Теорема косинусів ❤️ Довідник з геометрії

Геометрія

Розв’язування трикутників

Теорема косинусів

Теорема (косинусів). Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін і косинуса кута між ними.
У трикутнику, зображеному на рисунку, за теоремою косинусів: Теорема косинусів .

Теорему косинусів зручно застосувати для розв’язування таких задач.
1. Знайти сторону трикутника, якщо відомі дві інші сторони й кут між ними.
2.

Знайти косинус кутів трикутника, а отже і самі кути, якщо відомі три сторони трикутника, за формулою

.
Теорема косинусів дає можливість сформулювати важливі висновки.
1. Відомо, що гострий кут має додатний косинус, а тупий – від’ємний. Отже, квадрат сторони, яка лежить проти тупого кута, більший за суму двох інших сторін, а квадрат сторони, яка лежить проти гострого кута, менший, ніж сума двох інших сторін.
2. Якщо відомі три сторони трикутника, то можна зробити висновок про його вид (гострокутний, тупокутний, прямокутний). Для цього треба порівняти квадрат найбільшої

сторони із сумами квадратів двох інших сторін. Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника більший, ніж сума квадратів двох інших сторін, трикутник тупокутний, якщо величини рівні – прямокутний, якщо перша величина менша – гострокутний.
3. У випадку, коли трикутник прямокутний, теорема косинусів для сторони, що лежить проти прямого кута, перетворюється на теорему Піфагора.
4. Із теореми косинусів випливає, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.
На рисунку Теорема косинусів

5. Формула довжини медіани трикутника: у трикутнику, зображеному на рисунку, Теорема косинусів

6. Формула довжини бісектриси трикутника: у трикутнику, зображеному на рисунку, Теорема косинусів

7. Формула висоти трикутника: на рисунку нижче зліва зображена висота в гострокутному трикутнику, на рисунку справа – у тупокутному.
Теорема косинусів

(2 votes, average: 4,00 out of 5)

Теорема косинусів - Довідник з геометрії

Схожі записи:

Площа квадрата Геометрія Площі фігур Площа квадрата ; ....
Довжина кола Геометрія Многокутники Довжина кола Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим самим числом для будь-яких двох...
Множення вектора на число Геометрія Вектори Множення вектора на число Добутком вектораНа число називається вектор , тобто . Для будь-якого вектора і чисел і . Для будь-яких двох векторів...
Теорема про триперпендикуляри Геометрія Стереометрія Теорема про триперпендикуляри Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див....
Нерівність трикутника Геометрія Трикутники Нерівність трикутника Теорема. Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них...
Об’єми многогранників Геометрія Об’єми тіл Об’єми многогранників Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти. . На рисунках наведені приклади призм із різними основами. Для прямокутного...
Кути, вписані в коло Геометрія Кути, пов’язані з колом Кути, вписані в коло Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається Плоским кутом. Плоскі кути із...
Ознака паралельності прямих Геометрія Стереометрія Ознака паралельності прямих Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок)...
Паралельність прямих і площини Геометрія Стереометрія Паралельність прямих і площини Дві прямі в просторі називаються Паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать...
Циліндр, вписаний у кулю Геометрія Комбінації геометричних тіл Циліндр, вписаний у кулю Основи циліндра є рівновіддаленими від центра кулі (рисунок нижче зліва). Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої...
Многогранники Геометрія Многогранники Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, – ребром двогранного кута. Півплощини називаються Гранями двогранного кута. Площина,...
Перпендикулярність площин Геометрія Стереометрія Перпендикулярність площин Дві площини, що перетинаються, називаються Перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих...
Відстань між точками Геометрія Декартові координати на площині Відстань між точками Якщо , – довільні точки і AB відстань між ними, то або . У випадку, коли точка...
Площа паралелограма Геометрія Площі фігур Площа паралелограма Площа паралелограма обчислюється за формулою S = ha, де h – висота, a – сторона, до якої проведена ця висота....
Зрізаний конус Геометрія Тіла обертання Зрізаний конус Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса....
Поворот Геометрія Рух Поворот Поворотом площини навколо даної точки називається такий рух, при якому кожний промінь, що виходить із даної точки, повертається на один і той...
Інші комбінації геометричних тіл Геометрія Комбінації геометричних тіл Інші комбінації геометричних тіл Конус є вписаним у циліндр (див. рисунок нижче), коли основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а...
Координати середини відрізка Геометрія Декартові координати на площині Координати середини відрізка Якщо , – довільні точки, – середина відрізка AB, то ; ....
Площа трапеції Геометрія Площі фігур Площа трапеції Де h – висота, a, b – основи трапеції. , де h – висота, m – середня лінія. . Якщо...
Перпендикулярність прямих і площин Геометрія Стереометрія Перпендикулярність прямих і площин Дві прямі називаються Перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно...
Симетрія відносно прямої Геометрія Рух Симетрія відносно прямої Нехай а – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр AX на пряму а. На продовженні цього перпендикуляра...
Об’єми круглих тіл Геометрія Об’єми тіл Об’єми круглих тіл Об’єм циліндра (див. рисунок) дорівнює добутку площі його основи та висоти. ; . Об’єм конуса (див. рисунок) дорівнює одній...
Рівняння кола Геометрія Декартові координати на площині Рівняння кола – рівняння кола з центром у точці і радіусом R. Зверніть увагу: рівняння , де , задає коло...
Площа чотирикутника Геометрія Площі фігур Площа чотирикутника...
Перпендикуляр і похила Геометрія Стереометрія Перпендикуляр і похила Перпендикуляром, опущеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини й лежить на...
Пропорційність відрізків хорд і січних кола Геометрія Кути, пов’язані з колом Пропорційність відрізків хорд і січних кола Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то (рисунок...
Геометричне місце точок Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Геометричне місце точок Геометричним місцем точок (ГМТ), які мають певну властивість, називається така фігура, що складається з усіх точок...
Відстань між мимобіжними прямими Геометрія Стереометрія Відстань між мимобіжними прямими Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок із кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них. Теорема....
Многокутники Геометрія Многокутники Ламаною … називається фігура, яка складається з точок , , ,…, і відрізків, що їх послідовно сполучають. Точки , , , …, називаються...
Ознака паралельності площин Геометрія Стереометрія Ознака паралельності площин Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці...
Доведення від супротивного Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Доведення від супротивного Цей спосіб доведення складається з таких етапів. 1. Припускають протилежне тому, що стверджується теоремою. 2. На...
Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будьякого кута від 0° до 180° Геометрія Декартові координати на площині Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будьякого кута від 0° до 180° Візьмемо коло на площині Oxy з центром у...
Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Геометрія Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Треба добре розуміти: коли ми доводимо теорему або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обгрунтувати, тобто...
Пряма й обернена теореми Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Пряма й обернена теореми Формулювання теореми складається з двох частин. В одній говориться про те, що дано. Ця частина...
Теорема Фалеса Геометрія Чотирикутники Теорема Фалеса Теорема 1 (Фалеса). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні...