0);
Знайдемо координати точки Р – середини ребра DD1:
Знайдемо координати векторів 
і 
Знайдемо довжини векторів 
і 
і скалярний добуток: 
Знайдемо кут між векторами:
Кут між векторами 
і 
дорівнює 
Відповідь: 1) 60°; 2) 135°.
2.
Введемо прямокутну систему координат із початком у точці В
І спрямуємо вісь Ох вздовж ребра ВА, Оz – вздовж ВВ1,
AB = a, AD = 2a, AA1 = 3a.
Координати точок: В(0; 0; 0); D(a; 2а; 0); А(а; 0; 0); В1(0; 0; За).
Знайдемо координати векторів 
і 
Знайдемо довжини векторів 
і 
скалярний добуток:
Знайдемо кут між векторами 
Оскільки кут між прямими не може бути тупим, то кут дорівнює 
Відповідь; 
3.
Знайдемо кут ОАС.
Для цього знайдемо координати векторів 
і 
та їх скалярний добуток
І довжини: 
Тоді косинус кута між векторами 
Скористаємось основною тригонометричною тотожністю cos2α + sin2α = 1, тоді
Відстань від точки А до прямої, що проходить через точки О і С,
Це висота трикутника ОАС. Позначимо її AH.
Площа трикутника виражається формулою 
З іншого боку 
Знайдемо довжину вектора 
: 
Маємо 
Відповідь: 6.
4.
Знайдемо координати векторів 
Знайдемо довжини векторів:
Та скалярний добуток 
Знайдемо косинус кута ABC
Скористаємось основною тригонометричною тотожністю
Cos2 α + sin2 α = 1
Площа ААВС: 
з іншого боку 
Маємо
Відповідь: 
(2 votes, average: 2,50 out of 5)