Площа прямокутника і квадрата

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§ 24. Площа прямокутника і квадрата

Щоб дізнатися, скільки фарби і шпалер необхідно для ремонту квартири, треба знати площі підлоги, стелі та стін. Визначення площі є також важливим для розв’язування багатьох інших практичних задач.

За одиницю площі беруть площу одиничного квадрата, тобто такого квадрата, сторона якого дорівнює одиниці довжини. Наприклад, якщо довжина сторони квадрата дорівнює 1 м, то він має площу 1 квадратний метр (записують так: 1 м2); якщо довжина

сторони квадрата 1 см (рис. 169), то його площа дорівнює 1 квадратному сантиметру (1 см2) тощо.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 169

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 170

Якщо площу деякої фігури можна розбити на m квадратів зі стороною 1 см, то її площа дорівнює m см2. Так, площа фігури на рисунку 170 дорівнює 3 см2. Тобто визначити площу фігури – це означає дізнатися, скільки одиничних квадратів уміщується в даній фігурі.

З початкової школи відомо, що

Для обчислення площі прямокутника треба

його довжину помножити на ширину.

Якщо позначимо сторони прямокутника а і b, а його площу – S1, то дістанемо формулу площі прямокутника (рис. 171):

S = a ∙b.

Для обчислення площі прямокутника довжини його сторін треба виразити в одних і тих самих одиницях: якщо а і b виражено в метрах, то площаS вимірюється у квадратних метрах; якщо а і b виражено в сантиметрах, то S – у квадратних сантиметрах тощо.

Приклад 1. Знайди площу прямокутника зі сторонами 1 дм і 8 см.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 171

1 Від латинського слова superficies – поверхня.

Розв’язання. 1 дм = 10 см, то S = 10 ∙ 8 = 80 (см2).

Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні (рис. 172).

Тоді площу квадрата S зі стороною а можна знайти так: S = а ∙ а, або S = а2. Саме тому другий степінь числа називають квадратом цього числа.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 172

Приклад 2. Знайди площу квадрата зі стороною 2 см 5 мм.

Розв’язання. 2 см 5 мм = 25 мм. Тому S = 252 = 25 ∙ 25 = 625 (мм2).

Розглянемо деякі властивості площ. Зрозуміло, що рівні фігури мають рівні площі.

Розглянемо прямокутник ABCD, сторони якого дорівнюють 4 см і 5 см.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 173

Ламана KLMN розбиває його на дві частини (рис. 173). Одна із частин має площу 12 см2, а інша – 8 см2. Площа всього прямокутника 4 ∙ 5 = = 20 см2. При цьому 20 = 12 + 8. Отже, площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

Встановимо співвідношення між одиницями площ. На рисунку 174 зображено квадрат, сторона якого дорівнює 1 дм. Тому його площа 1 дм2. З іншого боку, квадрат складається зі 100 квадратиків із стороною 1 см. Тому його площа дорівнює 100 см2. Отже,

1 дм2 = 100 см2 .

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 174

Це можна було встановити ще й так:

1 дм2 = 1 дм ∙ 1 дм = 10 см ∙ 10 см = 100 см2. Міркуючи аналогічно, можна показати, що

1 см2 = 100 мм2,

1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2 .

Для вимірювання великих площ (території держав, материків) використовують квадратний кілометр – 1 км2. Це площа квадрата, сторона якого 1 км, або 1000 м. Площу такого квадрата можна знайти ще й так: 1000 м ∙ 1000 м = 1 000 000 м2. Отже, 1 км2 = 1 000 000 м2 .

Територія України становить 603 700 км2.

Площу садів, городів, інших ділянок землі вимірюють також в арах1 (ар) та гектарах2 (га). Ар (сотка) – площа квадрата зі стороною 10 м. Тому 1 а = 100 м2. Гектар – це площа квадрата зі стороною 100 м. Тому 1 га = 10 000 м2, 1 га = 100 а, 1 км2 = 100 га.

Початковий рівень

785. Знайди площу кожної фігури на рисунках 175-177, якщо довжина сторони кожного квадрата дорівнює 1 см.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 175

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 176

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 177

786. Обчисли площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють:

1) 25 см і 20 см; 2) 3 м і 25 дм.

1 Від латинського слова area – площа.

2 Від грецького слова hekaton – сто.

787. Обчисли площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють:

1) 14 дм і 8 дм; 2) 5 см і 34 мм.

788. Обчисли площу квадрата за формулою, якщо його сторона дорівнює:

1) 8 мм; 2) 14 см; 3) 5 дм.

789. Обчисли площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1) 12 м; 2) 15 см.

790. Одна сторона прямокутника дорівнює 12 см, а інша – на 2 см більша за неї. Знайди площу прямокутника.

791. 1) Одна сторона прямокутника дорівнює 15 см, а інша – на 3 см менша від неї. Знайди площу прямокутника.

2) Одна сторона прямокутника дорівнює 8 дм, а інша – у 5 разів більша за неї. Знайди площу прямокутника.

792. Проаналізуй ланцюжок одиниць площі:

1 мм2 -> 1 см2 -> 1 дм2 -> 1 м2 -> 1 ар -> 1 га ->1 км2.

У скільки разів кожна наступна одиниця більша за попередню?

Середній рівень

793. Виконай необхідні вимірювання для прямокутників та квадрата (рис. 178-180) і знайди їхні периметри та площі.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 178

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 179

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 180

794. Накресли квадрат. Знайди його периметр і площу. 176

795. Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює 20 м.

796. Як, знаючи площу прямокутника і одну зі сторін, знайти іншу? Заповни таблицю (а і b – сторони прямокутника, S – його площа).

А

15 см

13 см

B

24 см

36 дм

S

260 см2

900 дм2

797. Площа прямокутника дорівнює 840 см2, одна з його сторін дорівнює 35 см. Знайди іншу сторону.

798. У двокімнатній квартирі ширина кожної кімнати 4 м, а їхні довжини – 4 м і 6 м. Скільки квадратних метрів паркету потрібно, щоб повністю застелити в кімнатах підлогу?

799. Сторона металевого листа квадратної форми 11 дм. З нього треба вирізати квадратні пластини площею 1 дм2 кожна. Скільки можна вирізати таких пластин?

800. Вирази:

1) у квадратних сантиметрах: 17 дм2, 5 м2, 1200 мм2;

2) у квадратних метрах: 7 га, 15 а, 3 а 27 м2;

3) в арах: 12 га, 3 га 4 а, 2400 м2;

4) у гектарах: 370 000 м2, 42 000 а, 3 км2.

801. Вирази:

1) у квадратних метрах: 17 га, 8 а, 3 га 2 а, 4200 дм2;

2) у квадратних сантиметрах: 12 дм2, 3 м2, 27 000 мм2;

3) в арах: 2700 м2, 14 га;

4) у гектарах: 3 400 000 м2, 5200 а, 5 км2.

802. Заповни пропуски:

 Площа прямокутника і квадрата

803. Довжина ділянки землі прямокутної форми 720 м, а ширина на 80 м менша. Знайди площу ділянки в арах.

804. Довжина ділянки землі прямокутної форми 600 м, а ширина на 350 м менша від довжини. Обчисли площу ділянки в гектарах.

805. Площа поля, що має прямокутну форму, дорівнює 54 га. Знайди ширину цього поля, якщо його довжина 900 м.

806. Площа поля, що має прямокутну форму, дорівнює 12 ар. Ширина ділянки 30 м. Знайди довжину ділянки.

Достатній рівень

807. Прямокутні плити для покриття доріжки мають розміри 120 см і 50 см. Скільки знадобиться таких плит, щоб покрити доріжку завдовжки 96 м і завширшки 3 м?

808. Периметр прямокутника дорівнює 116 см, а одна зі сторін – 38 см. Знайди площу прямокутника.

809. Периметр прямокутника дорівнює 56 см і в 7 разів більший за одну зі сторін. Знайди площу прямокутника.

810. Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює периметру рівностороннього трикутника зі стороною 16 см.

811. Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює периметру прямокутника зі сторонами 32 см і 6 дм.

812. Виконай необхідні вимірювання та знайди площі фігур, заштрихованих на рисунках 181 і 182.

813. Знайди площі фігур, зображених на рисунку 183 і рисунку 184.

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 181

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 182

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 183

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 184

814. Заміни х таким числом, щоб утворилася правильна рівність:

1) х см2 = 1700 мм2;

2) 90 000 см2 = х м2;

3) 1500 м2 = х а;

4) х га = 27 000 а.

815. Постав у квадратики такі числа, щоб утворилися правильні рівності:

1) 5 га 3 а = □ а; 2) □ м2 = 180 000 см2;

3) □ мм2 = 2 см2 13 мм2; 4) 20 000 м2 = □ а.

816. Скільки теплиць завдовжки 20 м і завширшки 5 м можна розмістити на ділянці землі площею 2 га (відстанню між теплицями знехтувати)?

817. Земельну ділянку прямокутної форми, розміри якої 90 м і 120 м, поділили на дві частини так, що площа однієї частини у 2 рази більша за площу іншої. Знайди площі цих частин в арах.

818. Прямокутне поле завдовжки 1200 м і завширшки 650 м засіяно житом. На 1 га висівають по 125 кг зерна. Скільки необхідно жита, щоб засіяти поле?

Високий рівень

819. Чому дорівнює сторона квадрата, якщо його площа:

1) 25 дм2; 2) 36 см2; 3) 100 мм2?

820. Знайди периметр квадрата, який має таку саму площу, як прямокутник зі сторонами 2 см і 8 см.

821. Два прямокутники мають рівні площі. Чи означає це, що прямокутники рівні? Наведи приклади.

822. Два прямокутники мають рівні площі. Довжина першого дорівнює 16 см, а його ширина в 4 рази менша від довжини. Ширина другого прямокутника 2 см. Знайди його довжину. Знайди сторону квадрата, який має таку саму площу, як і прямокутники.

823. Периметр прямокутника дорівнює 120 м, його довжина на 10 м більша за ширину. Знайди площу прямокутника.

824. Ширина прямокутника в 3 рази менша від довжини, а його периметр дорівнює 80 дм. Знайди площу прямокутника.

825. Довжина прямокутника 20 см. Як і на скільки зміниться його площа, якщо ширину прямокутника збільшити на 2 см?

826. Ділянка землі прямокутної форми засіяна пшеницею. Ширина ділянки 800 м, а довжина в три рази більша за ширину. З цієї ділянки зібрали 480 т пшениці. Скільки центнерів пшениці зібрали в середньому з 1 га?

827. Довжина прямокутника на 9 см більша за ширину, а його периметр дорівнює 66 см. Прямокутник поділено на 3 рівних прямокутники. Знайди площу одного такого прямокутника.

828. Кожну сторону квадрата ABCD збільшили у 2 рази й отримали квадрат DKPL (рис. 185). У скільки разів збільшився периметр квадрата і в

Скільки – площа? Як зміняться периметр і площа квадрата, якщо його сторону збільшити в m разів? Зроби висновок.

829. Знайди площі зображених на рисунках 186 і 187 шахових фігур (площу клітинки приймаємо за 1 см2).

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 185

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 186

 Площа прямокутника і квадрата

Рис. 187

830. Знайди периметр прямокутника, складеного з восьми рівних квадратів, площа кожного з яких дорівнює 9 м2 (розглянь два випадки).

Вправи для повторення

831. Нехай Р – периметр трикутника, a, b, с – його сторони. Знайди ці сторони, якщо Р = 42 см, а = 2Р – 72, b = (а + 22) : 2.

832. З двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два автобуси. Швидкість першого автобуса дорівнює 48 км/год, а другого – 52 км/год. Перший автобус проїхав до зустрічі 192 км. Скільки кілометрів проїхав до зустрічі другий автобус? Яка відстань між містами?

833. Знайди значення невідомих a, b, с, d.

 Площа прямокутника і квадрата

834. Склади умови і розв’яжи задачі, використовуючи рівняння (стрілка спрямована в бік більшого числа).

 Площа прямокутника і квадрата

835. О У магазині є печиво в коробках по 4 кг, 5 кг та 7 кг. Як придбати 62 кг печива, не розкриваючи коробок, щоб кількість коробок була найменшою?




Площа прямокутника і квадрата