625. Геометричним місцем центрів кіл радіуса R, що проходить через дану точку А, є коло із центром в точці А і радіусом R.
626.
Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до сторін даного нерозгорнутого кута, є бісектриса даного кута без його вершини О. ОК – бісектриса.
627.
Геометричним місцем точок С, які є вершинами трикутників з основою AB і заданою висотою h, є дві прямі паралельні AB і віддалені від неї на h. а || AB; b || аb; СК ⊥ АВ, СК = h.
628.
AB – пряма. CD = l; C1D = l. CD ⊥ AB. C1D ⊥ AB. Ці точки C і C1 лежать на серединному перпендикулярі до відрізка AB на відстанях l від нього.
629. 1)
ВА = СВ; ВК – бісектриса кута, АС ⊥ ВK. Шукана точка D лежить на перетині бісектриси кута і серединного перпендикуляра до відрізка АС.
2)
ВА ≠ СВ. Шукана точка D лежить на перетині бісектриси кута В (ВК) і серединному перпендикулярі до відрізка АС (l ⊥ АС).
630. 1) прямий кут K;
2) на одній стороні відкладемо відрізок AK = hа;
3) проведемо частину кола із центром у точці А і радіусом
4) від точки В відкладемо відрізок ВС = а, сполучимо точки А і С. ?ABC – шуканий. AB = b; ВС = а; AK ⊥ ВС; AK = ha.
631. Геометричне місце середин усіх хорд даного кола, паралельних даній прямій, є діаметр кола, перпендикулярний до даної прямої, без кінців цього діаметра.
632. Геометричне місце середин усіх хорд даного кола, що мають задану довжину, є коло, що дотикається до даних хорд із центром, який збігається з центром даного кола.
633. Геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола з центром О в даній точці А, є пряма ОА без точок О і А.
634.
Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих, що перетинаються, є бісектриси всіх нерозгорнутих кутів, утворених даними прямими; а i b перетинаються в точці О.
635.
Дано дві прямі а і b, що перетинаються, і точка А, яка належить прямій а. О – точка перетину прямих, побудуємо бісектрису кута О. ОР – бісектриса. Із точки А проведемо перпендикуляр AD до перетину з бісектрисою ОР. Побудуємо коло із центром в точці D і радіусом AD. Це коло дотикається до кожної з двох прямих, причому до прямої а в заданій точці А.
636.
Із точки А проведемо перпендикуляр до прямої а. AM ⊥ а. Поділимо AM навпіл. ОА = ОМ. Проведемо коло із центром у точці 0 і радіусом ОА. Коло проходить через дану точку і дотикається до даної прямої.
638. Побудуємо? АОВ, в якому AB – дана сторона, а відрізки АО і ВО становлять 2/3 даних медіан. На променях АО і ВО відкладемо відрізки AM і BN, що дорівнюють даним медіанам. Ці медіани перетинаються в точці С.
?АВС – шуканий. Це трикутник, побудований за стороною та двома медіанами, проведеними до них.
2)
Побудуємо AB – відрізок. Поділимо відрізок AB навпіл. АО = OB. Побудуємо півколо з радіусом ОА і центром О. Із точки А радіусом, що дорівнює одній із висот, проводимо дугу, що перетинає коло в точці О. Із точки В радіусом, що дорівнює другій висоті, проводимо дугу, що перетинає коло в точці Е.
∠АЕВ = 90°; ∠ADB = 90° – кути, що спираються на діаметр. Продовжимо AD і BE до перетину в точці С. ?ABC – шуканий. Це трикутник побудований за двома висотами та стороною.
639.
Проведемо пряму а, візьмемо на ній точку Н, через цю точку проведемо пряму. HC ⊥ а і відкладемо на ній відрізок НС, що дорівнює висоті трикутника. Із точки С радіусом, що дорівнює медіані трикутника, проведемо дугу кола і знайдемо точку перетину з прямою а. М – точка перетину, CM – медіана. Відкладемо відрізки рівної довжини МА = MB, AB – сторона трикутника до якої проведено медіану і висоту.
?АВС – шуканий. При побудові можна отримати чотири рівних трикутники.
637.
∠(ab), вершина його недоступна. Побудуємо бісектрису цього кута. Візьмемо на прямій а точку К, проведемо пряму, перпендикулярну а, через цю точку, візьмемо на прямій точку М, проведемо пряму, перпендикулярну b через цю точку. На цих прямих відкладемо рівні відрізки KP = MN, проведемо прямі, паралельні прямим а і b, через точки Р і N; а1 || а; b1 || b, знайдемо точку їхнього перетину О. Побудуємо бісектрису кута О – пряму l. Ця пряма l буде бісектрисою кута, вершина якого недоступна.
640.
Коло дотикається до катетів MN і МР в точках А і В відповідно, а центр О лежить на гіпотенузі NP. ОА ⊥ MN, OB ⊥ МР (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної).
∠NMP = 90°; АО || MB; OB – січна; ∠MBO ≠ ∠AOB = 180°; внутрішні односторонні кути. ∠AOB = 180° – ∠МВО = 180° – 90° = 90°.
Відповідь: 90°.
641.
Нехай вершини А і В? ABC лежать на колі із центром у точці О. О лежить на стороні АС. ВК – дотична до кола, проведена через точку В.
∠BAO = 45°; ?АОВ – рівнобедрений.
∠ОВА = 45°; (AО = ОВ = R) ∠ОВК = 90°; OB – радіус, проведений в точку дотику. ОВ ⊥ ВК.
∠ABK = ∠ОВК – ∠ОВА = 90° – 45° – 45°;
∠АВК = ∠ОАВ – це внутрішні різносторонні кути при прямих АО і ВК і січній AB, отже AС || ВК.
642. а) коло вписане в трикутник;
Б) коло описане навколо трикутника;
В) коло описане навколо трикутника;
Г) коло вписане в трикутник.
643.
А) ОА = ОB; б) ні; в) так.
644. а) ні; б) так; в) ні.
645. Ці кола можуть мати спільні радіуси і спільний центр, якщо трикутник рівносторонній.
646.
Ці перпендикуляри ділять сторони трикутника навпіл.
647.
Промені AO, BO, СО ділять кути трикутника навпіл.
648.
Навколо рівнобедреного? ABC описане коло із центром О. AB = ВС;
А) ?АОВ = ?СОВ. 1) ВО – спільна сторона; AB = ВС; АО = ОС – радіус кола. З рівності трикутників маємо: ∠AOB = ∠COB.
Б) ∠ABC = 40°, ∠AB – ∠CBO = 40° : 2 = 20°; ?АОВ – рівнобедрений: ∠BAO = ∠ABO = 20°; ∠AOB = 180° – (20° + 20°) = 180° – 40°= 140°; ∠BOC = ∠AOB = 140°; ∠AOC = 360° = 140° -140° = 360° – 280° = 80°. ∠AOC = 80°.
Відповідь: 80°.
649.
?ABC – рівнобедрений, AB = ВС, у нього вписано коло із центром О.
А) ?ABC – рівнобедрений, ∠A = ∠C; ОС і АО – бісектриси кутів ∠C і ∠A, ∠OAC = ∠OCA, тому? АОС – рівнобедрений АО = ОС;
Б) ∠AOC = 100°; ∠OAC = ∠OCA = (180° – 100°) : 2 = 40°; ∠A = ∠C = 80°; ?АВС; ∠ABC = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (80° + 80°) = 180° – 160° = 20°.
Відповідь: 20°.
652.
О – центр кола, описаного навколо? АВС. OD – відстань від точки О до сторони AB. AD = 9 см; AB – хорда, OD – відрізок, що належить діаметру і перпендикулярний до хорди, діаметр перпендикулярний до хорди ділить цю хорду навпіл.
AD = DB = 9 см; AB = 18 CM.
Відповідь: 18 см.
653.
Точка О – центр кола, вписаного в? АВС. ∠BAC = 100°; АО і ВО – бісектриси кутів трикутника; ∠BAO = ∠OAC;
∠BAO = 1/2∠BAC = 100° : 2 = 50°.
Відповідь: 50°.
654.
О – центр описаного кола навколо? АВС. ОА = 8 см; ∠AOB = 60°; О А – OB = 8 см; (радіуси кола).
?АОВ – рівнобедрений, ОК – висота, медіана і бісектриса. ∠KOB = ∠KOA = 30°. ?ОВК – прямокутний, ВК – катет, що лежить проти кута 30°, ВK = 1/2OВ = 1/2 • 8 = 4 см; АВ = 8 см.
Відповідь: AB = 8 см.
655.
У трикутнику ABC бісектриси кутів А і С перетинаються в точці О, отже, О – центр вписаного кола. ?ABC – рівнобедрений, AB = ВС, OB – бісектриса. ∠ABC = 70°. ∠BAC = ∠BCA = (180° – 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°.
Відповідь: 55°.
656.
1) Побудуємо відрізок AB = а, на одній із сторін трикутника;
2) Проведемо серединний перпендикуляр до AB;
3) Проведемо кола радіуса R із центром у точці А; AO = R, О – центр кола, описаного навколо ∠ABC, проведемо коло з центром в т. О і радіусом ОА = R.
