Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Урок 30

Тема. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Мета уроку: формування знань учнів про властивості перпендикулярних прямих і площин.

Обладнання: стереометричний набір, схема “Властивості прямо і площини, перпендикулярних між собою” (с. 116).

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Колективне обговорення розв’язування задачі № 10.

2. Математичний диктант.

Дано зображення куба: варіант 1 – рис. 151, варіант 2 – рис. 152.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Користуючись

зображенням, запишіть:

1) площину, яка проходить через точку М прямої AM і перпендику­лярна до неї; (2 бали)

2) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку D; (2 бали)

3) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку N; (2 бали)

4) площину, яка перпендикулярна до прямої BD; (2 бали)

5) прямі, які перпендикулярні до площини АМС; (2 бали)

6) площини, які перпендикулярні до прямої DC. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ACМ); 5) BD і KN; 6) (ADK)

і (BCL).

Варіант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) і (ADM).

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 1.

Якщо площина перпендикулярна до од­нієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Доведення

Нехай а1 || а2 і a1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?. Доведемо, що? Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюА2 (рис. 153). Точки А1 і А2 – точки перетину а1 і а2 з площиною?.

У площині? через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 – пряму х1 таку, що х1 || х2. Оскільки a1 || а2, x1 || х2 і а1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюХ1, то за теоремою 3.1 а2 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюХ2. Оскільки х2 вибрана довільно в площині?, то а2 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 2.

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої пло­щини, то дані прямі паралельні.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Доведення

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Нехай a Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, b Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?. Доведемо, що а || b (рис. 154). Припустимо, що а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюB. Тоді че­рез точку С прямої b проведемо b1 , паралель­ну а. Оскільки а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, то і b1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою? за доведе­ною теоремою, а за умовою b Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?. Якщо точки А і В – точки перетину прямих b1 і b з площиною?, то з припущення випливає, що в трикутнику  Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюA =  Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюВ = 90°, що не може бути. Отже, а || b.

1. Визначте вид чотирикутника AA1B1B якщо:

А) АА1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; АА1 || ВВ1; А Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, В Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; AA1 ? ВВ1 (рис. 155);

Б) АА1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; ВВ1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; А Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, В Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою? (рис. 156);

В) А Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; В Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; АА1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; ВВ1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; АА1 = ВВ1 (рис. 156).

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

2. Задача № 12 із підручника (с. 35).

3. Задача № 13 із підручника (с. 35).

4. Задача № 16 із підручника (с. 35).

Теорема 3.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралель­них площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Нехай? || ?, а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?. Доведемо, що? Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?. (рис. 157). Нехай точки А і В – точки перети­ну прямої а з площинами? і?. В площині? проведемо через точку В довільну пряму b. Через пряму b і точку А проведемо площину?, яка перетинає? по прямій с, причому с || b. Оскільки а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, то а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюС (за означенням пря­мої, перпендикулярної до площини). Оскіль­ки а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюС, b || с і а, b, с лежать в?, то а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюB. Враховуючи, що b – довільна пряма площи­ни?, маємо а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 4.

Якщо дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони па­ралельні.

Нехай? Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюА, ? Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюА, доведемо, що? || ? (рис. 158). Нехай точки А і В – точки перети­ну прямої а з площинами? і?. Припустимо, що?  Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою ?. Візьмемо точку С на прямій перети­ну площин? і?. С Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюА, бо в противному ви­падку через точку С проходили б дві різні пло­щини? і?, перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Проведемо площину? через точ­ку С і пряму а, ця площина перетинає? і? по прямих АС і ВС відповідно. Оскільки а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, то а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюАС, аналогічно а Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюВС. Отже, в пло­щині? через точку С проходять дві різні пря­мі АС і ВС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, ? || ?.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Розв’язування задач

1. Нехай ABCD – прямокутник, BS Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюАВ, AM Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюАВ (рис. 159). Як розташовані площини AMD і BSC?

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

2. В1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; АА1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, АА1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; BВ1 || АА1; АА1 = 12 cm, A1B = 13 см (рис. 160). Знайти АВ.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

3. А1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; В1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, А2 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, В2 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?, AA1 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?; ? || ? (рис. 161). Визначте вид трикутників AA1B1 і АА2В2

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

III. Домашнє завдання

§3, п. 17; контрольні запитання № 5, 6; задачі № 14, 15 (с. 35).

При підведенні підсумку уроку можна скористатися даною схемою.

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Дано:

А || b,

A Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?.

Довести:

B Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюA.

Дано:

A Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?,

B Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?.

Довести:

А || b.

 Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Дано:

? || ?,

А Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою?.

Довести: ?  Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою а.

Дано:

? Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюA.

? Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюA.

Довести:

? || ?.

1) Як розташовані прямі, які перпендикулярні до площини?

2) Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярні до прямої?

3) Як розташовані пряма і площина, якщо паралельна пряма до даної прямої перпендикулярна до площини?

4) Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної площини, перпендикулярна до даної прямої?




Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою