Математика – Алгебра
Степенева функція
Узагальнення поняття степеня
Основнi означення
1. Якщо n Є N, 
, то 
, де a – довільне число.
2. 
, де а – довільне число.
3. 
для 
. 
не має змісту.
4. 
, n Є N, 
.
5. 
, n Є N, m Є Z, 
.
Властивості степеня з
Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. Якщо 
, то 
для 
; 
для 
.
7. Якщо 
, то 
для 
; 
для 
Поняття степеня з ірраціональним показником
Нехай a – будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1, 
– будь-яке ірраціональне число.
Розглянемо три випадки.
1. 
, 
.
Наприклад, 
; 
. Степінь 
означає таке число, яке більше від усякого степеня 
, але менше від усякого степеня 
, де 
– будь-яке раціональне наближення числа 
, взяте з недостачею, а 
– будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує, і до того ж єдине.
2. 
, 
.
Наприклад, 
. Тоді під степенем 
розуміють число, яке менше від будь-якого степеня 
, але більше від будь-якого степеня 
.
3. a – довільне число, крім 1, 
.
Наприклад, 
, 
. Тоді вважають 
.
Дії над степенями з ірраціональними показниками виконуються за тими самими правилами, які встановлені для степенів із раціональними показниками.
Степенева функція
Функцію 
, де x – змінна, а p – стале дійсне число, називають Степеневою функцією.
Властивості степеневої функції залежать від значення p.
1. p Є N. Тоді 
; 
; 
Якщо p – непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p – парне, 
для всіх значень x; функція парна. Якщо 
, функція спадає, якщо
, функція зростає.
2. p Є Z; 
. Тоді 
.
Графік складається з двох віток; 
.
Якщо p – непарне, то для всіх значень 
знак функції збігається зі знаком аргументу.
Функція непарна, спадна на кожному з проміжків 
і 
.
Якщо p – парне, 
для всіх x; функція парна. Якщо 
, функція спадає, якщо 
, функція зростає. На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:
Показникова функція
Функція 
, де 
і 
, називається Показниковою (з основою а).
Властивості показникової функції
:
1. 
. 1. 
.
2. 
. 2. 
.
3. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Oу у точці (0; 1), вісь Oх є для нього асимптотою.
5. Функція зростає 5. Функція спа на R. дає на R.
6. Якщо 
, то 
.
7. Якщо 
, то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому 
(Тобто рівняння 
завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо 
, 
, 
.)
На рисунку внизу зліва зображений графік показникової функції 
при 
; на рисунку 1 – при 
.
Рис. 1
Рис. 2
(1 votes, average: 5,00 out of 5)