Із центра А проведемо дугу кола радіуса АС = b, b – друга сторона трикутника, знаходимо третю вершину трикутника. ?ABC – трикутник, побудований за двома сторонами і радіусом описаного кола.
657.
1) Побудуємо відрізок AB і серединний перпендикуляр до нього;
2) Із точок А і В як із центрів побудуємо дуги радіуса R. АО = OB = R, О – центр кола, описаного навколо ДABC;
3) Проведемо коло (О; R);
4) С – точка перетину кола і серединного перпендикуляра до сторони AB (третя вершина? АВС). З’єднаємо точки А і С, В і С. ?АВС – шуканий.
Побудували рівнобедрений? АВС за основою AB і радіусом описаного кола R.
658.
AF = 5 CM; BD = 6 CM; BD = BE 6 CM; AD = AF = 5 CM; CE = CF = 5 CM.
Відрізки рівні за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки.
AB = ВС = 6 + 5 = 11 (см);
АС = 5 + 5 = 10 (см).
Р? ABC = AB + ВС + АС = 11 + 11 + 10 = 32 (см).
Відповідь: 32 см.
659.
?АВС – рівнобедрений, вписане коло дотикається сторін у точках М, N, Р. Бічна сторона ділиться точкою перетину на відрізки NC і BN. ВС = 8 см; АС = 8 см. ВР = BN = 3 см; АР = АМ = 3 см; AB= 6 см. P? ABC = BC + АС + AB = 8 + 8 + 6 = 22 (см).
Відповідь: 22 см.
660.
Проведемо відрізок AB, що дорівнює стороні. Центр описаного кола лежить на серединному перпендикулярі до сторони AB. Проведемо серединний перпендикуляр до AB. Знайдемо центр кола, описаного навколо? ABC. Для цього із точки А проведемо дугу радіуса R. Знайдемо точку перетину радіуса із серединним перпендикуляром до сторони AB. На відстані h від AB проведемо паралельну пряму l; l || AB, PK = h. Ця пряма перетинає коло в точках С або С1.
?ABC або? АВС1 – шукані.
?АВС = ?АВС1
661.
1) Побудуємо прямий кут;
2) на одній із сторін відкладемо АН = h. Із точки А радіусом AM = m проводимо дугу. AM – медіана, АН – висота;
3) через точку М проводимо серединний перпендикуляр МР. На ньому лежить центр описаного кола. Із вершини А радіусом AO = R знаходимо т. О – центр кола. OB = ОС = ОА = R. ?АВС – шуканий трикутник.
662.
Точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону рівнобедреного? ABC у відношенні AM : MB = 3 : 4. AM = АР = 3х; PC = NC = 3х; MB = NB = 4x; AB = BC = 7x; АС = 6x.
Рівняння: 7x + 7x + 6x = 220; 20x = 220; x = 11. AB = BC = 7 x 11 = 77 см; AC =3 x 11 = 33 CM.
Б)
AM : MB = 4 : 3; AM = АР = 4х; NC = PC = 4х; MB = AB = 3х. Відрізки рівні за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки.
АС = 8х; AB = ВС = 7х. Рівняння: 8х + 7х + 7х = 220; 22х = 220; х = 10. AB = ВС = 70 (см), АС = 80 (см).
Відповідь: 11 см; 77 см; 33 см або 70 см; 70 см; 80 см.
663. а)
?ABC, у трикутника вписано коло. FC = CF; DB = BE; AD = AF, за властивістю дотичних до кола, проведених з однієї точки поза колом.
FC = АС – AF; BD = AB – AD; ВС = EC + BE = FC + BD = AC – AF + AB – AD = AC + AB – 2AD; BC = AC + AB – 2AD; 2AD = AC + AB – BC; 
що і треба довести;
Б)
?ABC – прямокутний; ∠C = 90°; а і b – катети; С – гіпотенуза; r – радіус вписаного кола; AB = с; BN = BP = b – r; AN = АМ = b – r; СР = r; АС = с або АС = b – r + а – r; с = b – r + а – r; с = b+ а – 2r; 2r = а + b – с; 
що і треба довести.
664.
?ABC – прямокутний. Центр описаного кола – точка перетину серединних перпендикулярів до сторін? ABC. ON ⊥ АС; ON || ВС; CN = NA, за теоремою Фалеса, О – середина гіпотенузи.
Аналогічно ОМ ⊥ ВС, ОМ – середня лінія. ОМ || АС, О – середина AB.
Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4
1.
Через точку А кола із центром О проведено хорду AB і діаметр АС. АО = ОС; ∠BOC = 70°; ∠BOC – зовнішній кут? АОВ. ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA. ?АОВ – рівнобедрений, AO = OB = R; ∠A = ∠B = 70° : 2 = 35°.
Відповідь: ∠CAB = 35°.
2. СА і CB – дотичні до кола із центром у точці О. ?АОС = ?ВОС. ∠OAC = ∠OBC = 90°; ОА ⊥ АС; OB ⊥ ВС, проведені в точку дотику радіуси перпендикулярні до дотичної. ОА = OB – радіуси; ОС – спільна сторона. ?АОВ = ?ВОС. Отже, ∠AOC = ∠BOC, ОС – бісектриса ∠AOB.
3. a)
OA = 32 CM; AB = 12 CM; OB – відстань між центрами. OB = OA + AB = 32 CM + 12 CM = 44 CM;
Б)
OA = 32 CM; BA = 12 CM;
OB = OA – BA = 32 – 12 CM = 20 CM.
Відповідь: 44 см або 20 CM.
4.
?ABC – рівносторонній. AB = BC = АС. M, N, P – точки дотику вписаного кола. Нехай сторона трикутника а. Тоді периметр трикутника За. АР < Р? АВС на 15 см.
АР = PC = CN = NB = MB = АМ = x;
P? ABC = 6x; x + 15 = 6x; 5х = 15; х = 3;
АС = ВС = АВ = 2х =2 x 3 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
5.
Проведемо пряму а, через точку M – проведемо пряму l перпендикулярно прямій а. Від точки М на прямій l відкладемо відрізок МА, що дорівнює заданій бісектрисі. Центр описаного кола лежить на бісектрисі AM. Шуканий трикутник рівнобедрений. Знайдемо центр описаного кола. Від точки А відкладемо відрізок AO = R, O – центр кола. Проведемо коло з центром в точці О і радіусом ОА. З’єднаємо А і В; А і С. ?ABC – шуканий.
6.
AB ⊥ CD; BK = CK = 4 см;
AB = CD; AK = KD = 16 см.
Проведемо діаметр MN LAB. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.
AN = NB = 10 см; (AB = AK + KB = 4 + 16 = 20 (CM). NK = NB – KB = 10 – 4 = 6 (CM). NK – радіус кола; NK = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
665.
А || b, а дотикається кола в точці А, b дотикається кола в точці В. Відстань між цими прямими – AB; OA ⊥ a; OB ⊥ b; AB = 2R.
Відповідь: 2R.
666.
AB – діаметр кола; АС і BD – хорди. АС || ВD; CD – січна; ∠ACO = ∠BDO – внутрішні різносторонні кути. ∠CAO = ∠OBD; ∠AOC = ∠DOB; вертикальні кути, АО = OB – радіуси кола; СО = ОD – радіуси кола. CD – діаметр кола.
667. Якщо АВ < 6 см – дві точки, якщо AB = 6 см – одна точка, якщо AB > 6 см – жодної точки.
668.
Пряма перетинає концентричні кола.
AB = CD; ОА = OD = R; OB = ОС = r; AB = OA – OB = R – r;
CD = OD – OC = R – r; ⇒ AB = CD.
669.
L || AB, C – точка дотику; ОС ⊥ l – радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить хорду навпіл (АК = KB; l || AB; ОС ⊥ l; OC ⊥AB. ?АСК і? ВСК – прямокутні; ?АСК = ?ВСК за двома катетами; АС = ВС. ?ABC рівнобедрений.
670.
?FBO = ?F1B1О1 (за гіпотенузою OB = R і FB = Р1B1 = 1/2AB = 1/2А1В1). Із рівності трикутників ∠ABK = ∠A1B1K1. ∠A = ∠B1; ?ABC = ?A1B1C1 за двома сторонами і кутом між ними (AB = A1B1 i BC= B1C1; ∠B = ∠B1).
671.
1) ?АВС = ?A1B1C1; ∠ACO = ∠A1C1O1; ∠KAO = ∠K1A1O1;
2) ?АОС = ?А1O1С1; (AC = A1C1; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 => OC = O1C1;
3) ?KOC = ?K1O1С1; (OC = O1С1; ∠K = ∠K1 = 90°; ∠3 = ∠4). З їхньої рівності маємо: OK = O1K1.
672.
?АВС – рівносторонній трикутник. Р? ABC = 3а; MN – дотична до кола, вписаного в? АВС. АС = а; АР = АЕ; КС = ЕС; АС + АР + КС = а + а = 2а.
Р? MBN = MB + BN + DN + MD (MDB = MP, DN = KN).
P? MBN = MB + BN + MN = a.
Відповідь: а.
673. Якщо на колі будують послідовно точки: першу довільно, а кожна наступна точка віддалена від попередньої на відстань, що дорівнює радіусу кола, то найбільша кількість різних точок, побудованих в такий спосіб, – шість точок.
674.
?ABC – рівнобедрений, якщо центр кола, вписаного у трикутник, лежить на одній із його висот, CK ⊥ AB; АС = ВС; СК – бісектриса і висота.
∠A = ∠B = х, ∠C = 3х; х + х + 3х = 180°; 5х = 180°; х = 180° : 5; х = 36°; ∠A = ∠B = 36°; ∠C = 108°.
Відповідь: 36°; 36°; 108°.
Або
Відповідь: 
675.
Центр О кола, описаного навколо? ABC, лежить на медіані ВМ. ∠AOB = 140°; ВМ – медіана і висота; ∠ABM = ∠CBM; ВМ – бісектриса. ?АОВ – рівнобедрений. АО = ОB – радіус описаного кола.∠OAB = ∠OBA = (180° – 140°): 2 = 40° : 2 = 20°; ∠ABC = 40°; ?ABC – рівнобедрений; AB = ВС. ∠A = ∠C = (180° – 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.
Відповідь: 70°; 70°; 40″.
676.
А) ?ABC = ?ADC; AB = AD; ВС = DC; АС – спільна сторона; ?ABD – рівнобедрений; ∠BAO = ∠DAO, АО – бісектриса, медіана і висота; AO ⊥ BD; OB = OD. АО – серединний перпендикуляр до відрізка BD. АС – геометричне місце точок, рівновіддалених від точок В і D;
Б) якщо кути ВАС і DAC не гострі, то промінь АС не є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута BAD.
677.
Точка, однаково віддалена від гіпотенузи і другого катета, лежить на бісектрисі кута А. Це точка D. DK = DC; DK ⊥ AB; DC ⊥ AC.
678.
?ABC – рівнобедрений, AB = ВС, АС – основа; ∠A = ∠C = 70°; ∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – 70° – 70° = 180° – 140° = 40°.
?BKM; ∠B = 40°, ∠K = 90°. Точка M лежить на серединному перпендикулярі МК до відрізка AB. Точка М рівновіддалена від кінців відрізка AB, MB = АМ. ?АБМ – рівнобедрений; ∠ABM = ∠MAB = 40°; ∠MAC = ∠BAC – ∠BAM = 70° – 40° = 30°.
Відповідь: 30°.
679.
Точки D, Е, F – точки дотику вписаного кола зі сторонами трикутника ABC. AE, BD, CF – бісектриси кутів трикутника ABC. Із точки А до кола проведені дві дотичні AF і AD, AF = AD; OF ⊥ AB; OD⊥ АС – радіуси проведені в точки дотику.
?AFK = ?ADK, AF = AD; АК – спільна сторона; ∠FAK = ∠DAK. З їх рівності FK = KD.
?FOD – рівнобедрений OF = OD (радіуси кола), ОК – медіана, ОК – висота; OK ⊥ FD; FD ⊥ АО, аналогічно FE ⊥ OB; DE ⊥ CF.
680.
Два кола із центрами O1 і O2 перетинаються в точках А і В. О1О2 – відстань між центрами кіл. O1О2 – відрізок, що належить діаметрам кола.
ОА1 = O1B – радіуси кола із центром O1. Точка О1 рівновіддалена від кінців відрізка AB. АO2 = ВО1 – радіуси кола з центром O2. Точка O2 рівновіддалена від точок А і В.
Точки O1 і O2 рівновіддалені від кінців відрізка AB, отже, O1O2 – серединний перпендикуляр до відрізка AB. Тобто AB ⊥ O1O2, що і треба довести.
681.
Точка А лежить поза колом з центром О. Побудуємо коло з діаметром АО, В – середина АО є центром кола. Ці кола перетинаються в точках М і N, ці точки є точками дотику. АМ і AN – дотичні до кола; ОМ і ON – радіуси, проведені в точки дотику; ОМ ⊥ AM, ON ⊥ AN. ∠AMO і ∠ANO – кути, що спираються на діаметр АО прямі.
682.
У трикутник ABC вписано коло. AB = с; ВС = а; АС = b. Р, М, N – точки дотику кола до сторін? ABC. D – точка дотику дотичної KL.
Р? KBL = KB + KL + BL; BK = KD; DL = LM. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки. ВМ = РВ; MC = NC; PA =AN.
Отже, P? KBL = а + c – b.
Відповідь: a + c – b.
(1 votes, average: 5,00 out of 5)